7. Физика сплошных сред - Ричард Фейнман

Теперь же продолжим рассуждения о нашей теории, а потом вернемся снова назад и обсудим некоторые ошибки избранного нами пути. Если магнитный момент какого-то электрона на­правлен вверх, то его энергия частично обусловлена внешним полем, а частично связана с тенденцией спинов быть параллель­ными. Поскольку при параллельных спинах энергия меньше, то эффект получается таким же, как и от «внешнего эффектив­ного поля». Но помните, что обязано это не истинным магнит­ным силам, а более сложному взаимодействию. Во всяком слу­чае, в качестве выражений для энергии двух спиновых состояний «магнитного» электрона мы примем уравнения (37.1). От­носительная вероятность этих двух состояний при температуре Т пропорциональна exp[-энергия/kT], что можно записать как е±х, где х=|m|(H+lM/e0с2)/kT. Если затем мы вычислим среднюю величину магнитного момента, то найдем (как и в предыдущей главе), что она равна

M=N |m|thx. (37.2)

Теперь я могу подсчитать внутреннюю энергию материала. Отметим, что энергия электрона в точности пропорциональна магнитному моменту, так что все равно, вычислять ли средний момент или среднюю энергию. Среднее значение энергии будет при этом

Но это не совсем верно. Выражение lM/e0c2 представляет взаимодействие всех возможных пар атомов, а мы должны пом­нить, что каждую пару следует учитывать только один раз. (Ког­да мы учитываем энергию одного электрона в поле остальных, а затем энергию второго электрона в поле остальных, то мы еще раз учитываем часть первой энергии.) Поэтому выражение взаи­модействия мы должны разделить на 2 и наша формула для энергии приобретет вид

В предыдущей главе мы обнаружили одну очень интересную особенность: для каждого материала ниже определенной темпе­ратуры существует такое решение уравнений, при котором маг­нитный момент не равен нулю даже в отсутствие внешнего на­магничивающего поля. Если в уравнении (37.2) мы положим Н=0, то найдем

где Мнас=N|m| и Tc=|m|lMнас./ke0c2. Решив это уравнение (графи­чески или каким-то другим способом), мы найдем, что отноше­ние М/Мнаскак функция от T/Tcпредставляет кривую, наз­ванную на фиг. 37.1 «квантовая теория».

Фиг. 37.1. Зависимость спонтанной намагниченности (Н=0) ферромагнитных кристаллов от температуры.

Пунктирная кривая «Кобальт, Никель» — это полученная экспериментально кри­вая для кристаллов этих элементов. Теория и эксперимент находятся в разумном согласии. Там же представлены резуль­таты классической теории, в которой вычисления проводились в предположении, что атомные магнитики могут иметь всевоз­можные ориентации в пространстве.

Можете убедиться, что это предположение приводит к предсказаниям, которые весьма далеки от экспериментальных данных.

Даже квантовая теория недостаточно хорошо описывает наблюдаемое поведение при высоких и низких температурах. Причина этого отклонения заключена в принятом нами доволь­но грубом приближении: мы предполагали, что энергия атома зависит лишь от средней намагниченности соседних с ним ато­мов. Другими словами, каждый атом со спином, направленным вверх, находящийся по соседству с данным атомом, из-за квантовомеханического эффекта выстраивания вносит свой вклад в энергию. А сколько таких атомов? В среднем это из­меряется величиной намагниченности, но это только в сред­нем. Может оказаться, что для какого-то одного атома спины всех его соседей направлены вверх. Тогда его энергия будет выше средней. У другого же спины некоторых соседей направ­лены вверх, а некоторых — вниз, а среднее может быть нулем, и тогда никакого вклада в энергию вообще не будет и т. д. Из-за того что атомы в разных местах имеют различное окружение с различным числом направленных вверх и вниз спинов, нам следовало бы воспользоваться более сложным способом усред­нения. Вместо того чтобы брать один атом, подверженный сред­нему влиянию, нам следовало бы взять каждый атом в его реаль­ной обстановке, подсчитать его энергию, а затем найти среднюю энергию. Но как же все-таки определить, сколько соседей ато­мов направлено вверх, а сколько — вниз? Это как раз и нужно вычислить, но здесь мы сталкиваемся с очень сложной задачей внутренних корреляций,— задачей, которую никому еще не уда­валось решить. Эта животрепещущая и интригующая проблема в течение многих лет волновала умы физиков; по этому вопросу писалось множество статей крупнейшими учеными, но и они не могли найти полного решения.

Оказывается, что при низких температурах, когда почти все атомные магниты направлены вверх и лишь некоторые направ­лены вниз, задача решается довольно легко; то же самое можно сказать и о высоких температурах, значительно превышаю­щих температуру Кюри Тс, когда почти все они направлены совершенно случайно. Часто легко вычислить небольшие откло­нения от некоторой простой идеализированной теории, и до­вольно ясно, почему такие отклонения имеются при низких температурах. Физически понятно, что по статистическим при­чинам намагниченность при высоких температурах должна исчезать. Но точное поведение вблизи точки Кюри никогда во всех подробностях не было установлено. Это очень интересная задача, над которой стоит потрудиться, если когда-нибудь вам вздумается взяться за еще не решенную проблему.

§ 2. Термодинамические свойства

В предыдущей главе мы заложили основу, необходимую для вычисления термодинамических свойств ферромагнитных ма­териалов. Они, естественно, связаны с внутренней энергией кристалла, которая обусловлена взаимодействием между раз­личными спинами и определяется формулой (37.3). Для нахож­дения энергии, связанной со спонтанной намагниченностью (ни­же точки Кюри), мы можем в уравнении (37.3) положить Н=0 и, заметив, что thx=М/Мнас, найти, что средняя энергия про­порциональна М2:

Если мы теперь построим график зависимости намагниченности от температуры, то получим кривую, которая описывается от­рицательным квадратом функции (37.1) и представлена на фиг. 37.2, а. Если бы мы измеряли удельную теплоемкость такого материала, то получили бы кривую (фиг. 37.2, б), ко­торая представляет производную кривой, изображенной на фиг. 37.2, а.

Фиг. 37.2. Энергия в единице объема и удельная теплоемкость ферромагнитного материала.

С увеличением тем­пературы эта кривая медленно растет, но затем при Т = Тснео­жиданно падает до нуля. Резкое падение вызвано изменением на­клона кривой магнитной энер­гии, и кривая ее производной попадает прямо в точку Кюри. Таким образом, совершенно без магнитных измерений, лишь наб­людая за термодинамическими свойствами, мы бы смогли уста­новить, что внутри железа или никеля что-то происходит. Однако как из эксперимента, так и из улучшенной теории (с учетом внутренних флуктуации) следует, что эти простые кривые неправильны и что истинная картина на самом деле бо­лее сложна. Пик этих кривых поднят выше, а падение до нуля происходит несколько медленнее. Даже если температура до­статочно велика, так что спины в среднем распределены совер­шенно случайно, все равно попадаются области с определенным значением намагниченности, и спины в этих областях продол­жают давать небольшую дополнительную энергию взаимодей­ствия, которая медленно уменьшается с ростом температуры и увеличением беспорядка. Так что реальная кривая выглядит так, как показано на фиг. 37.2, в. Одна из целей физики сегод­няшнего дня — найти точное теоретическое описание удельной теплоемкости вблизи точки перехода Кюри — захватывающая проблема, не решенная до сих пор. Естественно, что эта пробле­ма очень тесно связана с формой кривой намагничивания в той же самой области.

Опишем теперь некоторые эксперименты, отнюдь не термоди­намического характера, которые показывают, что мы все же в каком-то смысле правы в нашей интерпретации магнетизма. Когда материал при достаточно низких температурах намагни­чен до насыщения, то М очень близка к Мнас, т. е. почти все спины, равно как и магнитные моменты, параллельны. Это можно проверить экспериментально. Предположим, что мы подвесили магнитную па­лочку на тонкой струне, а затем окружили ее катушкой, так что мо­жем менять магнитное поле, не притрагиваясь к магниту и не прикладывая к нему никакого момента сил. Это очень трудный эксперимент, ибо магнитные силы столь велики, что любая нерегулярность, любой перекос или несо­вершенство в железе могут дать случайный момент. Однако такой эксперимент был выполнен со всей необходимой аккурат­ностью и роль случайных моментов была сведена до минимума. С помощью магнитного поля катушки, которая окружает па­лочку, мы сразу можем перевернуть все магнитные моменты. Когда мы это проделаем, то заодно «сверху вниз» перевернутся и все моменты количества движения, связанные со спином (фиг. 37.3).