Записки профессора - Юрий Петров

В статье рассказывается об открытиях, сделанных наукой Санкт-Петербурга, об открытиях, позволяющих спасти жизни многих людей, и о том, как эти открытия очень медленно и плохо используются.

Начиналось все очень хорошо: в Санкт-Петербургском государственном университете (СПбГУ) было сделано открытие в области прикладной математики, имеющее большое практическое значение. Своеобразие этого открытия заключалось в том, что оно относилось к хорошо известной и, казалось бы, исчерпывающе исследованной области математики – к теории эквивалентных (равносильных) преобразований. Простейшие из этих преобразований – такие, как прибавление к правой и левой частям уравнений одинаковых величин, умножение всех членов уравнения на число, не равное нулю – изучаются ещё в средней школе на уроках алгебры и широко применяются при выполнении инженерных расчётов в проектно-конструкторских организациях всего мира. Эквивалентные преобразования упрощают уравнения, не изменяя их решений – именно поэтому они так широко применяются в технических расчётах, используются во всех проектно-конструкторских организациях России и всего мира.

Однако очень долго не замечалось, что эквивалентные преобразования, не изменяя самих решений как таковых, могут иногда изменять некоторые свойства решений и, среди них, – такое важное свойство, как малая зависимость решений от изменений (вариаций) его коэффициентов.

Приступая к проектированию любого ответственного технического объекта, обязательно составляют его математическую модель (обычно – в виде системы уравнений) и проверяют – говорят ли решения этой системы о хорошей и надежной работе будущего объекта. При этом учитывают, что параметры любого технического объекта не могут оставаться идеально постоянными. В ходе эксплуатации они неизбежно испытывают малые изменения (вариации) – из-за износа, колебаний температуры и т. д., и поэтому ещё при расчёте и проектировании следят, чтобы решения, вычисленные для математической модели объекта, не изменялись существенно при вариациях параметров, имели хороший запас надежности – иначе проектируемый объект надёжно работать не будет.

Долго не замечалось, что существуют «особые» объекты (и соответствующие им «особые» математические модели), для которых традиционные методы проектирования и расчёта, использующие эквивалентные преобразования, не дают верной оценки величины запасов устойчивой и надёжной работы. По традиционному расчёту получается, что эти запасы велики и поэтому проектируемый объект должен много лет хорошо и надёжно работать. На самом же деле эти запасы много меньше расчётных, в ходе эксплуатации они могут быстро исчерпываться – и тогда в неизвестный заранее момент времени произойдет авария.

Самое опасное заключается в том, что на испытаниях уже изготовленного объекта величину запасов его надёжной работы чаще всего проверить нельзя. Испытания показывают – хорошо ли он работает в данный момент, а величину запаса надёжной работы с учётом вариаций параметров даёт расчёт. Но для «особых» объектов традиционные методы расчёта дают – как уже говорилось – неверный результат. А поскольку до недавнего времени не было методов, позволяющих отличать «особые» объекты от обычных, то каждая встреча с «особым» объектом могла привести (и не раз приводила!) к аварии и даже катастрофе. К счастью для нас, «особые» объекты встречаются редко (почему они и были открыты так поздно), но они существуют и очень опасны, поскольку именно они являются причиной многих ужасных катастроф.

Действительно, пусть какая-либо из самолётных систем – например, автопилот – оказалась «особой». Это означает, что запас надёжной работы автопилота не соответствует расчётному. В зависимости от случайностей при изготовлении он может быть и больше и меньше расчётного запаса. Некоторые из изготовленных автопилотов могут надёжно работать много лет, другие – могут неожиданно быстро отказать и стать причиной катастрофы. О катастрофах, произошедших по этой причине, рассказано в книге: Петров Ю. П. «Расследование и предупреждение техногенных катастроф», издательство «БХВ-Петербург», 2007 г.

Результаты исследований, проведённых в СПбГУ, были признаны «научным открытием, имеющим большое практическое значение». Однако практическая значимость вскрылась позже, а первоначально были получены интересные теоретические результаты:

Было обнаружено, что одна из важнейших теорем теории дифференциальных уравнений, лежащая в основе практических приложений теории – теорема о непрерывной зависимости решений от параметров, приводимая во всех учебниках, на самом деле не верна, точнее – не полна, имеет не замечаемые исключения. Оказалось, что существуют «особые» системы, не имеющие непрерывной зависимости решений от параметров. Поэтому нельзя опираться в расчётах на эту важнейшую теорему без дополнительной проверки – проверки на «особость», которую ранее не проводили.

Было обнаружено, что знаменитый «второй метод Ляпунова», используемый для проверки устойчивости нелинейных систем и считающийся наиболее надёжным, на самом деле не верен, точнее – не полон, поскольку существуют «особые» системы, для которых построена функция Ляпунова, но реальной устойчивости всё равно нет. Поэтому – вопреки широко распространенному мнению – весьма трудоёмкое построение функции Ляпунова само по себе ещё ничего не гарантирует.

Было обнаружено, что широко применяемая во всем мире методика проверки устойчивости линейных систем по корням характеристического полинома или по собственным числам матрицы коэффициентов не всегда даёт верный ответ. При встрече с «особыми» системами эта методика приводит к опасным ошибкам.

Если до исследований СПбГУ считали, что все задачи математики, физики и техники делятся на два класса – класс корректных и класс некорректных задач, требующих отдельных методов решения, то в СПбГУ был открыт третий, промежуточный класс – класс «задач-перевёртышей», меняющих корректность в ходе эквивалентных преобразований, использованных при их решении. Не замечаемые ранее встречи с задачами третьего класса часто приводили к ошибкам в расчётах, а ошибки в расчётах неизбежно приводили к авариям и даже катастрофам.

Помимо выявления причин и источников ошибок, в СПбГУ были разработаны более совершенные методы расчётов, страхующие от ошибок и уменьшающие вероятность аварий и катастроф.

Все эти постепенно развертывающиеся открытия были признаны не сразу. Они много раз обсуждались, перепроверялись, и только после публикации результатов исследований в наиболее авторитетных научных журналах (в том числе, например, в «Докладах Академии наук», № 4 за 2000 г.) они были окончательно признаны научным сообществом.