Кибернетика или управление и связь в животном и машине - Норберт Винер

Теория дискретных временных рядов во многих отношениях проще теории непрерывных рядов. Гораздо легче, например, свести их к последовательности независимых выборов. Каждый член (в случае перемешивания) можно представить как комбинацию предшествующих членов с некоторой величиной, не зависящей от всех предшествующих членов и равномерно распределенной в интервале (0, 1), и последовательность этих независимых коэффициентов взять вместо броунова движения, столь важного для непрерывных рядов.

Если fn(α) — временной ряд, находящийся в статистическом равновесии и метрически транзитивный, то его коэффициент автокорреляции будет равен

 .          (3.923)

и мы будем иметь

           (3.924)

почти для всех α. Положим

 ,          (3.925)

или

           (3.926)

[c.155]

Пусть

 ,          (3.927)

           (3.928)

и

 .          (3.929)

Тогда при очень общих условиях k(ω) будет граничным значением на единичном круге для функции без нулей и особых точек внутри единичного круга; ω является здесь углом. Отсюда

           (3.930)

Если теперь за наилучшее линейное предсказание функции fn(α) с опережением v принимается

 ,          (3.931)

то

 .          (3.932)

Это выражение аналогично выражению (3.88). Заметим, что если положить

 ,          (3.933)

то

           (3.934)

[c.156]

Из нашего способа образования k(ω) видно, что для весьма широкого класса случаев мы вправе положить

 .          (3.935)

Тогда уравнение (3.934) принимает вид

 .          (3.936)

В частности, при v=1

 ,          (3.937)

или

           (3.938)

Таким образом, при предсказании на один шаг вперед наилучшим значением для fn+1(α) будет

 ;          (3.939)

последовательным же предсказанием по шагам мы можем решить всю задачу линейного предсказания для дискретных временных рядов. Как и в непрерывном случае, это будет наилучшим возможным предсказанием относительно любых методов, если

 .          (3.940)

Переход от непрерывного случая к дискретному в задаче фильтрации совершается примерно таким же путем. Формула (3.913) для частотной характеристики наилучшего фильтра принимает вид

 ,          (3.941)

где все члены имеют тот же смысл, что и в непрерывном случае, за исключением того, что все интегралы по ω и u [c.157] имеют пределы от —π до π, а не от —∞ до ∞ и вместо интегралов по t берутся дискретные суммы по v. Фильтры для дискретных временных рядов представляют собой обычно не столько физически осуществимые устройства для применения в электрической схеме, сколько математические процедуры, позволяющие статистикам получать наилучшие результаты со статистически несовершенными данными.

Наконец, скорость передачи информации дискретным временным рядом вида

 ,          (3.942)

при наличии шума

 ,          (3.943)

где γ и δ независимы, будет точным аналогом выражения (3.922), а именно:

 ,          (3.944)

где на интервале (—π, π) выражение

           (3.945)

изображает распределение мощности сообщения по частоте, а выражение

           (3.946)

изображает распределение мощности шума.

Изложенные здесь статистические теории предполагают полное знание прошлого наблюдаемых нами временных рядов. Во всех реальных случаях мы должны довольствоваться меньшим, поскольку наши наблюдения не распространяются в прошлое до бесконечности. Разработка нашей теории за пределы этого [c.158] ограничения требует расширения существующих методов выборки. Автор и другие исследователи сделали первые шаги в этом направлении. Это связано со всеми сложностями применения закона Бейеса либо тех терминологических ухищрений теории правдоподобия[148], которые на первый взгляд устраняют необходимость в применении закона Бейеса, но в действительности лишь перелагают ответственность за его применение на статистика-практика или на лицо, использующее в конце концов результаты, полученные статистиком-практиком. Тем временем статистик-теоретик может вполне честно утверждать, что все сказанное им является совершенно строгим и безупречным.

В заключение этой главы мы коснемся современной квантовой механики, на которой сильнее всего сказалось вторжение теории временных рядов в современную физику. В ньютоновой физике последовательность физических явлений полностью определяется своим прошлым, и в частности, указанием всех положений и импульсов в какой-либо один момент. В полной гиббсовской теории, при точном определении многомерного временного ряда всей Вселенной, знание всех положений и импульсов в какой-либо один момент также определило бы все будущее. И только вследствие того, что существуют неизвестные, ненаблюдаемые координаты и импульсы, только по этой причине временные ряды, с которыми мы фактически работаем, приобретают своего рода смесительное свойство, с которым мы познакомились в этой главе для случая временных рядов броунова движения. Большим вкладом Гейзенберга в физику была замена этого все еще квазиньютонова мира Гиббса миром, в котором временные ряды совершенно не могут быть сведены к набору детерминированных нитей развития во времени. В квантовой механике все прошлое индивидуальной системы не создает никакого абсолютного определения будущего этой системы, но дает лишь распределение возможных будущих состояний. Величины, которые требуются классической физике для знания всего поведения системы, можно наблюдать одновременно лишь приближенным и нестрогим образом, хотя эти наблюдения и достаточно точны для нужд классической физики в том диапазоне [c.159] точности, в котором экспериментально доказана ее применимость. Условия наблюдения импульса и соответствующего ему положения несовместимы. Для наблюдения положения системы с наибольшей возможной точностью мы должны наблюдать его с помощью световых или электронных волн или аналогичных средств с высокой разрешающей способностью или короткой длиной волны. Однако свет обладает корпускулярным действием, зависящим только от его частоты, и при освещении тела светом высокой частоты количество движения тела изменяется тем больше, чем выше частота. С другой стороны, свет низкой частоты дает минимальное изменение импульса освещаемых частиц, но не имеет достаточной разрешающей способности, чтобы дать резкий отсчет положений. Промежуточные частоты света дают размытый отсчет как положений, так и импульсов. Вообще нельзя придумать системы наблюдений, которая могла бы дать нам достаточно информации о прошлом системы, чтобы получить полную информацию о ее будущем.

Тем не менее, как и в случае всех ансамблей временных рядов, изложенная здесь теория количества информации, а следовательно, и теория энтропии сохраняют силу. Но так как мы теперь имеем дело с временными рядами, обладающими свойством перемешивания даже в случае, когда наши данные настолько полны, насколько это возможно, то наша система, очевидно, лишена абсолютных потенциальных барьеров, и с течением времени любое состояние системы может и будет переходить в любое другое состояние. Однако вероятность такого перехода зависит в конечном счете от относительной вероятности или меры данных двух состояний. Последняя оказывается особенно большой для состояний, которые могут быть преобразованы сами в себя большим числом преобразований, т. е. для состояний, которые, на языке квантовой теории, имеют большой внутренний резонанс, или большое квантовое вырождение. Примером может служить бензоловое кольцо, так как здесь оба состояния эквивалентны:

[c.160]

Это наводит на следующую мысль. Пусть дана система, в которой составные части могут различными способами близко соединяться друг с другом, как в случае смеси аминокислот, организующейся в белковые цепи, тогда ситуация, при которой многие из этих цепей одинаковы и проходят через стадию тесной связи между собой, может оказаться более устойчивой, чем ситуация, при которой они различны. Холдэйн предположил, что именно таким путем воспроизводят себя гены и вирусы, и хотя он не подтвердил своего предположения окончательными доказательствами, я не вижу причин, почему не принять его как пробную гипотезу. Как указал сам Холдэйн, поскольку в квантовой теории ни одна частица не имеет совершенно четкой индивидуальности, можно сказать лишь приблизительно, какой из двух экземпляров гена, воспроизведшего себя таким образом, является оригиналом и какой — копией.