Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней - Эрик Белл

Но много раньше этого инстинктивного осознания существования неисчислимой бесконечности не столь значительная, но все-таки достаточно тревожащая душу бесконечность появилась из, казалось бы, поддающейся пересчету природы. «Натуральные числа», которыми нумеровались камни и деревья, как выяснилось, не имели конца, хотя осязаемые предметы, обозначенные числами, можно было собрать в конечное множество. Что считали числа, когда все предметы в мире и все звезды в небе были пересчитаны? Хотя человек легко представлял конец всему количеству исчисляемых осязаемых предметов, разуму не удавалось постичь, где лежит предел числам и как выглядит самое большое число, которое уже не превысит никакое другое. Что тогда останется считать во вселенной числам, которые самопроизводились, если только не сами числа? Ничего. Получалось, числа существовали сами по себе. Поэтому пифагорейцы придумали, а за ними в это поверили и все, кто верил им, что числа не были изобретены людьми, а были обнаружены и записаны.

Некоторые выдающиеся математики (современные и из ближайшего прошлого), отказываясь приговаривать себя к подобной резкой дихотомии, пошли на компромисс и остановились на промежуточной позиции. Для Гаусса (1777–1855) (обычно включаемого в число трех или четырех величайших математиков в истории) число, одно из всех математических понятий, являлось потребностью разумной мысли, если не фактически «созданием этой мысли». Для Л.Э.Я. Брауэра (1882—[1966]), лидера в пересмотре логики бесконечного, люди рождены с «первоначальной интуицией» «бесконечной последовательности индивидуально различимых предметов», и поэтому, может статься, уже при рождении им дана способность представлять, что последовательность натуральных чисел не имеет никакого конца.

Но для большинства нет середины. Числа или плоды человеческого изобретения, или они существуют «вне времени и вне пространства», как существовали для Платона его идеальные числа, навсегда независимые от человеческого сознания, хотя и не за пределами некоторого восприятия со стороны человеческой мысли.

Кем бы ни был тот, кто первым постиг, что натуральные числа не имеют конца, он, видимо, был сокрушен внезапным открытием. Конечно, исчисляемые дни его жизни, даже если бы ему предстояло прожить миллион лет, оказывались ничем в бесконечной продолжительности вечности, и вся его жизнь была всего лишь мгновенной вспышкой в бесконечной темноте. Частица того позабытого ужаса нашла отражение в декаде пифагорейцев. Чтобы избежать «исчисляемую бесконечность» чисел, противостоявшую им, они спрятались за сказку, что все числа за пределом примитивных десяти, которые можно пересчитать по пальцам, имеют лишь повторную, подражательную действительность и могут игнорироваться для целей науки и философии. Самое раннее документарное свидетельство, что этот суеверный ужас перед «исчисляемой бесконечностью» был преодолен, – это доказательство Евклида (приблизительно III век до н. э.), что последовательность натуральных простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37… бесконечна. Доказательство косвенное, и сами пифагорейцы могли бы додуматься до него, если бы они столь не боялись довериться разуму за пределами конечного свидетельства очевидности чувственного восприятия.

В чрезвычайно искусном доказательстве Евклида есть намек на коварные логические трудности, на которые реально прольется свет уже только в ХХ столетии. Особенно это касается метода доказательства от противного и значения «вещественности» в математике. Прежде чем описывать суть, следует вспомнить две детали традиционного дедуктивного умозаключения. Позже мы еще раз столкнемся с этим в связи с диалектикой Платона.

Если мы надеемся доказать, что некое утверждение S истинно и нет никакого иного способа доказать это, мы допускаем, что S, напротив, ложно. Тогда, если из этого допущения мы можем вывести противоречие, по классической логике немедленно следует вывод, что S истинно. Это и есть метод доказательства «от противного», знакомое reductio ad absurdum, или сведение к абсурду, из курса школьной геометрии. Впервые Евклид использовал метод от противного при доказательстве, что, если два угла треугольника равны между собой, противоположные этим углам стороны тоже равны. Он также прибегнул к этому методу при доказательстве, что последовательность простых чисел является бесконечной.

Другой метод классической логики также нашел частое применение в математических рассуждениях. Вместо допущения, как в методе от противного, что утверждение S, которое мы надеемся доказать, ложно, мы предполагаем, что оно истинно. Затем мы выводим следствия из этого предположения. Если известно, что одно из них является истинным, и если шаги, которые вели к этому, логически обратимы, мы можем вывести по всем правилам классической логики, что утверждение S истинно. Но если шаги необратимы, мы не можем вывести правомерность утверждения S, и действительно утверждение S оказывается ложным. В спешке или по невнимательности необходимая обратимость шагов иногда упускается из виду. Подобный метод получил название «анализа», хотя слово это имеет другое важное значение (ненужное для нашей цели) в современной математике. Некоторые историки приписывают изобретение этого метода Платону, который конечно же оценил его возможности и в философском и в математическом рассуждении, даже если он и не являлся ни первооткрывателем этого метода, ни тем, кто первым отстаивал его использование в геометрии.

Метод доказательства от противного и аналитический метод вместе составляют главную тактику, по крайней мере более ранних стадий платоновской «диалектики» – категоричное слово для краткого определения метода рассуждения, но значение которого дает не слишком туманное понимание конкретного метода достижения истины. В диалектике все ложное счищается, как скорлупа ореха, и отбрасывается прочь, пока не останется ничего или только ядро неоспоримо очевидных утверждений. Однако в который раз природа обнаруженных истин зависит от тех постулатов, на которых базируется логика. Ученый легко может предоставить универсальную вескость постулатов и подобным же образом доказать непогрешимость логики. Как результат – система истин, приемлемых для тех, кто сходится во мнении, что и постулаты и логика бесспорны. В частности, если система должна удовлетворить рациональное мышление, логика не имеет права строить выкладки, не соответствующие постулатам, на которых она базируется. Именно в этом пункте современные математики нашли необходимым проявить осторожность. Утверждение относительно конечного множества предметов или явлений может быть доказано или опровергнуто опытным путем, или поочередно для каждого элемента множества, или, если множество слишком многочисленно, созданием четко определенного правила, посредством которого такое испытание могло бы быть осуществлено в конечный отрезок времени. Если «предметы» являются суждениями и требуется установить правдивость их всех, классическая логика разрешает утверждать, что каждое из них определенно «истинно» или «ложно», и испытание должно сводиться к решению, что есть что. И снова каждый элемент конечного множества имеет легко распознаваемую индивидуальность, благодаря которой может быть отличим от остальных: он именно такой, а не иной. Мы по-прежнему остаемся в пределах области здравого смысла, и пока никто не внес серьезных возражений против математического рассуждения относительно конечного множества, основанного на этих допущениях традиционной логики. Но с бесконечным множеством или бесконечной совокупностью у рационального мышления возникает повод для сомнений.

Возьмем, например, арифметическое утверждение, в котором каждое натуральное число является или четным, или нечетным. Поскольку множество всех натуральных чисел бесконечно, невозможно проверить каждое из них (поделив на 2 и отметив, является ли остаток 0 или 1), чтобы установить, какое оно. Аналогично для простых чисел: мы утверждаем, что любое натуральное число является либо простым числом, либо составным, и, если нам дано число из конечного множества чисел, с которыми возможно производить вычисления в пределах человеческих возможностей, мы определим, какое оно. Но если мы не в состоянии генерировать все четные числа или все простые, до какой степени, если таковая известна, мы можем здраво заявлять, будто все натуральные числа являются или четными, или нечетными; или простыми, или составными? И до какой известной степени можно считать, что существует то, что не может быть ни сгенерировано, ни использовано в выполнимых вычислениях? Есть ли у доказательства «вещественности» без определения метода изготовления та же самая логическая надежность, как у доказательства, которое фактически показывает, как произвести «вещественное» нечто?

Такие сомнения не тревожат тех, кто полагает, что числа существуют сами по себе и люди лишь наблюдают и изучают идеальное царство, в котором числа продолжат существовать, когда человеческая раса прекратит загрязнять землю. Подобно правилам классической логики и теорем геометрии, они также «существуют» в запредельной для человечества сфере Вечной жизни.