Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - Дербишир Джон

Наш с вами Пафнутий был также в некотором роде чудотворцем. Он удостоился чести добиться единственных реальных успехов на пути к доказательству ТРПЧ в период между тем, как Дирихле поднял Золотой Ключ в 1837 году, и тем, как Риман повернул его в 1859-м. Занятно, что наиболее оригинальная работа Чебышева оказалась в стороне от основного направления исследований по ТРПЧ и послужила образованию менее значительного бокового течения, которое развивалось само по себе и слилось с главным потоком лишь 100 лет спустя.

Чебышев на самом деле написал две статьи по ТРПЧ. Первая, датируемая 1849 годом, озаглавлена «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины»[69]; стоит отметить схожесть с заглавием статьи Римана, написанной 10 лет спустя. В этой работе Чебышев взял Золотой Ключ Эйлера, поиграл с ним немного, примерно как Дирихле за 12 лет до того, и пришел к следующему интересному результату.

Если π(N) ~ CN/ln N для некоторого фиксированного числа C, то C должно быть равным 1.

Вся проблема, конечно, лежала в этом «если». Чебышев не смог преодолеть эту проблему, как, впрочем, в течение полувека не смог и никто другой.

Вторая статья Чебышева, датируемая 1850 годом, значительно более любопытна. Вместо использования Золотого Ключа она начинается с формулы, доказанной шотландским математиком Джеймсом Стирлингом в 1730 году и выражающей приближенные значения факториальной функции для больших чисел. (Факториал числа N равен 1×2×3×4×…×N. Факториал числа 5, например, равен 120: 1×2×3×4×5 = 120. Обычно для факториала числа N используется обозначение N!. Формула Стирлинга утверждает, что для больших значений N его факториал примерно равен ). Чебышев превратил ее в другую формулу, содержащую ступенчатую функцию — функцию, которая имеет одно значение на некотором интервале аргументов, а затем прыгает к другому значению.

Вооруженный только этими средствами и используя ряд вполне элементарных приемов из дифференциального и интегрального исчисления, Чебышев получил два важных результата. Первый состоит в доказательстве «постулата Бертрана», выдвинутого в 1845 году французским математиком Жозефом Бертраном. Постулат гласит, что между любым числом и его удвоением (например, между 42 и 84) всегда найдется простое число. Второй результат Чебышева таков.

π(N) не может отличаться от N/ln N более чем примерно на 10% в большую или меньшую сторону.

Вторая статья Чебышева важна в двух отношениях. Прежде всего, использование в ней ступенчатой функции могло вдохновить Римана на использование подобной же функции в его работе 1859 года (об этом будет подробно рассказано ниже). Не подлежит сомнению, что Риман знал о работе Чебышева; имя российского математика появляется в записках Римана (где оно пишется как «Tschebyschev»).

Но большего внимания заслуживает сама идея подхода, развитого Чебышевым во второй статье. Он получил свои результаты без использования теории функций комплексной переменной. У математиков есть короткий способ для выражения этого факта: они говорят, что методы Чебышева «элементарны». Риман в своей работе 1859 года не использовал элементарные методы. Для решения исследуемой им проблемы он привлек всю мощь теории функций комплексной переменной. Полученные результаты оказались столь замечательными, что другие математики последовали его примеру, и в конце концов ТРПЧ была доказана с использованием неэлементарных методов Римана.

Вопрос о том, можно ли доказать ТРПЧ элементарными методами, оставался открытым, но по прошествии нескольких десятилетий общее мнение утвердилось в том, что это невозможно. Так, в тексте Алберта Ингэма 1932 года «Распределение простых чисел» автор сообщает в подстрочном примечании: «Доказательство теоремы о распределении простых чисел „в терминах вещественных переменных“, т.е. доказательство, не вовлекающее, будь то явным или неявным образом, понятие аналитической функции комплексной переменной, никогда не было обнаружено, и теперь понятно, почему так и должно быть».

Ко всеобщему изумлению, такое доказательство было обнаружено в 1949 году Атле Сельбергом — норвежским математиком, работавшим в Институте высших исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси.[70] История получения этого результата неоднозначна, поскольку Сельберг предварительно сообщил о своих, еще неокончательных, идеях эксцентричному венгерскому математику Паулю Эрдешу, который использовал их и получил свое собственное доказательство одновременно с Сельбергом. После смерти Эрдеша в 1996 году были написаны две его популярные биографии, и любознательный читатель может найти полный отчет об этой запуганной истории в любой из них. Доказательство называется «доказательством Эрдеша-Сельберга» в Венгрии и «доказательством Сельберга» за ее пределами.{A2}

В дополнение к своим исследованиям Чебышев был замечательным научным руководителем, умевшим увлечь своими темами. Его ученики несли идеи и методы учителя в другие российские университеты, повсюду пробуждая интерес и поднимая уровень преподавания. Сохраняя активность и на восьмом десятке лет, Чебышев был также оригинальным изобретателем, сконструировавшим несколько арифмометров, которые сохранились до нашего времени в музеях Москвы и Парижа. В его честь назван лунный кратер, расположенный около 135°W 30°S.[71]

Я не могу расстаться с Чебышевым, не упомянув, по крайней мере мимоходом, о его знаменитом отклонении — знаменитом, я хочу сказать, среди специалистов по теории чисел.

Если разделить простое число (отличное от 2) на 4, то остаток должен быть или 1, или 3. Демонстрируют ли простые числа какое-нибудь отклонение? Да: в пределах до p = 101 имеются 12 простых, которые дают остаток 1, и 13 тех, что дают остаток 3. В пределах до p = 1009 счет равен 81 к 87. В пределах до p = 10 007 счет равен 609 к 620. Ясно видно, что остаток 3 встречается не намного, но все же отчетливо чаще, чем остаток 1. Это дает пример чебышевского отклонения, первое замечание Чебышева о котором относится к 1853 году. Отклонение, которое таким образом выказывают остатки, в конце концов нарушается при p = 26 861, когда простые, дающие остаток 1, на короткое время вырывают первенство. Однако это не более чем единовременное отклонение: настоящая первая зона, где происходит нарушение, составлена из 11 простых чисел от p = 616 877 до p = 617 011. Простые с остатком 1 удерживают лидерство только для 1939 из первых 5,8 миллиона простых (предел, до которого я дошел в своих проверках). Они ни разу не вырываются вперед среди последних 4 988 472 из этих простых чисел.

Что касается делителя 3, то для него отклонение выражено даже еще радикальнее. Здесь остаток (для чисел, больших p = 3) может быть или 1, или 2, и имеющееся отклонение — в пользу 2. Оно ни разу не нарушается до p = 608 981 813 029. Вот это вам отклонение! Нарушение выявили в 1978 году Картер Бейс и Ричард Хадсон. Нам еще представится случай упомянуть чебышевское отклонение в главе 14.

Осенью 1852 года — первого года работы над своей диссертацией на право чтения лекций — Риман снова встретил Дирихле. Весь эпизод достаточно трогателен, и я приведу отрывок из биографии, написанной Дедекиндом:

Во время осенних каникул 1852 года Лежен Дирихле ненадолго останавливался в Геттингене. Риман, только что вернувшийся из Квикборна, имел счастливую возможность видеться с ним практически ежедневно. И в первый день, когда он приходил к Дирихле, и на следующий день <…> Риман спрашивал у Дирихле, который считался величайшим из живущих тогда математиков после Гаусса, советов касательно своей работы. Риман так писал своему отцу об их встрече: «Давеча утром Дирихле провел со мной около двух часов. Он дал мне несколько советов относительно моей диссертации на право чтения лекций; замечания его настолько обстоятельны, что моя работа существенно облегчилась. Иначе мне пришлось бы проводить много времени в библиотеке, выискивая кое-какие из этих вещей. Мы вместе с ним просмотрели мою диссертацию, и он был в целом очень ко мне расположен, чего я не вполне ожидал, учитывая огромную разницу в нашем положении. Надеюсь, что он не забудет обо мне в будущем». Несколько дней спустя <…> большая группа сотрудников отправилась на совместную экскурсию — путешествие очень ценное в том отношении, что по прошествии некоторого времени, проведенного в компании, сдержанность Римана заметно уменьшилась. На следующий день Дирихле и Риман снова встретились в доме Вебера. Импульс, который Риман вынес из этого общения, принес ему массу пользы. И тем не менее отцу об этом он пишет так: «Как видишь, я тут оказался не вполне домоседом; однако же на следующее утро я работал еще напряженнее и сделал так много, как если бы я просидел над своими книгами целый день».