Кибернетика или управление и связь в животном и машине - Норберт Винер

 .          (3.18)

Исходя из создаваемой этим системы вероятностей, вполне однозначной, мы можем ввести на множестве путей, соответствующих различным возможным броуновым перемещениям, такой параметр α, лежащий между 0 и 1, что: 1) каждый путь будет функцией x(t,α), где х зависит от времени t и параметра распределения α и 2) вероятность данному пути находиться в данном множестве S будет равна мере множества значений α, соответствующих путях, находящимся в S. Поэтому почти все пути будут непрерывными и недифференцируемыми.

Весьма интересен вопрос об определении среднего значения произведения x(t1, α) … x(tn, α) относительно α. Это среднее равно

           (3.19)

при условии 0 ≤t1 ≤…≤ tn. Положим

           (3.20)

[c.132]

где λk,1+λk,2+…+λk,n=n.Тогда выражение (3.19) примет значение

 .          (3.21)

Здесь первая сумма берется по j; вторая — по всем способам разбиения n элементов на пары в группах, включающих соответственно λk,1, …, λk,n элементов; произведение — по парам значений k и q, где λk,1 элементов среди выбранных tk и tq равны t1, λk,2 элементов равны t2 и т. д. Отсюда сразу же следует

           (3.22)

[c.133]

где сумма берется по всем разбиениям величин t1, …, tn на различные пары, произведение — по всем парам в каждом разбиении. Другими словами, если нам известны средние значения попарных произведений величин x(tj, α), то нам известны и средние значения всех многочленов от этих величин и, следовательно, их полное статистическое распределение.

До сих пор мы рассматривали броуновы перемещения x (tj,α), в которых t положительно. Положив

 ,          (3.23)

где α и β имеют независимые равномерные распределения в интервале (0, 1), получим распределение для ξ(t, α, β), где t пробегает всю бесконечную действительную ось. Существует хорошо известный математический прием отобразить квадрат на прямолинейный отрезок таким образом, что площадь преобразуется в длину. Надо лишь записать координаты квадрата в десятичной форме

           (3.24)

и положить

 ,

и мы получим искомое отображение, являющееся взаимно однозначным почти для всех точек как прямолинейного отрезка, так и квадрата. Используя эту подстановку, введем

 .          (3.25)

Теперь мы хотим определить в некотором подходящем смысле

           (3.26)

Сразу приходит мысль определить указанное выражение как интеграл Стильтьеса[143], но это встречает [c.134] препятствие в том, что ξ представляет собой весьма нерегулярную функцию от t. Однако если К приближается достаточно быстро к нулю при t→± ∞ и является достаточно гладкой функцией, то разумно положить

           (3.27)

При этих условиях мы формально получим

           (3.28)

Если теперь t и s имеют противоположные знаки, то

           (3.29)

а если они одного знака и |s|<|t|, то

           (3.30)

[c.135]

Отсюда

           (3.31)

В частности,

           (3.32)

Более того,

           (3.33)

[c.136]

где сумма берется по всем разбиениям величин τ1, …, τn на пары, а произведение — по парам в каждом разбиении. Выражение

           (3.34)

изображает очень важный ансамбль временных рядов по переменной t, зависящих от некоторого параметра распределения γ. Доказанное нами равносильно утверждению, что все моменты и, следовательно, все статистические параметры этого распределения зависят от функции

           (3.35)

представляющей собой известную в статистике автокорреляционную функцию со сдвигом τ. Таким образом, распределение функции f(t, γ) имеет те же статистики, что и функция f(t+t1, γ); и действительно, можно доказать, что если

 ,          (3.36)

то преобразование параметра γ в Г сохраняет меру. Другими словами, наш временной ряд f(t, γ) находится в статистическом равновесии.

Далее, если мы рассмотрим среднее значение для

           (3.37)

то оно состоит в точности из членов выражения

           (3.38)

[c.137]

и из конечного числа членов, имеющих множителями степени выражения

 ,          (3.39)

если последнее стремится к нулю при σ→∞, то (3.38) будет пределом выражения (3.37). Другими словами, распределения функций f(t, γ) и f(t+σ, γ) становятся асимптотически независимыми, когда σ→∞. Более общим, но совершенно аналогичным рассуждением можно показать, что одновременное распределение функций f(t1, γ), …, f(tn, γ) и функций f(σ+s1, γ), …, f(σ+sm, γ) стремится к совместному распределению первого и второго множества, когда σ→∞. Другими словами, если F[f (t, γ)] — любой ограниченный измеримый функционал, т. е. величина, зависящая от всего распределения значений функции f(t, γ) от t, то для него должно выполняться условие

 .          (3.40)

Если F[f (t, γ)] инвариантен при сдвиге по t и принимает только значения 0 или 1, то

 ,          (3.41)

т. е. группа преобразований f(t, γ) в f(t+σ, γ) метрически транзитивна. Отсюда следует, что если F[f (t, γ)] — любой интегрируемый функционал от f как функции от t, то по эргодической теореме

           (3.42)

[c.138]

для всех значений γ, исключая множество нулевой меры. Таким образом, мы почти всегда можем определить любой статистический параметр такого временного ряда (и даже любого счетного множества статистических параметров) из прошлой истории одного только параметра. В самом деле, если для такого временного ряда мы знаем

           (3.43)

то мы знаем Ф(t) почти во всех случаях и располагаем полным статистическим знанием о временном ряде.

Некоторые величины, зависящие от временного ряда такого рода, обладают интересными свойствами. В частности, интересно знать среднее значение величины

           (3.44)

Формально мы можем записать его в виде

 .          (3.45)

Весьма интересная задача — попытаться построить возможно более общий временной ряд из простых рядов броунова движения. При таких построениях, как подсказывает пример рядов Фурье, разложения типа (3.44) составляют удобные строительные блоки. В частности, исследуем временные ряды специального вида:

           (3.46)

[c.139]

Предположим, что нам известна функция ξ(τ, γ), а также выражение (3.46). Тогда при t1>t2 находим, как в (3.45),

           (3.47)

Умножив на

и положив s(t2—t1)=iσ, получим при t2→t1

           (3.48)

Примем K(t1, λ) за новую независимую переменную μ и, решая относительно λ, получим

           (3.49)

Тогда выражение (3.48) будет иметь вид

           (3.50)

Отсюда преобразованием Фурье можно найти