Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Алекс Беллос

Это можно обобщить в виде формулы 20 + 21 + 22 +… + 2n-1 = 2n - 1. Другими словами, сумма первых n удвоений равна 2n - 1.

Итак, используя исходное заявление Евклида о том, что «когда сумма удвоений есть простое число, можно построить совершенное число, умножая сумму на наибольшее из тех удвоений, что в нее входят» и добавляя к этому современные алгебраические обозначения, мы можем получить намного более четкое утверждение:

Если число 2n - 1 простое, то число (2n - 1) × 2n-1 совершенное.

Для цивилизаций, которые превозносили совершенные числа, данное Евклидом доказательство было потрясающей новостью. Если совершенные числа можно породить всякий раз, когда число 2n - 1 простое, то все, что нужно для нахождения новых совершенных чисел, — это нахождение простых чисел, которые можно записать в виде 2n - 1. Охота за совершенными числами свелась к охоте за простыми числами определенного типа.

Конечно, математический интерес к простым числам, записываемым в виде 2n - 1, мог быть связан с совершенными числами, однако к XVII столетию простые числа стали объектом увлечения сами по себе. В то время как одни математики были поглощены вычислением числа π со все большим и большим количеством десятичных знаков, другие посвящали себя нахождению все больших и больших простых чисел. Эти два рода деятельности похожи, но противоположны: если вычисление десятичных знаков в числе π — это поиск все меньших и меньших объектов, то погоня за простыми числами — это взлет вверх, в небеса. Развитию обоих направлений способствовала скорее романтическая аура самого путешествия, нежели возможности практического использования чисел, открытых по дороге.

В ходе этого поиска простые числа вида 2n - 1 зажили своей собственной жизнью. Эта формула не давала простых чисел при всех значениях n, но для малых чисел процент успеха был весьма неплох. Как мы уже видели, при n = 2, 3, 57 число 2n - 1 — простое.

Французский монах (и одновременно один из выдающихся ученых своего времени) Марен Мерсенн (1588–1648) просто зациклился на использовании чисел вида 2n - 1 для производства простых. В 1644 году он выступил с широкомасштабным заявлением о том, что ему известны все значения n до 257, при которых число 2n - 1 простое. По его словам, это были значения

(А109 461) 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257.

Мерсенн был дельным математиком, однако его список — по большей части плод угадывания. Число 2257 - 1 состоит из 78 цифр — определенно слишком много для проверки человеческими силами на предмет того, простое оно или нет. Мерсенн осознавал, что его числа — это стрельба наугад. Он говорил о своем списке: «Всего времени не хватит, дабы определить, простые ли они».

Но одному математику времени тем не менее все-таки хватило, — такое нередко бывает в науке. В 1876 году, через два с половиной столетия после того, как Мерсенн предложил свой список, французский специалист по теории чисел Эдуар Люка изобрел метод, позволяющий проверить, являются ли числа вида 2n - 1 простыми, и выяснил, что Мерсенн был не прав по поводу числа 67 и, кроме того, он пропустил числа 61, 89 и 107. Потрясающе, однако, что Мерсенн оказался прав насчет числа 127. Люка применил свой метод для доказательства того, что число 2127 - 1 (то есть 170 141 183 460 4 69 231 731 687 303 715 884 105 727) — простое. Оно оставалось самым большим известным простым числом до наступления века компьютеров. Люка, однако, не смог определить, простое или нет число 2257 - 1 — оно было слишком большим для ручных вычислений.

Несмотря на отдельные ошибки, список Мерсенна обессмертил своего создателя; простые числа вида 2n - 1 в наше время известны как простые числа Мерсенна.

Дабы выяснить, простое или нет число 2257 - 1, пришлось дожидаться наступления 1952 года. Для доказательства был использован метод Люка, правда при существенной поддержке. В том году в Институте численного анализа в Лос-Анджелесе собралась команда ученых. Они наблюдали за 24-футовыми барабанами с магнитной лентой, вводившейся в один из первых цифровых компьютеров, который назывался SWAC. Один только этот процесс занял несколько минут. Затем оператор ввел число, которое предстояло проверить: 257. Через долю секунды появился результат. Компьютер сообщил, что число 2257 - 1 — не простое.

Вечером того же дня, когда было получено, что число 2257 - 1 — не простое, в вычислительную машину один за другим были введены новые претенденты на право занять место в списке Мерсенна. SWAC отказал первым 42 из них. И только в 10 вечера появился результат: компьютер сообщил, что число 2521 - 1 — простое. Это число было наибольшим из простых чисел Мерсенна, выявленным за 75 лет, что, кстати, давало и соответствующее совершенное число 2520(2521 - 1) — всего лишь тринадцатое открытое за чуть ли не вдвое большее число столетий. Но число 2521 - 1 только два часа наслаждалось своим статусом старшего в колоде. Незадолго до полуночи SWAC подтвердил, что число 2607 - 1 тоже простое. За последующие несколько месяцев SWAC, работая на пределе своих возможностей, нашел еще три простых числа. 17 простых чисел Мерсенна были открыты в период с 1957 по 1996 год.

Начиная с 1952 года почти всегда наибольшим известным простым числом было простое число Мерсенна. Единственным исключением явилась трехлетняя интерлюдия между 1989 и 1992 годом, когда самым большим простым числом считалось (391 581 × 2216 193) - 1, которое, впрочем, относится к типу простых чисел, связанных с мерсенновскими простыми. Среди всех существующих простых чисел (а мы знаем, что их бесконечно много) в таблице наибольших открытых простых преобладают простые числа Мерсенна, поскольку они представляют собой прекрасную мишень для охотников за простыми числами. Лучшая тактика поиска больших простых чисел — это искать простые числа Мерсенна; другими словами, отправлять число 2n - 1 в компьютер при все больших и больших значениях n и использовать для проверки его простоты тест Люка — Лемера, представляющий собой усовершенствованный вариант упоминавшегося выше метода Эдуара Люка.

Самого влиятельного из охотников за простыми числами нашего времени привела на этот путь марка на конверте. В 1960-х годах, когда Джордж Уолтман был еще ребенком, его отец показал ему почтовую марку, на которой был изображен Университет Иллинойса и написано «211213 - 1 простое» — это был результат, только что установленный в этом университете. «Это меня просто потрясло — оказывается, можно доказать, что такое большое число — простое», — вспоминает он.

Уолтман внес немалый вклад в написание программ, существенным образом продвинувших поиск простых чисел. Все проекты, имевшие дело с масштабной обработкой чисел, как правило, выполнялись на суперкомпьютерах, доступ к которым ограничен. Начиная с 1990 года, однако, немало больших задач подвергались «нарезке» наподобие салями — работа разбивалась на части, которыми занимались тысячи меньших машин, связанных друг с другом через Интернет. В 1996 году Уолтман написал программу, которую пользователи могут бесплатно скачать, а установив ее, получить маленький кусок еще неисследованной части числовой прямой для поиска там простых чисел. Эта программа использует процессор, только когда ваш компьютер ничего не делает. Пока вы крепко спите, ваша машина занята тем, что перетряхивает числа на дальнем рубеже познания.

Великий «интернет-поиск мерсенновских простых», или GIMPS, в настоящее время связывает около 75 000 компьютеров. Часть из них стоит в научно-исследовательских учреждениях, другие — в офисах, а некоторые — дома у энтузиастов поиска. GIMPS был одним из первых проектов «распределенных вычислений» и оказался одним из наиболее успешных. (Самый масштабный из подобных проектов — SetiKhome, который занят расшифровкой космического шума в поисках сигналов от внеземных цивилизаций. Утверждается, что в нем участвуют три миллиона ученых, правда, они до сих пор ничего не открыли.) Спустя всего лишь несколько месяцев после запуска GIMPS 29-летний французский программист поймал в свои сети 35-е простое число Мерсенна, 21398269 - 1. С тех пор GIMPS обнаружил еще 11 мерсенновских простых, что соответствует в среднем одному числу в год. Мы живем в золотой век больших простых чисел.

На настоящий момент рекорд самого большого простого числа удерживает 45-е простое число Мерсенна, 243112609 - 1 — это число, в котором почти 13 миллионов цифр, найдено в 2008 году на компьютере, подсоединенном к GIMPS, в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе. Простые числа Мерсенна, найденные по счету 46-м и 47-м, оказались меньше 45-го. Это произошло потому, что различные компьютеры с различными быстродействиями одновременно работают на различных участках числовой прямой, и может так случиться, что простые числа на более далеком ее участке будут открыты раньше, чем на более близком.