Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - Дербишир Джон

можно переписать в таком виде:

Ряд в скобках здесь равен просто S(x): каждый член, встречающийся в одном, встречается также и в другом из двух выписанных выше рядов, а это и означает, что они совпадают.

Другими словами, S(x) = 1 + xS(x). Перенося самый правый член в левую часть, получаем равенство S(x) − xS(x) = 1, или, другими словами, (1 − x)S(x) = 1. Следовательно, S(x) = 1/(1 − x). Возможно ли, чтобы за нашей бесконечной суммой скрывалась столь простая функция, как 1/(1 − x)? Может ли равенство

оказаться верным?

Без сомнения, может. Если, например, x = 1/2, то 1/(1 − x) равняется 1/(1 − 1/2), что есть 2. Если x = 0, то 1/(1 − x) равно 1/(1 − 0), что есть 1. Если x = −1/2, то 1/(1 − x) равняется 1/(1 − (−1/2)), т.е. 1:11/2 что есть 2/3. Если x = 1/3, то 1/(1 − x) равняется 1/(1 − 1/3) т.е. 1:2/3, что есть 11/2. Если x = −1/3, то 1/(1 − x) равняется 1/(1 − (−1/3)), т.е. 1:11/3, что есть 3/4. Все сходится. Для аргументов −1/2, −1/3, 0, 1/3, 1/2, при которых мы знаем значения функции, значения бесконечного ряда S(x) такие же, как и значения функции 1/(1 − x). Похоже, что этот ряд и эта функция — одно и то же.

Рисунок 9.2. Функция 1/(1 − x).

Но они не одно и то же, поскольку у них различные области определения, как это видно из рисунков 9.1 и 9.2. S(x) имеет значения только между −1 и 1, не включая границы; функция же 1/(1 − x) имеет значения везде, за исключением точки x = 1. Если x = 2, то ее значение равно 1/(1 − 2), то есть −1. Если x = 10, то значение равно 1/(1 − 10), то есть −1/9. Если x = −2, то значение равно 1/(1 − (−2)), то есть 1/3. Можно нарисовать график функции 1/(1 − x). Как видно, он совпадает с предыдущим графиком в промежутке между −1 и 1, но имеет еще и значения к западу от −1 (включая саму −1) и к востоку от 1.

Мораль здесь в том, что бесконечный ряд может определять только часть функции; или, используя подобающие математические термины, бесконечный ряд может определять функцию только на части ее области определения. Остальная часть функции может где-то прятаться, ожидая, пока ее не вытащат на свет с помощью фокуса типа того, что мы применили к S(x).

Это приводит к очевидному вопросу: а не обстоит ли дело подобным же образом и с дзета-функцией? Не случилось ли так, что бесконечная сумма, которую мы использовали для дзета-функции, — выражение (9.1) — описывает только часть этой функции? И у этой функции есть что-то еще, что нам только предстоит открыть? Может ли область определения дзета-функции

оказаться больше, чем просто «все числа, большие 1»?

Конечно может. Иначе зачем бы мы тут стали влезать во все эти подробности? Да, дзета-функция имеет значения при аргументах, меньших 1. На самом деле, как и функция 1/(1 − x), она имеет значения при всех числах за единственным исключением x = 1.

Сейчас подходящий момент, чтобы привести график дзета-функции, который продемонстрировал бы все ее свойства в широком интервале значений. К сожалению, это невозможно. Как уже упоминалось, кроме как для простейших функций, обычно нет хорошего и надежного способа показать функцию во всем ее великолепии. Близкое знакомство с функцией требует времени, терпения и тщательного изучения. Можно, однако, изобразить дзета-функцию по кускам. На рисунках с 9.3 по 9.10 показаны значения ζ(s) для некоторых аргументов, находящихся слева от s = 1, хотя для этого потребовалось выбрать свой собственный масштаб на каждом графике. Понять, где мы находимся, можно, руководствуясь подписанными аргументами (на горизонтальной оси) и значениями (на вертикальной оси). При обозначении масштаба m указывает на миллион, tr на триллион, mtr обозначает миллион триллионов, a btr — миллиард триллионов.

Коротко говоря, когда s лишь немного меньше единицы (рисунок 9.3), значения функции очень большие по величине и отрицательные — как если бы при движении на запад при пересечении линии s = 1 значения внезапно переметнулись из бесконечности в минус бесконечность. Если продолжить путешествие по рисунку 9.3 — т.е. устремлять s ближе и ближе к нулю, — то подъем вверх радикально замедляется. Когда s равно нулю, ζ(s) равна −1/2. При s = −2 кривая пересекает ось s, т.е. ζ(s) равна нулю.

Рисунок 9.3.

Затем (мы по-прежнему двигаемся на запад, добравшись теперь до рисунка 9.4) график взбирается на относительно скромную высоту (в действительности до 0,009159890…), а после этого поворачивает вниз и снова пересекает ось при s = −4. График попадает в неглубокую впадину (−0,003986441…), а после нее снова взбирается вверх и пересекает ось при s = −6. Еще один невысокий пик (0,004194…), спуск до пересечения с осью при s = −8 и далее в несколько более глубокую впадину (−0,007850880…), затем пересечение с осью в точке −10, после чего уже довольно заметный пик (0,022730748…), пересечение с осью при s = −12, впадина поглубже (−0,093717308…), пересечение с осью при s = −14 и т.д.

Рисунок 9.4.

Дзета-функция равна нулю при каждом отрицательном четном числе, а по мере продвижения на восток (рисунки от 9.5 до 9.10) последовательные пики и впадины быстро делаются все более и более значительными. Последняя показанная впадина расположена при s = −49.587622654…, а глубина ее составляет около 305 507 128 402 512 980 000 000. Сами видите, как нелегко изобразить дзета-функцию на одном графике.

Рисунок 9.5.

Рисунок 9.6.

Рисунок 9.7.

Рисунок 9.8.