Быстрая математика: секреты устного счета - Билл Хэндли

затем сравните свое решение с тем, что дано ниже:

а) 3√115 = __; б) 3√500 = __

В примере а) берем 5 в качестве приближения.

Делим 115 на 5 и получаем 23. (Делим на 10 и удваиваем ответ.) Затем делим 23 на 5, получая 4,6. (Делим на 10 и удваиваем.) 4 — это первая цифра нашего ответа.

Подставляем 2 вместо 4, получая 2,6. Теперь делим на 3.

2,6: 3 = 0,8667

Округляем до 4,86. Ответ точен до двух знаков после запятой.

Для примера б) возьмем 8 в качестве первого приближения.

500: 8 = 62,5 62,5: 8 = 7,8125

Согласно правилу приближения по верхнему числу, подставляем 2 вместо 7, получая 2,8125.

Поделив 2,8125 на 3, имеем 0,9375. Прибавляем данный результат к 7 и получаем наш ответ: 7,9375.

Истинный ответ, вычисленный с помощью калькулятора, равен 7,93700526. Для вычисленного в уме полученный нами ответ является чрезвычайно точным. Как, впрочем, и для ответа, вычисленного на бумаге, но в результате простейших вычислений. Можно также отметить, что полученные нами приближения всегда превышают фактический ответ. Если бы в только что рассмотренном примере мы округлили в сторону уменьшения, то вышли бы на точный ответ.

Это эффективный метод для нахождения кубического корня из числа, производящий большое впечатление на окружающих. Обычному человеку и в голову не придет пытаться вычислить ответ даже с помощью ручки и бумаги. Рассмотренный же здесь метод допускает вычисление в уме.

Приложение В

Проверка делимости на число

Не составляет труда проверить, является ли одно число нацело делимым на другое без выполнения собственно деления.

Существуют следующие правила делимости:

1. Все числа делятся на 1.

2. Все четные числа делятся на 2. (Если последняя цифра числа делится на 2 или равна 0, число делится на 2.)

3. Если число нацело делится на 3, сумма его цифр также делится на 3. Обратное утверждение также верно. Например, 12 делится на 3, поскольку 1 + 2 = 3.

4. Если число, составленное из последних двух цифр числа, делится на 4, то все число делится на 4. Например, 116 делится на 4, так как 16 = 4 х 4.

5. Если число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5.

6. Если число является четным и сумма его цифр делится на 3, то оно делится на 6.

7. * (См. замечание в конце списка.)

8. Если число, составленное из трех последних цифр проверяемого числа, делится на 8, то само проверяемое число делится на 8. Например, 1128 делится на 8, поскольку 128 = 8 х 16.

9. Если сумма цифр числа равна или кратна 9, то число делится на 9.

10. Если число оканчивается на 0, то оно делится на 10.

11. Если разность между суммой цифр числа на четных местах и суммой цифр на нечетных местах равна 0 или является кратной 11, то число нацело делится на 11.

12. Если сумма цифр числа делится на 3 и число, составленное из двух его последних цифр, делится на 4, то число делится на 12.

13. *

17. *

19. *

20. Если цифра десятков числа является четной и число оканчивается на 0, то оно делится на 20.

21. Если число делится на 7 и сумма его цифр является кратной 3, то число делится на 21.

23. *

29. *

* Существует простой метод проверки делимости, который может быть использован как для этих чисел, так и для других, больших по величине. При этом используются вспомогательные множители. Традиционные методы слишком сложны и требуют ручки и бумаги. Проверки же, о которых здесь идет речь, могут быть выполнены в уме.

Использование вспомогательных множителей

Чтобы проверить делимость на 7, будем использовать число 5 в качестве вспомогательного множителя. Умножим цифру единиц проверяемого числа на вспомогательный множитель.

Прибавляем полученный результат к проверяемому числу с удаленной цифрой единиц (то есть все разряды числа смещаются вправо на один, так что десятки становятся единицами, сотни — десятками и т. д.). Если сумма делится нацело на 7, то исходное число тоже делится на 7.

Например, делится ли 91 нацело на 7?

Нашим вспомогательным множителем является 5 (почему это так, объясню чуть позже). Умножаем цифру единиц числа 91 (1) на 5, получая в ответе 5. Прибавляем 5 к 9 и получаем 14, которое равно удвоенному 7. Таким образом, 91 делится на 7.

Делится ли 133 на 7?

Умножаем цифру единиц числа 133 (3) на наш вспомогательный множитель (5) и получаем 15. Прибавим его к 13 и получим 28 (7 х 4). Итак, мы выяснили, что 133 делится на 7. Возьмем еще один пример: делится ли 152 на 7? Умножим 2 на 5, получая 10. Складывая 10 и 15, получаем 25. 25 не является кратным 7, поэтому и 152 не делится на 7 нацело.

Последний пример: делится ли 1638 на 7 без остатка?

5 х 8 = 40

163 + 40 = 203

Поскольку мы не можем сходу определить, делится ли 203 на 7, повторим процедуру:

5 х 3 = 15

20 + 15 = 35

35 делится на 7 (5 х 7 = 35). Таким образом, 1638 нацело делится на 7.

Каким образом мы определяем вспомогательные множители?

Метод для определения вспомогательных множителей состоит в следующем:

Для определения положительного вспомогательного множителя увеличиваем проверяемый делитель на столько раз, чтобы полученный ответ оканчивался на 9. В качестве вспомогательного берем цифру десятков числа, которое на 1 больше полученного результата.

Например, если мы хотим проверить делимость на 7, умножаем 7 на 7 и получаем 49. 49 на 1 меньше 50. Значит, вспомогательным множителем для 7 является 5.

Чтобы проверить делимость на 13, умножаем его на столько раз, чтобы в разряде единиц ответа оказалась цифра 9:

13 х 3 = 39

39 на 1 меньше 40. Следовательно, для 13 используем в качестве вспомогательного число 4. В случае с 19 нам не нужно умножать его ни на что, поскольку оно уже оканчивается на 9. 19 на 1 меньше 20, поэтому используем 2 в качестве вспомогательного множителя.

Чтобы найти вспомогательный множитель для 23, замечаем, что цифрой единиц является 3. Поскольку 3 х 3 = 9, умножим 23 на 3, получая 69. Это на 1 меньше, чем 70, поэтому берем 7 в качестве вспомогательного множителя.

Почему метод работает?

Если мы хотим проверить, делится