Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней - Эрик Белл

Написанный спустя не менее пятидесяти лет после гибели Пифагора, насколько этот конспект заслуживает доверия как первоисточник? Схожий вопрос можно задать в отношении наших Евангелий, ведь, как утверждают некоторые критики, они были записаны не раньше семидесяти или восьмидесяти лет после распятия. В целом, как кажется, мы не сильно собьемся с пути, если отдадим должное Пифагору и его ученикам, как сделал это Платон.

Ссылаясь на труды Платона о науке Пифагора, пренебрегая хронологическим порядком, оказываемся на его месте, когда он сам пришел к этериализации нумерологии Пифагора, чтобы разглядеть ее «неуклонно и в полном объеме», такой, как она есть.

Будет показано, что материальные вещи суть числа. При доказательстве (нумерологическом, конечно), что животные есть числа, приведем пример доисторического искусства. Число любого животного, или любого вида животных, таких как «человек» или «лошадь», определяется унифицированной анатомической арифметикой. Схематичное изображение, скажем человека, нарисовано на песке. У человека, безусловно, есть отличительные признаки: две руки, две ноги, одна голова, одно сердце и т. д. На частях диаграммы поместим гальку, по одной на часть тела. Общее количество булыжников и есть требуемое число. Кстати, это пример подсчета в первоначальном значении слова, поскольку латинское слово calculus, счет, означает «галька».

Недавнее (1942) наблюдение английского натуралиста, сделанное в Индии, свидетельствует о более раннем схематичном представлении о строении человека. Согласно данным указанного обозревателя, начало этого искусства уходит корнями в дочеловеческие времена. Оказывается, еще обезьяны, наводнявшие конкретную индийскую деревню, избрали плоскую вершину холма поблизости для своей культурной деятельности: подвижных игр, ухаживаний и отдыха. Время от времени одна из шаловливых обезьян предпочитала неожиданно прерывать свои танцы, второпях опускаться на корточки, сильно упирать свою левую руку в песок и палочкой, зажатой в правой руке, как карандаш у чертежника, быстро проводила линию вокруг отпечатка левой руки. Затем, очевидно опасаясь, что делает что-то противоестественное, художница вскакивала и убегала на ближайшее дерево. После чего остальные обезьяны собирались вокруг творения, рассматривая его с трепетным восхищением. Это настоящая рука или это абстрактное изображение всех рук, универсальная Рука в сфере Божественных помыслов? Подобно нам, они не могли постичь увиденное. Они возвращались к своим обыденным занятиям.

Посередине между камнесчетом живых существ и более серьезной полугеометрической нумерологией четырех элементов расположена еще одна система счета Пифагора, значительная часть которой вошла в немистическую высшую арифметику наших дней. Она нашла отражение в истории о купце, которого Пифагор спросил, умеет ли тот считать. Получив утвердительный ответ, Пифагор попросил продолжить.

– Один, два, три, четыре… – начал купец. Тут Пифагор закричал: – Стоп! То, что вы называете четыре, на самом деле то, что вам следует назвать десять. Четвертое по порядку число не четыре, а декада, наш тетраксис и священная клятва, которой мы клянемся.

Чтобы удовлетворить Пифагора, купцу пришлось считать (в наших цифрах) 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36… Это так называемые треугольные числа; когда их представляют в виде гальки, они образуют равносторонние треугольники. Пифагор располагал эти числа следующим образом:

и далее в том же роде.

Следующие, 15, формируются выкладыванием вдоль 10-го треугольника, вдоль любой из его сторон, дополнительной гальки в количестве 5 штук, следующее число 21 соответственно добавлением 6 камешков, за ним добавляют 7, потом 8, далее 9 и т. д.

Квадраты целого числа – те же камешки гальки, выложенные по тем же правилам, где 9 получается из 4 выкладыванием камешков вдоль двух прилежащих сторон 4, а 16 выкладыванием вдоль 9. Следующее число 25 получается из 16 и так далее до бесконечности. Таким же образом – любая другая прямоугольная фигура на плоскости (все стороны равны, и все углы равны) устанавливает рамки для выкладывания гальки по классам так называемых многоугольных чисел: пятиугольное число, шестиугольное число, семиугольное число, восьмиугольное число и так далее насколько пожелаете.

Эта связь между правильными геометрическими фигурами и соответствующими последовательными рядами чисел имела важное значение для пифагорейцев, а после них для платонистов, отчасти из-за очевидного единения космической симметрии с числами, а отчасти из-за тетрад и декад, проявлявшихся неожиданно в различных обликах. Были и так называемые продолговатые числа, соответствующие камешкам гальки, разложенным в виде прямоугольника со стороной отличной от предыдущей на 1 камешек, например: 30 = 5 × 6. Когда Пифагор обратил внимание на то, что продолговатое число равно двойному треугольному числу, как в случае с 30 = 2 × 15, он испытал безграничный душевный подъем.

Ободренный видимым успехом с плоскими фигурами, Пифагор отважно ввязался в рискованное предприятие с геометрическими телами. В воображаемом пространстве он успешно выложил из гальки кубические числа 1, 8, 27, 64, 125… унифицированным способом, который может быть оставлен гениальному читателю, желающему открыть его вновь. И тут он застрял, потому что космос для него, как и для всех остальных греческих нумерологов и геометров, имел только три измерения. Они могли себе представить результат умножения трех чисел как объем твердого тела. Так, 3 × 4 × 10 = 120 есть объем короба со сторонами 3, 4, 10. Но умножение типа 3 × 4 × 10 × 12 сбивало их с толку в их геометрической арифметике, поскольку выражение «умножить четыре линии» лишало само действие смысла в трехмерном пространстве. Подобные искусственные барьеры просто исчезли, когда алгебра заняла место геометрии в качестве языка чисел. Но треугольные и прочие многоугольные числа пифагорейцев, а также кубические выжили, по меньшей мере как названия в современной теории чисел. Продолговатые числа исчезли из словаря давным-давно.

Наиболее значимой деталью для всей пифагорейской науки было четвертое из треугольных чисел 1, 3, 6, 10, 15, 21… Да, 10 или декада. Но при этом и треугольник, а потому – священный тетрасис. Поскольку, согласно Пифагору, все числа находятся внутри декад, становится ясно, почему десять было совершенством для остальных чисел и, согласно Платону, исконным образцом для вселенной. Становится понятен и краеугольный камень обобщений Платона, что мир создан из треугольников. Это будет подтверждено, когда 4 элемента произойдут от 4-го члена последовательности треугольных чисел, конкретно из треугольных декад. Неудивительно, что братство пифагорейцев превратило 10, действительно 4-й треугольник, в свою клятву и свой наиболее жестко охраняемый секрет. Тот, кто дал клятву на тетрасисе и нарушил ее, предавался анафеме, поскольку он предал космос, частью которого был сам, греки бы сказали пропорцией или дробью.

Хотя может показаться занимательным распутывать всю замысловатую нумерологию (в изложении Платона, в частности в «Тимее») создания и структуры материального мира, но нет необходимости это делать, чтобы понять суть идеи пифагорейской химии, физики и космогонии. Вполне вероятно, окажется достаточно уже представленных материалов, чтобы оценить ее возможности в столь типичном отрывке: «Итак, то, что было создано, обязательно телесно, а также видимо и осязаемо. Ничего не видно там, где нет огня, и осязаемое не телесно без земли. По этой причине божественное в начале создания сотворило тело мироздания из огня и земли. Но две вещи не могут существовать без третьей, у них должно быть связующее звено. Ныне прекрасная связь – это та, которая наиболее полно объединяет связанные вещи. Пропорции хорошо подобраны для поддержания этой связи. Всякий раз среди трех чисел, какой бы телесной или иной другой она ни оказалась, не имеет значения, потому что среднее значение есть последнее условие, поскольку на первом плане – среднее значение, а когда значение есть наипервейшее условие, то и последнее условие приобретает среднее значение, и оно становится и первым, и последним, а первое и последнее становятся значимыми, все вещи по необходимости приходят к одному знаменателю, поскольку они едины и стремятся слиться воедино».

Нет сомнений, что это список с утерянной «библии» Пифагора от Филолая, поскольку это чистейший пифагореизм. Чтобы понять, о чем идет речь, следует воспользоваться помощью перевода с запутанного языка на более простой эквивалент в терминах простейшей арифметики. В действительности отрывок относится к банальным конкретным свойствам банальных дробей. До некоторой степени запутанная арифметика нам понятна. Но она была совсем не так понятна пифагорейцам V века до н. э. или даже греческим математикам времен Платона, никто из которых не владел умением толково записывать дроби. Смешно, но для гимназиста XVIII века этот невразумительный отрывок яснее, чем для выпускника колледжа наших дней.