φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания - Марио Ливио

Инструменты, ноты у которых фиксированы, например, фортепиано, настраивают по «равномерно темперированному строю», который популяризировал Бах, где каждый полутон обладает таким же отношением частот, что и следующий, поэтому легко играть в любой тональности. Отношение двух соседних частот у хорошо темперированного инструмента равно 21/12 (то есть корень 12 степени из 2). Откуда взялось это число? Его происхождение восходит к Древней Греции. Вспомним, что октава получается, если поделить струну на две равные части (то есть соотношение частот должно быть 2 к 1), а квинта – если соотношение частот будет 3 к 2 (то есть при делении струны на две части – две трети и одна треть). Один из вопросов, особенно занимавших пифагорейцев, состоял в том, можно ли создать целое число октав, повторяя процедуру создания квинты (то есть последовательно применяя соотношение частот 3 к 2). В математических терминах это все равно что спросить, существуют ли два целых числа n и m, такие, что (3/2)n = 2m. Как выясняется, целых чисел, удовлетворяющих этому равенству, нет, однако при n = 12 и m = 7 мы подходим к решению довольно близко, ведь по странному совпадению 21/12 примерно равняется 31/19 (корень 19 степени из 3). Поэтому двенадцать частот октавы – это приблизительно равные степени базового соотношения частот 21/12. Кстати, хотите верьте, хотите нет, но 19/12 = 1,58, не так уж далеко от φ.

Золотое сечение в принципе могло бы повлиять на то, какое удовольствие мы получаем от музыкального произведения, если учесть концепцию пропорционального равновесия. Однако положение дел здесь несколько сложнее, чем в изобразительном искусстве. Неудачная композиция картины сразу бросается в глаза. С другой стороны, в музыке нужно выслушать произведение с начала до конца, а потом уже делать выводы. Тем не менее не приходится сомневаться, что опытные композиторы строят свои произведения так, чтобы не только разные части прекрасно гармонировали друг с другом, но можно было оценивать и каждую часть в отдельности – она служит сама себе мерилом.

Мы видели много примеров, когда приверженцы золотого сечения изучали пропорции всевозможных произведений искусства в поисках действительного или мнимого применения φ. Эти страстные поклонники подвергли подобному обращению и многие музыкальные композиции. Результаты получились очень похожие: наряду с единичными случаями, когда золотое сечение и в самом деле легло в основу той или иной системы пропорций, налицо множество ошибочных предположений.

Пол Ларсон из Университета Темпл в 1978 году заявил, что обнаружил золотое сечение в нотной записи первой европейской музыки – в хоралах «Kyrie» из собрания грегорианских хоралов «Liber Usualis». Тридцать хоралов «Kyrie» в этом собрании созданы с разбросом более чем в шестьсот лет, начиная с Х века. Ларсон утверждал, что проанализировал 146 частей хоралов «Kyrie» и в 105 из них обнаружил значимые «события» (например, начало или конец музыкальной фразы), разделенные в отношении золотого сечения. Однако в отсутствие каких бы то ни было исторических данных, подтверждающих, что композиторы тех времен применяли золотое сечение при создании этих хоралов, и каких бы то ни было рациональных объяснений, зачем это было делать, можно лишь считать, что перед нами, к сожалению, очередной пример жонглирования цифрами.

В целом подсчет нот и ритма нередко выявляет определенные численные соотношения между разными частями музыкальной пьесы, и у того, кто проводит этот анализ, возникает, конечно, понятное и естественное искушение сделать вывод, что композитор сознательно все рассчитал. Однако если нет надежных документальных свидетельств – а во многих случаях их нет – подобные предположения сомнительны.

В 1995 году математик Джон Ф. Путц из колледжа Альма в Мичигане исследовал вопрос о том, пользовался ли Моцарт (1756–1791) золотым сечением в двадцати девяти частях фортепианных сонат, каждая из которых, в свою очередь, состоит из двух отчетливо выраженных фрагментов: сначала идет экспозиция, когда слушателя знакомят с музыкальной темой, а затем разработка, где тема развивается и пересматривается. Поскольку музыкальные произведения делятся на одинаковые по продолжительности единицы под названием «такты», Путц изучил отношение количества тактов в двух частях сонат. Моцарт, который в школьные годы, по свидетельству его сестры, «не говорил и не думал ни о чем, кроме цифр», вероятно, один из лучших кандидатов на то, чтобы строить свои сочинения на математической основе. Более того, и до Путца было опубликовано несколько статей, где утверждалось, что в фортепианных сонатах Моцарта и в самом деле видно влияние золотого сечения. Первые результаты Путца оказались очень многообещающими. В сонате № 1 до мажор, к примеру, в первой части разработка состоит из шестидесяти двух тактов, а экспозиция из тридцати восьми. Отношение 64/38 = 1,63 очень близко к золотому сечению. Однако тщательное изучение всех данных в целом убедило Путца, что нет, Моцарт не применял в своих сонатах золотое сечение и вообще неочевидно, что простое соотношение длительности частей произведения делает его особенно приятным. Поэтому, хотя многие называют музыку Моцарта подлинно божественной, божественная пропорция тут ни при чем.

А вот знаменитый венгерский композитор Бела Барток (1881–1945), судя по всему, применял золотое сечение довольно часто. Бела Барток был не только пианистом-виртуозом, но и фольклористом и сочетал элементы, заимствованные у других композиторов, которыми он восхищался – в том числе, у Штрауса, Листа и Дебюсси – с фольклорными мотивами, что и придавало его музыке ярчайшую индивидуальность. Как-то раз Барток сказал, что «мелодический мир моих струнных квартетов если и отличается от народных песен, то несущественно». Ритмическая живость его музыки в сочетании с тщательно рассчитанной симметрией форм делает его одним из самых оригинальных композиторов XX века.

Венгерский музыковед Эрне Лендваи долго и внимательно изучал музыку Бартока и опубликовал об этом много книг и статей. Лендваи утверждает, что «стилистический анализ музыки Бартока позволил мне заключить, что главная черта его хроматической техники – подчинение законам золотого сечения в любом музыкальном движении». Согласно Лендваи, то, как Барток строит ритм своих композиций – превосходный пример применения золотого сечения в музыке. Анализируя, в частности, фугу из «Музыки для струнных, ударных и челесты» Бартока, Лендваи показывает, что 89 тактов фуги разделены пирамидальным пиком громкости на две части – 55 и 34 такта. Дальнейшее деление производится при помощи сурдины, приглушающей звук различных инструментов – начало и конец ее действия отмечают границы сегментов – и другими изменениями текстуры (рис. 87). Количество тактов всегда совпадает с числами Фибоначчи, а отношения между крупными частями близки к золотому сечению (например, 55/34). Подобным же образом в «Сонате для двух фортепиано и ударных» различные темы развиваются в порядке чисел Фибоначчи и согласно золотому сечению по количеству полутонов (рис. 88).

Рис. 87

Рис. 88

Не все музыковеды согласны с анализом Лендваи. Сам Лендваи признает, что Барток о своих композициях говорил очень мало, почти ничего: «Пусть моя музыка говорит сама за себя, я не претендую ни на какую интерпретацию своих работ». То обстоятельство, что Барток не оставил никаких черновиков, из которых следовало бы, что он математически выводил ритмы и соотношения, превращает любой анализ в гипотезу и не более того. Кроме того, Лендваи даже уклоняется от вопроса, сознательно ли Барток применял золотое сечение. Венгерский музыковед Ласло Сомфаи в своей книге «Бела Барток. Композиция, концепции и собственноручные документы» (Laszlo Somfai. Béla Bartók: Composition, Concepts and Autograph Sources», 1996) решительно опровергает гипотезу о том, что Барток опирался на золотое сечение. На основании тщательного анализа примерно 3600 страниц, занявшего тридцать лет, Сомфаи приходит к выводу, что Барток сочинял музыку безо всяких продуманных теоретических построений. Другие музыковеды, в том числе Рут Татлоу и Пол Гриффитс, также называют исследования Лендваи «сомнительным».

Рой Ховат из Кембриджского университета в своей занимательной книге «Дебюсси в пропорциях» (Roy Howat. Debussy in Proportion) отстаивает ту точку зрения, что французский композитор Клод Дебюсси (1862–1918), чье новаторство в гармонии оказало сильнейшее влияние на целые поколения композиторов, применял золотое сечение во многих своих произведениях. Например, в пьесе для фортепиано «Отражения в воде», входящей в цикл «Образы», первое повторение рондо происходит после такта 34, то есть в точке, которая делит отрывок пьесы с начала произведения до начала кульминации – такт 55 – в золотом сечении. Напоминаю, что и 34, и 55 – числа Фибоначчи, а отношение 34/21 – очень близкое приближение к числу φ. Та же структура зеркально повторена во второй части, разделенной в отношении 24/15 (что равно отношению двух чисел Фибоначчи 8/5 и опять же близко к золотому сечению, см. рис. 89). Подобные деления Ховат обнаруживает в трех симфонических эскизах «Море», фортепианной пьесе «Сады под дождем» и других произведениях.