Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Алекс Беллос

Среди последовательностей, включенных в «Энциклопедию», имеется и вот такая довольно древняя:

(А100000) 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5, 7.

Числа в этой последовательности представляют собой перевод на язык цифр отметок, сделанных на самом старом из известных математических объектов — на кости Ишанго, артефакте возрастом 22 000 лет, найденном на территории нынешней Демократической Республики Конго[47]. Эта обезьянья кость сначала считалась инструментом для определения длины (попросту говоря, линейкой), однако потом ученые высказали идею, что поскольку насечки на кости хитро сгруппированы — тройка, ее удвоение, затем четверка, ее удвоение, десятка, за которой следует ее половина, — то эта последовательность может выражать какой-то более замысловатый ход мыслей, возможно связанный с выполнением арифметических действий.

В коллекции имеется также дьявольская последовательность:

(А51003) 666, 1666, 2666, 3666, 4666, 5666, 6660, 6661…

Она составлена из так называемых Чисел Зверя — чисел, содержащих фрагмент 666.

Ради забавы Слоун также включил и такую последовательность:

(А38674) 2, 2, 4, 4, 2, 6, 6, 2, 8, 8, 16.

Это числа из латиноамериканской детской песенки «La Farolera»: «Dos у dos son quatro, cuatro у dos son seis. Seis у dos son ocho, у ocho dieciseis» (Два и два — четыре, четыре и два — шесть, шесть и два — восемь и т. д.).

Но самая, быть может, классическая из всех последовательностей — это последовательность простых чисел:

(А40) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37…

Простые числа — это натуральные числа большие единицы, которые делятся только на себя и на единицу. Их очень просто описать, но их последовательность демонстрирует весьма впечатляющие, а временами и таинственные свойства. Во-первых, как доказал Евклид, простых чисел бесконечно много. Какое бы число вы ни взяли, всегда найдется простое число большее, чем данное. Во-вторых, каждое натуральное число больше 1 записывается — причем существует только один вариант — как произведение простых чисел. Другими словами, каждое число равно результату перемножения определенного набора простых чисел. Например, 221 есть 13 × 17. Следующее число, 222, есть 2 × 3 × 37. Идущее за ним — 223 — простое, так что можно записать только 1 × 223, а 224 есть 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 7. И так можно продолжать до бесконечности. Например, миллиард равен 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5. Это свойство чисел известно как фундаментальная теорема арифметики, и именно оно определяет, почему простые числа рассматриваются как неделимые кирпичики всей системы натуральных чисел.

Однако, несмотря на свою особенность, простые числа не обладают монополией на производство последовательностей, несущих в себе специальные секреты математического порядка (или беспорядка). Все последовательности так или иначе способствуют нашему лучшему пониманию того, как устроены числа. «Онлайн-энциклопедию целочисленных последовательностей» можно также рассматривать как собрание разнообразных примеров, справочное руководство по численному порядку, лежащему в основании мира. Возникнув из личного пристрастия Нила Слоуна, этот проект оказался действительно важным научным ресурсом.

Слоун считает «Энциклопедию» математическим эквивалентом хранящейся в ФБР базы данных по отпечаткам пальцев. «Взяв отпечатки пальцев на месте преступления, их затем проверяют по базе с целью опознать подозреваемого, — говорит он. — То же самое и с „Энциклопедией“. Математики, столкнувшись с какой-то последовательностью чисел, которая естественным образом возникла в ходе их работы, смотрят в базе, — и страшно радуются, если оказывается, что их последовательность там уже есть». Такая база данных приносит пользу не только чистым математикам. Инженеры, химики, физики и астрономы также искали и находили свои последовательности в «Энциклопедии», таким образом обнаруживая неожиданные междисциплинарные связи и глубже проникая в суть своей собственной области знания. Если люди работают в области, постоянно изрыгающей недоступные для понимания числовые последовательности, которым они надеются придать некий смысл, то такая база данных — настоящая золотая жила.

«Энциклопедия» позволяет Слоуну быть в курсе множества новых математических идей, а кроме того, он проводит часть времени, рождая свои собственные. В 1973 году он предложил концепцию «продолжительности жизни» числа. Она измеряется числом шагов, которое требуется сделать, чтобы получить однозначное число, перемножая все цифры предыдущего числа, затем перемножая все цифры полученного числа, что даст третье число, и т. д., пока не получится однозначное число. Например, 88 → 8 × 8 = 64 → 6 × 4 = 24 → 2 × 4 = 8. Таким образом, говорит Слоун, число 88 имеет продолжительность жизни, равную 3, поскольку требуются три шага, чтобы добраться до одной цифры. Кажется, что чем больше число, тем выше его продолжительность жизни. Например, 679 имеет продолжительность жизни, равную 5: 679 → 378 → 168 → 48 → 32 → 6. Подобным же образом, слегка потрудившись, можно узнать, что число 277 777 788 888 899 имеет продолжительность жизни, равную 11. Однако Слоуну не удалось найти числа, продолжительность жизни которого была бы больше 11, даже после того, как он перебрал все числа до 10233, что есть единица с 233 нулями. Другими словами, какое бы 233-значное число вы ни выбрали, применив к нему правила перемножения цифр для определения продолжительности жизни, вы непременно доберетесь до одной-единственной цифры за 11 шагов или ранее.

Этот результат восхитительным образом противоречит нашей интуиции. Казалось бы, если взять число, состоящее из 200 или около того цифр, причем по большей части из больших цифр, скажем восьмерок и девяток, то произведение всех этих цифр окажется достаточно большим, и для того, чтобы в конце концов добраться до однозначного числа, потребуется существенно больше и шагов. Однако, как оказалось, большие числа схлопываются под собственным весом. Дело в том, что если в числе хоть раз появится нуль, то произведение всех его цифр окажется равным нулю. Если в числе, с которого вы начали, нет нулей, то нуль непременно появится на 11-м шаге, если только число уже не свелось к этому моменту к единственной цифре. Слоун считает свой алгоритм необычайно эффективным убийцей чисел-гигантов.

Не останавливаясь на достигнутом, Слоун составил последовательность, в которой n-й член есть наименьшее число с продолжительностью жизни, равной n. (Мы рассматриваем только числа, имеющие по крайней мере две цифры.) Первый такой член равен 10, потому что 10 → 0, так что 10 — это наименьшее двузначное число, которое претерпевает редукцию за один шаг.

Второй член равен 25, потому что 25 → 10 → 0 и 25 есть наименьшее число, которое редуцируется за два шага.

Третий член равен 39, потому что 39 → 27 → 14 → 4 и 39 есть наименьшее число, которое редуцируется за три шага.

Приведем всю последовательность:

(А3001) 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 68 889, 2 677 889, 26 888 999, 3 778 888 999, 277 777 788 888 899

На мой взгляд, эта последовательность странным образом завораживает. В ней одновременно присутствуют и некая отчетливая структура, и малая толика асимметричного беспорядка. Продолжительность жизни — это нечто вроде автоматической линии по выпуску сосисок, которая выдает связки своеобразных сосисок длиной не более 11 штук.

Друг Слоуна профессор Джон Хортон Конуэй из Принстона тоже любит нестандартные математические концепции. В 2007 году он изобрел понятие степенной трансмиссии. Степенная трансмиссия числа, записанного в виде abcd…, — это abcd… В случае чисел с нечетным числом цифр его последней цифре не во что возводиться, так что abcde переходит в abcde. Возьмем 3462. Из него получаем 3462 = 81 × 36 = 2916. Будем применять степенную трансмиссию повторно, пока не останется однозначное число:

3462 → 2916 → 2916 = 512 × 1 = 512 → 512 = 10 → 10 = 1.

Конуэй пожелал узнать, имеются ли какие-либо неразрушаемые числа — те, которые не сводятся к однозначному числу при применении степенной трансмиссии. Ему удалось найти только одно:

2592 → 2592 = 32 × 81 = 2592.

Но не такой человек Нил Слоун, чтобы сидеть сложа руки, глядя на то, как другие изобретают числа! Он открыл второе такое число[48]

24 547 284 284 866 560 000 000 000.

Слоун в настоящее время уверен, что других неразрушаемых чисел нет.

Задумаемся об этом на минутку: конуэевская степенная трансмиссия — это смертоносная машина, убивающая каждое число во Вселенной, за исключением 2592 и 24 547 284 284 866 560 000 000 000 — двух с виду никак не связанных неподвижных точек в безграничном мире чисел. «Это потрясающий результат», — говорит Слоун. Большие числа при применении степенной трансмиссии умирают достаточно быстро по тем же причинам, по которым они умирают при вычислении их продолжительности жизни, — появляется нуль, и все становится ничем. Я спросил Слоуна, может ли устойчивость этих двух чисел по отношению к степенной трансмиссии найти какое-либо применение в реальном мире. Он думает, что нет. «Это просто забавно. И ничего плохого в этом нет — надо же иногда просто развлечься».