Быстрая математика: секреты устного счета - Билл Хэндли

Перемножим знаменатели для получения знаменателя искомой дроби.

3 х 5 = 15

Полностью решение выглядит следующим образом:

Другой пример:

Перемножаем накрест:

2 х 6 = 12

3 х 1 = 3

Сумма произведений дает нам числитель искомой дроби. Теперь найдем произведение знаменателей:

Это знаменатель дроби, получаемой в ответе.

Остался еще один шаг до полного решения задачи. Можно ли упростить полученный ответ?

Если числитель и знаменатель четные, мы можем сократить их на 2, что упростит ответ. Например, 4/8 — можно упростить до 2/4 и еще далее до 2.

В полученном выше ответе (15/18) элементы дроби не являются четными, однако и 15, и 18 без остатка делятся на 3 (15: 3 = 5, 18: 3 = 6).

Окончательным ответом является 5/6.

Всякий раз, когда вы проводите вычисления с дробями, следует добиваться самого простого ответа, какой только можно получить. Посмотрите, не делятся ли как числитель, так и знаменатель на 2, 3, 5 или любое другое число. Если делятся, то их следует разделить на это число, стремясь получить ответ, который далее уже нельзя сократить.

Например, 21/28 можно сократить до 3/4 (и 21, и 28 делятся 28 4 на 7).

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 1/4 + 1/3 = __; б) 2/5 + 1/4 = __; в) 3/4 + 1/5 = __; г) 1/4 + 3/5 = __

Ответы:

а) 7/12; б) 13/20; в) 19/20; г) 17/20

Еще один способ для ускорения вычислений

Имеется способ упростить вычисления с дробями. Если в числителе обеих дробей стоит 1, мы складываем знаменатели, получая в результате числитель искомой дроби (верхнее число), и перемножаем знаменатели, получая знаменатель искомой дроби (нижнее число).

Рассмотрим это на примере:

Данный способ позволяет находить сумму и разность дробей без отыскания наименьшего общего знаменателя и часто позволяет «увидеть» ответ с одного взгляда.

Иными словами, вы должны быть в состоянии сразу «увидеть», что:

1/3 + 1/4 = 7/12

и что:

1/3 — 1/4 = 1/12

Если хотите сложить три дроби, сначала найдите сумму первых двух, а затем сложите полученную сумму и третью дробь.

Например:

1/3 + 1/2 + 2/5 =

Сначала:

1/3 + 1/2 = (3 + 2)/(3 х 2) = 5/6

Затем:

5/6 + 2/5 = (25 + 12)/(6 х 5) = 37/30

Числитель полученной дроби (37) больше знаменателя, поэтому вычитаем 30 из 37 (или делим 37 на 30), чтобы получить окончательный ответ:

17/30

37 при делении на 30 дает 1 с остатком 7.

Вычитание

Аналогичный метод используется для вычисления разности:

2/3 — 1/4 = (8 — 3)/12 = 5/12

Снова перемножаем накрест, получая 2 х 4 = 8 и 1 х 3 = 3, которые в сумме дают число числителя искомой дроби. Затем перемножаем знаменатели, чтобы получить знаменатель искомой дроби.

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 1/2 — 1/3 = __; б) 3/4 — 1/7 = __; в) 2–3 — 2/7 = __; г) 4/5 — 2/7 = __

Вычисления не представляют труда, когда знаешь, как обращаться с дробями.

а) 1/6; б) 17/28; в) 8/21; г) 16/35

Глава 21

Умножение и деление дробей

Когда вы суммируете дроби, в результате получается число, которое больше каждого из слагаемых. И когда вы вычитаете дроби, результат оказывается меньше, чем уменьшаемое, как и следует ожидать.

Операции умножения и деления дробей весьма отличаются от таких же операций с целыми числами, и поэтому многим кажутся сложными. Обычно при делении число (делимое) уменьшается, в случае же деления числа на дробь происходит увеличение делимого. И наоборот, умножение на дробь уменьшает число, произведение которого с дробью мы находим. Иными словами, это будто мир, в котором действия производят обратный эффект вопреки здравому смыслу.

Будучи подростком, я играл в юниорской футбольной команде. У нас была традиция: в третьем перерыве игры мы ели апельсины. Каждый получал четверть. В моей команде было 20 игроков, включая запасных. Сколько апельсинов требовалось, чтобы угостить каждого игрока его долей? Напомню, что каждый получал четверть апельсина.

Одного апельсина хватает на четверых, поэтому пять апельсинов хватит на 20 игроков. Из апельсина, деленного на четверти, получается 4 кусочка. Из пяти апельсинов, деленных на четверти, получается 20 кусочков. Пяти апельсинов, деленных на половины, хватило бы только на 10 игроков. Деление апельсинов увеличивает количество кусочков, которые можно раздать.

А как насчет умножения? Если бы четверть игроков были травмированы во время игры — это сколько игроков? Четверть от 20 равна 5. Почему бы нам не делить, чтобы узнать количество травмированных игроков? Делить на 4 — это то же самое, что умножать на четверть.

• Сколько получится, если 6 умножить на 10? 60.

• Сколько получится, если 6 умножить на 8? 48.

• Сколько получится, если 6 умножить на 5? 30.

• Сколько получится, если 6 умножить на 2? 12.

• Сколько получится, если 6 умножить на 1? 6.

• Сколько получится, если 6 умножить на 1/2? 3.

• Сколько получится, если 6 умножить на 1/3? 2.

Это кажется логичным. Чем меньше число, на которое вы умножаете, тем меньшим является результат.

Таким образом, сказать: «Возьмите половину от шести» — то же самое, что сказать: «Умножьте шесть на одну вторую». Мы также знаем, что «половина от 6» является тем же самым, что и «6, деленное на 2».

Вернемся к определению, которое мы даем произведению. Произведение 3 х 7 равняется сумме трех семерок, то есть 7 плюс 7 плюс 7.

2 х 10 = 10 + 10.

А как насчет 11/2 х 10?

Речь идет о сумме 10 и половины от 10. Таким образом, произведение 10 х 11/2 — равно 15.

1/2, взятая 10 раз, просто равняется половине от 10, то есть 5.

Умножение дробей

Возможно, вы без вычислений знаете ответ на следующий пример:

1/2 х 1/4 =

Посмотрим, как ответ можно было бы рассчитать. Перемножаем верхние числа, то есть числители, и получаем числитель дроби ответа.

1 х 1 = 1

Перемножаем числа внизу, то есть знаменатели, и получаем знаменатель дроби ответа.

2 х 4 = 8

Ответ: 1/8.

Вот и вся операция умножения. Кто сказал, что с дробями трудно иметь дело? Совсем нетрудно. Попробуем