Математические головоломки и развлечения - Мартин Гарднер

Глава 20. ДЕВЯТЬ ЗАДАЧ

1. Сцепленные болты. Два одинаковых болта сцеплены нарезкой (рис. 109).

Рис. 109 Сцепленные болты.

Взяв их покрепче за головки, чтобы они не могли проворачиваться, обведите несколько раз один болт вокруг другого в направлении, указанном стрелками (повертев перед этим большими пальцами рук, вы сможете наглядно представить себе движение болтов).

Будут ли головки болтов: а) сближаться, б) расходиться или в) оставаться на неизменном расстоянии друг от друга?

Использовать при решении задачи настоящие болты не разрешается.

2. Кругосветный полет. Группа самолетов базируется на небольшом острове. Баки каждого самолета вмещают столько топлива, что его хватает на облет половины земного шара. При заправке в воздухе из баков одного самолета в баки другого можно перекачивать любое количество горючего. На земле заправку можно производить только на острове. Для удобства решения задачи предполагается, что заправка на земле и в воздухе происходит мгновенно, бех потерь времени.

Чему равно минимальное число самолетов, которые смогут обеспечить полет одного самолета по большому кругу, если считать, что скорость и расход топлива у всех самолетов одинаковы и все самолеты благополучно возвращаются на свою базу?

3. Окружность на шахматной доске. Сторона клетки на шахматной доске 4 см. Чему равен радиус наибольшей окружности, которую можно провести на шахматной доске так, чтобы она проходила только по черным клеткам?

4. Универсальная пробка. Во многих сборниках головоломок объясняется, как вырезать пробку, которой можно плотно заткнуть квадратное, круглое и треугольное отверстия (рис. 110).

Рис. 110 Универсальная пробка.

Не менее интересно вычислить объем такой пробки. Предположим, что радиус ее круглого основания равен единице длины, а высота — двум единицам и что ребро в ее верхней части (имеющее в длину также две единицы) расположено строго над одним из диаметров основания и параллельно ему. Все параллельные сечения пробки, плоскость которых перпендикулярна верхнему ребру, имеют вид треугольников.

Поверхность пробки можно рассматривать как образованную прямыми, соединяющими точки верхнего, прямолинейного и нижнего, имеющего форму окружности, ребер. Каждая прямая параллельна одной из плоскостей, перпендикулярных верхнему ребру.

Разумеется, объем пробки нетрудно вычислить методами анализа, но найти его можно и более простым способом, зная лишь, что объем прямого цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

5. Повторяющееся число. Если у вас соберутся гости, вы сможете удивить их необычным фокусом. Попросите одного из гостей — назовем его А — написать на листке бумаги какое-нибудь трехзначное число два раза подряд, чтобы получилось шестизначное число (например 394 394). Отвернитесь так, чтобы вы не могли видеть написанное число, и попросите А передать листок другому гостю, В, которого попросите разделить число на 7.

«Об остатке не беспокойтесь, его не будет», — говорите вы гостю В, и он с удивлением убеждается, что вы правы (например, 394 394 при делении на 7 дает 56 342). Не сообщая вам результат, В передает листок бумаги третьему гостю, С, который делит полученный В результат на 11. Вы снова утверждаете, что остатка не будет, и снова оказываетесь правы (56 342 при делении на 11 дает 5122).

Не оборачиваясь к гостям и не зная, какие цифры написаны на листке бумаги, вы просите передать его четвертому гостю, D, который должен поделить последний результат на 13. Снова деление происходит без остатка (5122 при делении на 13 дает 394). Окончательный результат D записывает на клочке бумаги и, сложив его, передает вам. Не разворачивая листка с ответом, вы передаете его А и говорите: «Разверните листок и вы увидите свое трехзначное число».

Докажите, что фокус получается всегда, независимо от того, какое число выберет первый гость.

6. Столкновение ракет. Две ракеты летят навстречу друг другу, одна — со скоростью 9000 миль/час, а другая — со скоростью 21 000 миль/час. Их стартовые площадки находятся на расстоянии 1317 миль одна от другой. Не пользуясь карандашом и бумагой, подсчитайте, какое расстояние будет между ракетами за минуту до столкновения.

7. Как передвинуть монеты. На ровной гладкой поверхности (например на столе) выложен треугольник из шести монет (рис. 111).

Рис. 111 Как передвинуть монеты?

Требуется за наименьшее число ходов передвинуть монеты так, чтобы они образовали кольцо, показанное на рис. 111. Каждый ход состоит в передвижении только одной монеты. Сдвигать при этом с места другие монеты нельзя. В новом положении каждая монета должна касаться двух других монет. Поднимать монеты с поверхности при решении задачи не разрешается.

8. Рукопожатия и графы. Докажите, что число участников последнего конгресса биофизиков, обменявшихся рукопожатиями нечетное число раз, четно. Та же задача допускает и графическую интерпретацию. На листке бумаги поставьте любое число точек (каждая точка изображает участника конгресса). Между любыми двумя точками разрешается проводить сколько угодно линий. Каждая точка может неограниченное число раз «обмениваться рукопожатиями» с другими точками или быть необщительной и не здороваться ни с кем. Докажите, что число точек, из которых исходит нечетное число линий, четно.

9. Необычная дуэль. Смит, Браун и Джонс, решив внести в обычную дуэль на пистолетах некоторое разнообразие, условились провести поединок по несколько измененным правилам. Вытащив жребий и узнав, кому из них выпало стрелять первым, кому — вторым и кому — третьим, они разошлись по своим местам, встав в вершинах равностороннего треугольника. Договорились, что каждый по очереди производит лишь один выстрел и может целиться в кого угодно. Дуэль продолжается до тех пор, пока не будут убиты любые два ее участника. Очередность стрельбы определяется только результатами жеребьевки и остается неизменной в течение всего поединка.

Все три участника знают, что Смит никогда не промахивается, Браун попадает в цель в 80 % случаев, а Джонс, стреляющий хуже всех, промахивается так же часто, как и попадает в цель.

Кто из дуэлянтов имеет более высокий шанс уцелеть, если считать, что все трое придерживаются оптимальных стратегий и никто из них не будет убит шальной пулей, предназначенной другому?

Более трудный вопрос: чему равна вероятность остаться в живых для каждого из дуэлянтов?

Ответы

1. Головки болтов не сближаются и не расходятся. Движение болтов можно сравнить с движением человека, идущего вверх по спускающемуся эскалатору со скоростью эскалатора.

2. Чтобы обеспечить кругосветный полет одного самолета, достаточно двух самолетов. Сделать это можно многими способами.

Способ, предлагаемый нами, по-видимому, наиболее экономичен: расходуется лишь пять заправок горючего, пилоты двух обеспечивающих полет самолетов успевают перед вылетом с базы выпить по чашке кофе и перехватить по бутерброду, а весь метод обладает не лишенной приятности симметрией.

Самолеты А, В и С стартуют одновременно. Пролетев 1/8 намеченного расстояния (то есть длины окружности большого круга), С перекачивает 1/4 исходного запаса горючего в баки А и 1/4 — в баки В, после чего у него остается 1/4 заправки. Этого количества горючего ему хватает, чтобы вернуться на базу.

Самолеты А а В, продолжая полет, проходят еще 1/8 кругосветного маршрута, после чего В перекачивает 1/4 заправки в баки А.

Баки В остаются заполненными ровно наполовину, и он благополучно дотягивает до родного аэродрома, совершая посадку уже с пустыми баками.

Полностью заправленный самолет А продолжает лететь до тех пор, пока у него не кончится горючее. К этому моменту он находится на расстоянии 1/4 всего пути от базы, и его встречает самолет С, успевший перезаправиться на острове. С перекачивает в баки А 1/4 заправки и вслед за А берет курс на базу. На расстоянии 1/8 окружности земного шара горючее у А и С кончается, но тут их встречает побывавший на базе В, который отдает каждому из них по 1/4 полной заправки. После этого топлива в баках каждого самолета хватает как раз на то, чтобы благополучно вернуться на свою базу (правда, садиться приходится с пустыми баками).

Графически весь полет можно изобразить с помощью диаграммы, показанной на рис. 112, где по горизонтальной оси отложено расстояние, а по вертикальной — время. Правый и левый края диаграммы следует считать склеенными.

Рис. 112 К задаче о кругосветном полете самолета.