Новые идеи в философии. Сборник номер 5 - Коллектив авторов

Коренное отличие современной математики от античной, отличие, которому она обязана своим быстрым развитием и методологическим превосходством, основано всецело на признании ею одного принципа, который античности остался навсегда чуждым: принципа бесконечного. К открытию и установлению его привела не одна, а целый ряд проблем, относящихся к различным отраслям математической науки. В арифметике это была проблема ряда (иррационального числа), в геометрии – проблема касательной, в механике – проблема движения. Все эти проблемы ведут свое начало из древности. Но античная математика не могла дать на них удовлетворительного ответа; она стояла еще целиком на почве Архимедова принципа, по которому объектом математики может быть только то, что доступно точному измерению. Это определение, a limine исключающее из ведения математики бесконечное, раз навсегда отрезало научной мысли античности путь к разрешению целого ряда основных проблем, неразрывно связанных с понятием бесконечности; прежде всего к решению проблемы непрерывного. Раз подчинившись принципу Архимеда, она никогда более не могла выйти за пределы прерывного и дискретного бытия.

Прямо противоположную точку зрения занимает современная математика. Отвергнув безусловную обязательность Архимедова принципа, она не только признала математическую правомерность понятия бесконечного, но вместе с тем провозгласила его руководящим началом, основным методом всех применяемых ею способов счисления. Прежде бесконечное мыслилось как понятие преимущественно отрицательное, уничтожающее и поглощающее в себе определенность (измеримость) конечного. Теперь оно приобрело новое положительное значение: высшего начала, порождающего из себя и определяющего собою мир бесконечного бытия.

Впервые право гражданства в математике было признано за понятием бесконечного Лейбницем, у которого оно и получило в дифференциальном счислении точную математическую формулировку. Правда, первоначально в более узком значении бесконечно малого. Дифференциал, как бесконечно малое, – согласно определению Лейбница, – есть то, что предшествует всякому протяжению, что само еще не есть количество, но вместе с тем уже заключает в себе закономерность всякого количества и всякого протяжения. Новейшие исследования Кантора, Веронезе и др. не только подтвердили, но и значительно расширили и обобщили установленное Лейбницем положение. Они показали, что не только бесконечно малому, но и в такой же мере и бесконечно большому может быть присвоено строго определенное математическое значение, что введение принципа бесконечного в математику значительно расширяет круг доступных ей проблем и открывает ей путь к обнаружению тех основных методологических нитей, которые могли бы связать все ее разрозненные части в одно стройное систематическое целое.

Где же логические корни научной плодотворности этого принципа и каково вообще логическое значение того внутреннего преобразования, которое испытала под его влиянием математика? – Вполне справедливо указывают на то, что современная математика, в противоположность античной, отличается качественным, а не количественным характером. Действительно, сущность числа она усматривает не в его количественной исчислимости, а в свойственной ему качественной закономерности. Ибо однозначная определенность и отличимость числа обусловлена исключительно этой качественной закономерностью и не зависит вовсе от его количественная значения (его конечности или бесконечности). Всякое число необходимо входит, как член, в какой-нибудь закономерно построенный ряд чисел и занимает в нем определенное место. Если известен закон ряда и даны отношения искомого числа к остальным его членам, т. е. отношения, которыми обусловливается занимаемое им в данном ряде место, то, независимо от его количественного значения, выполнены все условия, которые необходимы и вместе с тем достаточны для его полного и исчерпывающего определения. Количественные же значения математических чисел и величин (их исчислимость и измеримость) представляют лишь частные случаи их качественных значений и потому применимы только в пределах конечного. Что это так, т. е. что принцип Архимеда, действительно, не охватывает всей сферы математического бытия, а имеет силу лишь в ограниченной ее части, явствует уже из того, что, даже оставаясь в границах конечных рациональных чисел, математика сплошь и рядом наталкивается на такие задачи, которые без выхождения за пределы конечного либо вовсе неразрешимы, либо разрешимы только при допущении некоторой погрешности, противоречащей самому существу математики как точной науки (например, когда в результате арифметических действий над конечными рациональными числами получаются иррациональные или мнимые числа). Вместе с введением принципа бесконечного в математику сразу устраняются все эти затруднения. Sub specie infiniti раскрывается полная независимость основных законов математического объекта от его количественных определений, математика освобождается от условных ограничений, которые налагает на нее сфера конечного, и понятие числа, благодаря сведению всех количественных определений к обосновывающим их качественным закономерностям, расширяется до тех пределов, которые отвечают его истинной логической сущности. Только при помощи этого нового орудия – принципа бесконечного – математика прокладывает себе путь к исчерпывающему анализу понятия числа и установлению всех вообще возможных его разновидностей. Прерывность дискретного числа растворяется теперь в сплошности непрерывных величин, и единый ряд целых рациональных чисел разрастается в целую систему рядов чисел, связанных между собою постепенностью переходов и строго определенною закономерностью взаимных отношений. Словом, повсюду, где царила простая рядоположность и случайная разрозненность, водворяется теперь непрерывная связность и систематическая законченность.

Всеми этими успехами математика обязана исключительно принципу бесконечного. В этом его научно методологическая ценность и в этом же его трансцендентально-логическое значение. В области математики он осуществляет тот же самый систематический мотив, который в логике приводит принцип изначала. Вернее, он есть не что иное, как этот самый принцип, облеченный в математическую форму и примененный к математическому бытию. Вот почему ему присущи функции подлинно систематического начала: порождения многообразия элементов из единого источника (дифференциал, как закономерная основа непрерывных величин) и объединения их в одном завершенном в себе целом (интеграл, как совокупность членов ряда). В этом смысле принцип бесконечного действительно «созидает» реальность математического объекта, т. е. конституирует понятие числа как объективно необходимого и автономного (т. е. обладающего своей собственной закономерностью) образования научного мышления.

Итак, мы видим, что анализ методологической структуры математического принципа бесконечного приводит нас обратно к его логическому источнику: к принципу изначала. Да иначе и быть не может. Если логика чистого познания избрала своим лозунгом ориентирование на точной науке, то это относится прежде всего к математике. И потому именно математическое понятие бесконечного послужило образцом для логической формулировки принципа изначала.

Эти общие выводы, вытекающие из анализа понятия бесконечного, не изменятся по существу, а получат еще новое подтверждение, если мы рассмотрим знание с другой точки зрения, которая обыкновенно считается исключительною принадлежностью так называемой формальной логики: с точки зрения практикуемого математикой образования понятий. И в этом вопросе расходятся взгляды античности и нового времени. Согласно традиционному учению логики, восходящему к Аристотелю, общие понятия, которыми оперирует наука, представляют результат сравнения сходных между собой предметов, выделения общих им признаков и отвлечения от их индивидуальных различий. Эта абстракционная теория в самом корне эмпиристична. Она предполагает существование внешних объектов как самодовлеющую данность, и ставит логический акт образования понятий в безусловную зависимость от их воздействия на познающего субъекта. К математике как к чисто конструктивной науке, не опирающейся в своих построениях на непосредственные данные опыта, абстракцционная теория применима только с большой натяжкой. В области арифметики, например, она способна объяснить разве только возникновение понятия целых рациональных конечных чисел. Уже при объяснении отрицательных и дробных чисел она наталкивается на непреодолимые затруднения. Но с полною очевидностью обнаруживается ее логическое бессилие при сопоставлении с такими математическими понятиями, какими по преимуществу орудует современная математика. Ведь в эмпирической действительности нельзя указать ничего такого, что было бы адекватно или представляло хотя бы малейшее сходство с мнимыми и иррациональными числами, дифференциалом или интегралом и т. д. Тем не менее, вплоть до последнего времени эмпиристические предубеждения настолько прочно держались в научном мышлении, что и математики и логики отказывались признавать за этими новыми разновидностями понятия числа такое же объективное значение, такой же реальный смысл, как за целыми рациональными числами, и рассматривали их, как чисто условные символы, которые, правда, пригодны для математических операций, но которые при переводе математических формул на язык действительности утрачивают всякую значимость.