Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

Американец Джей Хэмбридж, скончавшийся в 1924 году, написал много книг, в которых отстаивал понятие «динамической симметрии», понимая под этим применение геометрии (ведущей роли числа φ в искусстве, архитектуре, проектировании мебели и даже типографских шрифтах. В наши дни мало кто принимает его работы всерьез, хотя время от времени какой-нибудь знаменитый художник или архитектор так или иначе использует золотое сечение.

Например, Джордж Беллоуз иногда брал золотое сечение за основу композиции своих картин. Холст, на котором написана «Тайная вечеря» Сальвадора Дали, имеет форму золотого прямоугольника.

Золотые прямоугольники меньших размеров использованы художником при размещении фигур двенадцати апостолов. Над столом как бы плавают в воздухе части огромного додекаэдра.

Много размышлял на тему о числе φ Фрэнк А. Лонк. Его брошюры обычно издавало фортеановское общество Т. Тэйера. Кстати сказать, это же общество выпустило и логарифмическую линейку, на которой среди прочих замечательных констант было нанесено число φ (общество прекратило свое существование в 1959 году, после смерти Тэйера). Лонк подтвердил одну из любимых теорий Цейзинга, измерив рост 65 женщин и сравнив полученные данные с расстоянием от пупка соответствующей особы до пола. Среднее значение этого отношения оказалось равным 1,618… и было названо автором «относительной постоянной Лонка». «Субъекты, у которых отношение данных измерения не совпадало с указанной постоянной, — писал Лонк, — при опросе неизменно сообщали о том, что перенесли в детстве вывих бедра или стали жертвой несчастного случая, повлекшего за собой деформацию тела». Лонк оспаривал широко распространенное мнение о том, что десятичное разложение числа π имеет вид 3,14159…. Он произвел более точные вычисления, возведя в квадрат число φ, умножив результат на 6 и поделив затем полученное число на 5. По его подсчетам, значение π выражается десятичным числом 3,14164078644620550.

В заключение этой главы я приведу интересную задачу, связанную с числом φ и эмблемой «Свободной Франции» (организации, которую в годы второй мировой войны возглавлял генерал де Голль) — лотарингским крестом, изображенным на рис. 133.

Рис. 133 Лотарингский крест. Чему равна длина отрезка ВС?

Крест этот составлен из 13 единичных квадратов. Задача состоит в следующем: через точку А нужно провести прямую так, чтобы площадь заштрихованной части креста была равна площади той его части, которая лежит по другую сторону прямой. Чему равна длина отрезка ВС, если считать, что прямая проведена правильно (на рис. 133 умышленно показано неверное положение прямой, чтобы читатель, взглянув на чертеж, не мог отгадать истинное решение).

* * *

Много интересных писем пришло в редакцию Scientific American в связи со статьей о числе φ. Читатели обращали внимание на то, что в большинстве математических книг и журналов отношение длин отрезков, образующих золотое сечение суммарного отрезка, принято обозначать не буквой φ, а другой греческой буквой — τ («тау»). Это действительно так, но во многих нематематических книгах то же отношение обозначено буквой φ, и именно этот символ чаще всего встречается в занимательной литературе.

Один из читателей для вычисления числа φ с точность до 2878 десятичных знаков воспользовался компьютером. На всю работу компьютеру понадобилось меньше четырех минут. Для любителей числовых курьезов сообщаем, что среди первых 500 цифр встречается необычная последовательность 177111777.

Другой читатель сообщил, что отношение длин пунктирных диагоналей на рис. 128 и пунктирных медиан на рис. 129 равно числу φ.

Стифен Барр, сын Марка Барра, давшего числу φ его название, прислал мне оттиск статьи своего отца, опубликованной в лондонском Sketch в 1913 году. В этой статье содержится следующее обобщение этого замечательного числа. Если построить аддитивный ряд, в котором каждый член (начиная с четвертого) равен сумме трех предыдущих, то предел отношения последующего члена ряда к предыдущему будет равен 1,8395… Аналогичный предел для аддитивного ряда, в котором каждый член, начиная с пятого, равен сумме четырех предыдущих, равен 1,9275…. В общем случае

где n — число слагаемых, которые необходимо взять для получения следующего члена ряда, а х — предел отношения последующего члена ряда к предыдущему. При n = 2 мы получаем обычные числа Фибоначчи с х = φ. При n, стремящемся к бесконечности, х стремится к 2.

Теория Цейзинга относительно расстояний от пупка до пола время от времени встречается и в современных книгах. Например, в книге Матила Гика[44] мы читаем: «Можно с уверенностью утверждать, что, измерив указанное отношение для большого числа мужчин и женщин, мы в среднем получим для него значение 1,618».

Смысл этого утверждения столь же неясен, сколь и смысл утверждения о вычислении «среднего отношения длины клюва птицы к длине ее ноги». По какой группе людей следует производить усреднение: по случайным образом выбранным жителям Нью-Йорка, Шанхая или по случайной выборке из населения всего земного шара? Положение усугубляется тем, что во всем мире и даже в небольших районах земного шара наблюдается сильное смешение типов телосложения.

Двое друзей из Сиэтла произвели соответствующие измерения над своими женами и получили отношение, равное 1,667, что несколько больше приводимого Лонгом значения 1,618. «Мы особо подчеркиваем, — пишут они, — что обмер наших «высокопараметрических» жен производили их уважаемые мужья. Нам кажется, что мистеру Лонку лучше всего оставить архитектуру пупков и заняться чем-нибудь другим».

Ответ

Задачу о разбиении лотарингского креста на две равновеликие части можно решать алгебраически. Обозначим через х длину отрезка CD (рис. 134) и через у — длину отрезка MN.

Рис. 134 Решение задачи с лотарингским крестом.

Если проведенная линия делит крест на две равновеликие части, то площадь заштрихованного треугольника должна быть равной 2,5 квадратной единицы. Это позволяет записать уравнение: (х + 1)(у + 1) = 5. Поскольку треугольники ACD и AMN подобны, мы можем составить второе уравнение: x/1 = 1/y

Решая систему двух полученных уравнений, находим

Следовательно, длина отрезка ВС равна

или 0,618…, то есть 1/φ. Иначе говоря, отрезки ВС и CD образуют золотое сечение отрезка BD. Точно так же нижний конец диагональной прямой делит сторону единичного квадрата на отрезки, образующие ее золотое сечение. Длина прямой, делящей лотарингский крест на две равновеликие части, равна, таким образом,

Для того чтобы найти положение точки С с помощью циркуля и линейки, можно воспользоваться любым из нескольких простых методов, восходящих к Евклиду. Один из них заключается в следующем.

Проведем прямую BE так, как показано на рис. 135.

Рис. 135 К решению задачи с лотарингским крестом.

Эта прямая делит отрезок AD пополам, так что DF = BD/2. С помощью циркуля проведем дугу окружности с центром в точке F и радиусом DF. Эта дуга пересекает отрезок BF в точке G. С центром в точке В проведем дугу окружности радиусом BG, пересекающую BD в точке С. Это и дает искомое золотое сечение отрезка BD.

Некоторые читатели нашли более простые способы решения задачи. Вот одно из самых простых построений прямой, делящей лотарингский крест на две равновеликие части: полуокружность, один конец которой проходит через точку А (рис. 134), а другой — через точку, расположенную на три единицы ниже на одной вертикали с А, пересекает правую границу креста в точке N.

Глава 24. МАРТЫШКА И КОКОСОВЫЕ ОРЕХИ

9 октября 1926 года в газете «Сатердей ивнинг пост» был напечатан небольшой рассказ Б. Э. Уильямса под названием «Кокосовые орехи». Сюжет этого рассказа сводился к тому, что некий строительный подрядчик хотел во что бы то ни стало помешать своему конкуренту получить важный заказ. Находчивый клерк подрядчика, зная страсть конкурента к занимательной математике, подсунул тому задачу настолько захватывающего содержания, что бедный конкурент, всецело поглощенный ее решением, забыл подать заявку в установленный срок и упустил контракт.

Вот эта задача в том виде, как ее сформулировал клерк из рассказа Уильямса.

Пять матросов и мартышка потерпели кораблекрушение и высадились на необитаемом острове. Весь первый день они занимались сбором кокосовых орехов. Вечером они сложили все орехи в кучу и легли спать.