Льюис Кэрролл: Досуги математические и не только (ЛП) - Льюис Кэрролл

или, если P превысит 31,

P = (d + e) – 9 апреля.                                       (2)

Входящие в эти формулы величины таковы: d = |(19c + m)/30|, e = |(2a + 4b – d + n)/7|.

Таковы формулы Гаусса (за опущенными подробностями мы отсылаем читателя к статье базельского профессора Г. Кинкелина 1870-го года, тогда же перепечатанной по-русски в «Математическом сборнике Московского математического общества», т. V, с. 73—92 — перевёл и дополнил Н. Сонин; доказательство формул Гаусса просто и вместе с тем строго впервые было дано именно в этой статье). Здесь a в обозначениях Роуза Болла — это 4-Rem данного года у Доджсона; b и c соответствуют, аналогично, 7-Rem и 19-Rem. У Доджсона тоже есть величина a (из таблицы); чтобы не путать её с болловой (то есть, с 4-Rem), обозначим её здесь как ac (кэрроллова).

Рассмотрим выражение, раскрывающее величину d; добавив в числитель сократимые величин, кратные 30, получим

d = |(19c + m)/30| =  |(19c – 30c + m – 30)/30| = | – (11c + ac)/30| = ∆,

где ∆ есть тот дефект числа 11c + ac от наибольшего кратного 30, содержащего в себе это число, о котором Доджсон говорит в пункте 3) параграфа 3 своей работы. (В самом деле, этот дефект есть величина 30w – 11с – ac, где w — некоторое число, выбираемое таким образом, чтобы значение всего выражения по модулю было меньше 30; это и приводит нас к вышеуказанному виду для ∆.) Отметив, кроме того, что n из таблицы в книге Роуза Болла соответствует h из Доджсоновой таблицы, запишем:

e = |(2a + 4b + h – ∆)/7|.

Подставляя преобразованные таким образом величины d и e в формулу (1), получаем:

P = 22 + d + e = 22 + ∆ + |(2a + 4b + h – ∆)/7|.

Отметив также, что |(2a + 4b + h)/7| есть Доджсоново k, и разложив ∆ на сумму наибольшего кратного 7, содержащегося в ∆, и остатка от деления на 7, запишем:

P = 22 + 7{∆/7} + |∆ /7|+ k – |∆ /7|

с точностью до 7. Таким образом,

P = 22 + k + 7{∆ /7} марта                                      (1*)

либо, аналогично,

P = k + 7{∆ /7} – 9 апреля.                                    (2*)

Это есть Доджсонов вид формул Гаусса. В таком виде, однако, они пригодны лишь для случая, когда, как указывает Доджсон, k + 7{∆ /7} «дотягивает» до ∆. В самом деле, ведь величина k + 7{∆ /7} в формулах Доджсона, эквивалентная сумме d + e в формулах Гаусса, не может быть менее d: «дотягивать» до пасхального полнолуния она обязана. Если этого не происходит, мы должны ещё прибавить сюда недостающую нам семёрку. И тогда

P  = 29 + k + 7 марта                                      (3)

либо

P = k + 7 – 2 апреля.                                    (4)

20

Как тут поступать, Доджсон поясняет в небольшой статье «Мнемоническая техника», которую мы здесь и приведём по книге Доджсона Коллингвуда «Жизнь и письма Льюиса Кэрролла».

«Моя мнемоническая техника есть видоизменение методики Грея; но в то время как тот для представления цифр использует как согласные, так и гласные, и вынужден удовлетвориться слоговой белибердой в выражении даты и всякого иного нужного числа, я использую одни согласные, а гласными лишь разбавляю их сколько понадобиться; таким образом, мне всегда удаётся выстроить настоящее, существующее слово для всего, что ни требуется выразить.

Принципы, на основании которых были отобраны двадцать согласных, таковы.

1:<отобраны> «b» и «c», как первые две согласные алфавита.

2: «d» из «duo» <‘два’ лат.>и «w» из «two» <‘два’ англ.>.

3: «t» из «tres» <‘три’ франц.>, о второй немного позже.

4: «f» из «four» <‘четыре’ англ.> и «q» из «quattuor» <‘четыре’ франц.>.

5: «l» и «v», поскольку «l» и «v» суть римские обозначения пятидесяти и пяти.

6: «s» и «x» из «six» <‘шесть’ англ.>.

7: «p» и «m» из «septem» <‘семь’ лат.>.

8: «h» из «huit» <‘восемь’ франц.> и «k» из греческого слова «okto» <‘восемь’>.

9: «n» из «nine» <‘девять’ англ.> и «g» как напоминающее девятку видом.

0: «z» и «r» из «zero» <‘ноль’ англ.>.

Теперь у нас имеется ещё один согласный, ожидающий своей цифры, а именно «j», и одна цифра, ожидающего своего согласного, а именно «3»; вывод очевиден.

Результат представим в виде таблицы:

Когда найдено слово, чьи последние согласные представляют нужное число, лучше всего действовать так: поместить это слово последним в рифмованный куплет, так что если даже остальные слова из этого куплета забудутся, рифма спасёт единственное действительно важное слово.

Теперь предположим, что вы желаете запомнить дату открытия Америки, то есть год 1492. Без «1» мы можем обойтись — эта единица очевидна; тогда нам нужно лишь 492. Запишем это так:

Теперь попытаемся отыскать слово, содержащее «f» или «q», «n» или «g», «d» или «w». Такое слово сразу же само напрашивается: «found» <‘находить’ англ.>.

После этого к делу привлекается поэтическая способность, и вот возникает такой куплет:

«Columbus sailed a world aroundUntil America was FOUND».

<Поплыл Колумб вокруг Земли.В пути Америку НАШЛИ.>

По возможности сочиняйте такие куплеты сами: их вы запомните лучше, чем чьи-либо чужие.

Июнь 1888 г».

21

Перевод этой мнемонической строфы таков: «Спишите эту песенку себе! Столь же нехорошо оставить в живых блоху, как и ограбить пчелу». Согласные третьей строки английского текста в соответствии со сказанным в предыдущем примечании последовательно подсказывают цифры 6, 5, 4, 5 — значения величины a, а согласные четвёртой строки — цифры 6, 0, 1, 1, значения h.

22

Считаем нужным напомнить нашему читателю следующее. В данной работе выражение «Пасха по старому стилю» соответствует нашей православной пасхе (а до 1582 года повсеместно также и католической), и для неё мы получаем по формулам Гаусса — Доджсона действительно даты по старому стилю. Например, для Пасхи 2012 года эти формулы дают 2 апреля. По новому стилю православная Пасха 2012 года придётся, в результате разницы между двумя календарями, на 15-го апреля. Разумеется, выражение «Пасха по новому стилю» у Доджсона подразумевает отнюдь не эту, православную, Пасху в датах григорианского календаря, но католическую (лишь до 1582 года совместно с православной), исчисляемую по формулам Гаусса — Доджсона сразу в датах нового стиля. Для 2012 года расчёт даст 8 апреля.

23

Тут какая-то странность. Из книги Роуза Болла Кэрроллу должно было быть известно хотя бы о ещё одном исключении — это 1981 год, дата Пасхи в котором не вполне соответствует расчётам способом Гаусса — Доджсона. На деле исключений больше, но и они подчиняются особому правилу. Чтобы пояснить читателю, в чём тут дело, мы должны разобрать природу «нового стиля» в отношении католической Пасхи в данной работе.

В то время как старый, юлианский, и новый, григорианский, календари предназначены для установления движения по семи дням недели определённых дат, то есть дней, обозначаемых цифрами от 1 до 28 (29), до 30 и до 31, а потому являются солнечными календарями, пасхальное исчисление связано с установлением фаз Луны, а потому должно основываться на каком-либо виде лунного календаря. Папской буллой «Inter gravissimas» («Среди важнейших»; традиционно названа по первым словам первого предложения) и был в 1582 году закреплён для католиков новый лунный календарь — наряду с новым солнечным, известным нам как григорианский. Реформа имела особую цель в отношении первого и второго календарей. Обновлением солнечного календаря, как известно, весеннее равноденствие навечно привязывалось к 21 (20) марта на деле; ведь расчёт Пасхи по старому стилю тоже, только без всяких поправок, предполагает, будто весеннее равноденствие наступает 21 марта (ст. ст.), словно бы мы продолжаем жить в эпоху Никейского собора, длящуюся вневременно. (Почему же подобная календарная реформа оказалась для православной церкви неактуальной? Дело в том, что православный литургический календарь — это, строго говоря, совсем не юлианский солнечный и даже не лунный календарь, но счёт времени седмицами по Пасхе). Новый же лунный календарь призван был закрепить столь же неподвижно (в собственных календарных рамках) первое весеннее полнолуние. Таким образом, григорианская реформа, являющаяся на деле реформой пасхалии, а новый гражданский календарь имеющая как бы побочным продуктом, задала составную, лунно-солнечную природу выражения «Пасха по новому стилю».