Занимательная теория вероятности - Александр Исаакович Китайгородский

Случай кривой распределения молекул по скоростям в этом отношении вполне ясен. От вершины кривой «влево» мы можем двигаться лишь до нуля. В сторону же больших скоростей (вправо) можно двигаться неограниченно далеко, по крайней мере в принципе. Кривая Максвелла получается несимметричной, и точные подсчеты показывают, что средняя скорость больше наиболее вероятной именно по той причине, что хвост кривой «вправо» тянется дальше, чем «влево».

Самым замечательным обстоятельством во всем этом деле является то, что кривая распределения молекул по скоростям при определенной температуре для данного газа остается все время неизменной. Сказанное вовсе не самоочевидно. Что значит неизменность кривой? Это означает то, что доля молекул, обладающих определенной скоростью, все время остается неизменной. А почему, собственно говоря, так должно быть? Ведь мы же говорим о полном хаосе, о полном беспорядке в движении молекул. Почему нельзя представить себе, что случайно в какое-то мгновение все молекулы замедлились или случайно остановились, в другой момент все убыстрились и движутся со скоростями, лежащими между одним и двумя километрами в секунду?

Представить можно. Но дело в том, что все события такого рода обладают настолько ничтожной вероятностью, что мы вправе считать их абсолютно невозможными.

В работе Максвелла рассчитывается, конечно, среднее число молекул, обладающих какой-либо одной скоростью. Колебания около средних цифр — в науке это называется флуктуацией, — разумеется, существуют. Однако они настолько малы, что в обычном опыте обнаружить их невозможно.

Почему же, несмотря на беспорядочность движения, доля молекул, обладающих какой-либо одной скоростью (например, от 500 до 501 метра в секунду) практически неизменна? Отвечает на этот вопрос закон больших чисел. Все дело в том, что для газа, находящегося в нормальных условиях, среднее число этих молекул (то есть обладающих скоростью от 500 до 501 м/сек) огромно и в одном кубическом сантиметре их число измеряется единицей с шестнадцатью нулями (1016). Согласно же закону больших чисел отклонения от среднего будут обратно пропорциональны корню квадратному (1/√1016 = 10-8) из числа молекул. Так что флуктуации измеряются стомиллионными долями даже для такого узкого интервала скоростей, как один метр в секунду (501–500). Это и значит, что кривая Максвелла остается неизменной.

Огромное число молекул, содержащееся в крошечном по сравнению с размерами физических приборов объеме, приводит к тому, что все физические свойства вещества имеют практически неизменные значения при постоянных условиях.

Роль этого обстоятельства фундаментальна. Жизнедеятельность любого существа возможна лишь при условии, что размеры его органов восприятия внешнего мира в колоссальное число раз превосходят размеры молекул. Так что огромное число молекул, образующих тела, есть непременное условие жизни. Предположите существование организма, всего лишь в сто раз превосходящего по своим размерам молекулу газа. Сразу же ясно, что такое предположение абсурдно. Действительно, для выдуманной нами «микроамебы» были бы существенными флуктуации плотности, температуры, давления в объеме, занятом сотней молекул. Флуктуации в этом случае равны 10 процентам (1/√100 = 1/10). А как мы знаем (сравните, пожалуйста, с. 81), отдельные отклонения могут достигать величины в три-четыре раза большей. Значит, «микроамебе» пришлось бы приспосабливаться к жизни в условиях, соответствующих беспрерывному случайному колебанию температуры и давления в пределах ± 30–40 процентов. Попробуйте существовать, если температура скачет каждую секунду примерно от — 100 градусов до + 100! А наша «микроамеба» так же воспринимала бы удары всего лишь нескольких быстрых молекул.

Мы с вами живем в мире, где в одном кубическом сантиметре воздуха находится свыше 1019 молекул. Поэтому не только наши органы чувств, но и отдельные клетки, из которых они построены, состоят из миллиардов атомов.

Восприятия мира живым организмом обязаны сумме огромного числа случайных событий. И посему для нас с вами окружающая среда кажется неизменной: флуктуаций мы не замечаем. Так закон больших чисел превращает случайное в необходимое.

Новые подходы

Теория и опыт дружно шли рука об руку. Большие успехи были достигнуты благодаря новому подходу, главная идея которого такова: нет смысла обсуждать характер движения отдельной молекулы иначе как на языке теории вероятностей.

Первоначально казалось, что вероятностный подход к молекулярным явлениям — это вынужденная и непринципиальная уступка практическим обстоятельствам.

— Конечно, — рассуждали математики и физики, — если бы мы знали в какое-то мгновение координаты всех молекул и их скорости, то могли бы предсказать судьбу мира.

— Каким образом?

— В принципе очень просто. Надо составить для каждой молекулы дифференциальное уравнение движения и затем решить эту систему.

— Простите. А сколько будет таких уравнений?

— Миллиард миллиардов или что-нибудь в этом роде.

— Но сколько потребуется?..

— Да, да, конечно, это невозможно, очень много времени потребуется. Но важно знать, что в принципе такая задача выполнима.

В XX веке подобная позиция кажется крайне наивной. Почему надо бояться признания случайности индивидуальных событий, из которых складывается наблюдаемое явление? Скорее всего это боязнь предоставить, так сказать, природе волю: вдруг она перестанет слушаться законов. Но страхи эти совершенно пустые.

Наличие в природе случайных событий ни в коей мере не означает, что у нее есть какая-то возможность выйти из подчинения законам.

Прогресс молекулярной физики приносил все время подтверждение этому принципу и в то же время ставил под сомнение строгий механический детерминизм. Действительно, что толку в возможности предсказать поведение мира в «принципе», если это практически неосуществимо. Представьте, что из миллиарда миллиардов молекул вы не знаете координаты лишь одной из них. Этого мизерного незнания достаточно, чтобы вся предопределенность в поведении системы полетела бы вверх тормашками.

Таким образом, вероятностный подход — это не подсвечник, которым забивают гвоздь в отсутствие молотка, а новый великолепный инструмент, позволяющий выполнять главную задачу науки — предсказывать факты и при этом не требующий невозможной детализации молекулярного явления. Такой подход — не паллиативная мера, а единственно правильный выход из положения.

Непонимание неизбежности вероятностного описания сложных событий лежит в основе множества заблуждений. Приняв необходимость такой перестройки во взглядах, любой неформально мыслящий человек мог бы найти выход из «парадокса свободы воли», мучившего философов многие века.

Разумеется, утверждение, что все предопределено внешними условиями, вашими знаниями и разумом, справедливо. Однако мозг человека и его нервная система — машины исключительной сложности. И практически невозможно перечислить все факторы, из которых должно выкристаллизоваться его решение о том или ином действии. Достаточно упустить пустяк, чтобы воля оказалась практически свободной, а человек — ответственным за свои поступки.

Есть классы явлений, где наука отказывается (считает бессмысленным) делать предсказание единичного события. Я не могу сказать, под каким углом отправится путешествовать электрон, прошедший через отверстие пушки кинескопа. Я не могу