Большая Советская Энциклопедия (ПР) - БСЭ БСЭ

или

f (x ) ® A при x ® x0

  В силу этого определения на П. функций переносятся свойства П. суммы, произведения и частного последовательностей, а также сохранение неравенств при предельном переходе.

  Определение П. функции можно сформулировать и не прибегая к понятию П. последовательности: число А называется пределом функции f в точке x0 , если для любого числа e > 0 существует такое число d > 0, что для всех точек х &sup1; x0 , удовлетворяющих условию &frac12;х — x0 &frac12; < d, x &sup1; x0 , выполняется неравенство &frac12;f (x ) — A&frac12; < e.

  Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция х a , показательная функция ax , тригонометрические функции sinx, cosx, tgx и ctgx и обратные тригонометрические функции arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx во всех внутренних точках своих областей определения имеют П., совпадающие с их значениями в этих точках. Но это не всегда бывает так. Функция

,

являющаяся суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q = 1/(1 + x2 ), 0 < q < 1, в точке х = 0 имеет П., равный 1, ибо f (x ) = 1 + x2 при x &sup1; 0. Этот П. не совпадает со значением функции f в нуле: f (0) = 0. Функция же

, x &sup1; 0,

вовсе не имеет П. при х ® 0, ибо уже для значений xn = 1/ (p/2 + pn ) последовательность соответствующих значений функции f (xn ) = (- 1) n не имеет П.

  Если П. функции при х ® х0 равен нулю, то она называется бесконечно малой при х ® х0 . Например, функция sinx бесконечно мала при х ® 0. Для того чтобы функция f имела при х ® х0 П., равный А, необходимо и достаточно, чтобы f (x ) = A + a(x ), где a(х ) является бесконечно малой при х ® х0

  Если при определении П. функции f в точке x0 рассматриваются только точки х, лежащие левее (правее) точки x0 , то получающийся П. называется пределом слева (справа) и обозначается  (соответственно ).

  Функция имеет П. в некоторой точке, если её П. слева в этой точке равен её П. справа. Понятие П. функции обобщается и на случай, когда аргумент стремится к бесконечности:

, ,

  Например,

означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию x > d, выполняется неравенство &frac12;f (x ) - А&frac12; < e.

  Примером функций, всегда имеющих П., являются монотонные функции . Так, если функция f определена на интервале (а, b ) и не убывает, то в каждой точке х, а < х < b, она имеет конечный П. как слева, так и справа; в точке в П. справа, который конечен тогда и только тогда, когда функция f ограничена снизу, а в точке b П. слева, конечный в том и только в том случае, когда функция ограничена сверху. В общем же случае стремление к П. может носить разный, необязательно монотонный характер. Например, функция f (x ) = x  при х ® 0 стремится к нулю, бесконечное число раз переходя от возрастания к убыванию и обратно.

  Т. н. внутренний критерий (критерий Коши) существования П. функции в точке состоит в следующем: функция f имеет в точке x0 П. в том и только в том случае, если для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех точек х' и х'', удовлетворяющих условию &frac12;х’ - x0 &frac12; < d, &frac12;x'' — x0 &frac12; < d, x'   &sup1; x0 , x'’ &sup1; x0 , выполняется неравенство &frac12;f (x'' ) — f (x' )&frac12; < e.

  Для функций, как и для последовательностей, определяются понятия бесконечных П. вида , ,  и т.д.; в этих случаях функция f   называется бесконечно большой при х ® х0 , При х ® х0 + 0 или При х ® +¥ соответственно и т.д. Например,

означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию х < -d, выполняется неравенство f (x ) > e.

  Расширение понятия предела функции . Если функция f определена на некотором множестве Е числовой прямой и точка x0 такова, что в любой её окрестности имеются точки множества Е, то аналогично данному выше определению П. функции, заданной в некоторой окрестности точки x0 , кроме, быть может, самой точки x0 , определяется понятие предела функции по множеству Е

,

для этого следует лишь в определении П. всегда дополнительно требовать, чтобы точка х принадлежала множеству Е: х Î Е.   П. последовательности xn , n = 1, 2, ..., является при таком определении понятия П. частным случаем П. функции по множеству, а именно функции f, определённой на множестве натуральных чисел n формулой f (n ) = xn , n = 1, 2, ....

  Функция, равная нулю при рациональных х и единице при иррациональных, не имеет П. при х ® 0, однако по множеству рациональных чисел она при х ® 0 имеет П., равный нулю. Понятие П. числовой функции по множеству переносится и на функции многих переменных. В этом случае можно говорить, в частности, о П. в данном направлении, о П. по данной кривой, по данной поверхности и т.д. Кроме того, для функций многих переменных возникает понятие повторного предела, когда предельный переход совершается последовательно по разным переменным, например . Распространяется понятие П. и на функции, которые могут принимать не только действительные, но и комплексные значения.

  Предел интегральных сумм . Ещё одно важное понятие П. возникает при определении интеграла . Пусть, например, функция f определена на отрезке [a, b ]. Совокупность {xi } таких точек xi , что

  a = x0 < x1 <... < xi <... < xn-1 < xn   = b,

  наз. разбиением отрезка [a , b ]. Пусть xi-1 £ xI  < xi , Dxi   =  xi - xi-1 , i = 1, 2,..., n. Тогда сумма f (x1 )Dx1 + f (x2 )Dx2 +... + f (xn )Dxn называется интегральной суммой функции f . Число А является пределом интегральных сумм и называется определённым интегралом:

,

если для любого e > 0 существует такое d > 0, что каково бы ни было разбиение {xi } отрезка [a , b ], для которого Dxi  < d, и каковы бы ни были точки xi , xi-1  £ xI   £ xi , i = 1, 2,..., n, выполняется неравенство