Математика. Поиск истины. - Морис Клайн

Мудрость Галилея проявилась и в еще одном тактическом ходе. Он не пытался, как это делали естествоиспытатели и философы до него, охватить все явления природы, а выбрав несколько наиболее существенных явлений, принялся упорно и последовательно их изучать. Галилей счел разумным действовать осторожно и осмотрительно, продемонстрировав сдержанность, достойную мастера.

Выношенный Галилеем план изучения природы включал четыре пункта. Во-первых, получить количественные описания физических явлений и облечь их в математические формулы. Во-вторых, выделить и измерить наиболее фундаментальные свойства явлений. Эти допускающие количественное выражение свойства надлежало принять за переменные в формулах. В-третьих, построить физику дедуктивно на основе фундаментальных физических принципов. В-четвертых, при изучении явления непременно прибегать к его идеализации.

Чтобы претворить этот план в жизнь, Галилею было необходимо выявить фундаментальные законы. Можно, например, получить формулу, устанавливающую зависимость между числом браков в Таиланде и ценой на подковы для лошадей в Нью-Йорке, поскольку и та, и другая величина меняются из года в год. Но такая формула не имела бы научной ценности, ибо не содержала бы, ни прямо, ни косвенно, никакой полезной информации. Поиск фундаментальных законов был еще одной грандиозной задачей, поскольку и в этом Галилей резко расходился со своими предшественниками. При избранном им подходе к изучению движущейся материи нельзя было не принимать во внимание Землю, движущуюся в пространстве и одновременно вращающуюся вокруг своей оси, и уже одно это в значительной мере обесценивало ту единственную заслуживающую внимания систему механики, которой обладал мир в эпоху Возрождения, — механику Аристотеля.

Сначала Галилей был склонен принять гипотезу Аристотеля, согласно которой тяжелые тела падают на землю быстрее, чем легкие. Затем Галилей задался вопросом: «Предположим, я разделю тяжелое тело на две части. Будут ли они падать как два легких тела? А что если снова соединить или склеить их? Будут они вести себя как две части или как одно целое?» И после подобных размышлений Галилей пришел к выводу, что, если пренебречь сопротивлением воздуха, все тела падают с одинаковой скоростью.

Как утверждал Аристотель, чтобы тело двигалось, к нему должна быть приложена сила. Следовательно, чтобы автомашина или шар двигались даже по очень гладкой поверхности, необходима какая-то толкающая сила. Галилей глубже проник в суть этого явления, чем Аристотель. Катящийся шар или едущий автомобиль испытывают сопротивление воздуха и тормозятся вследствие трения между ними и поверхностью, по которой движутся. Не будь сопротивления воздуха или трения, для того чтобы шар катился, а автомобиль ехал, не нужно было бы никакой толкающей силы. Они бы двигались с постоянной скоростью неограниченно долго, причем двигались прямолинейно. Этот фундаментальный закон. движения, гласящий, что тело, свободное от действия сил, движется равномерно и прямолинейно в течение сколь угодно большого промежутка времени, был впервые замечен Галилеем (и сформулирован также Декартом); ныне он известен как первый закон Ньютона, который придал ему четкую математическую формулировку. Этот закон утверждает, что тело изменяет скорость только в том случае, если на него действует сила. Таким образом, тела обладают свойством сопротивляться изменению скорости. Это свойство тела, обусловливающее его способность сопротивляться изменению скорости, называется инерциальной массой, или просто массой.

Как видим, уже самый первый принцип физики Галилея противоречит аналогичному принципу физики Аристотеля. Означает ли это, что Аристотель допустил грубые ошибки или что его наблюдения были слишком примитивны и малочисленны, чтобы привести к открытию правильного принципа? Отнюдь. Аристотель был реалистом и учил тому, что подсказывали наблюдения. Метод Галилея был более утонченным и поэтому более успешным. Галилей подошел к решению проблемы как математик. Он идеализировал явление, игнорируя одни факты и подчеркивая другие, подобно тому как математик идеализирует натянутую струну или край линейки, сосредоточивая внимание на одних пропорциях и игнорируя другие. Пренебрегая трением и сопротивлением воздуха и предполагая, что движение происходит в абсолютно пустом евклидовом пространстве, Галилей открыл правильный фундаментальный принцип.

А что можно сказать о движении тела, на которое действует какая-нибудь сила? Пытаясь ответить на этот вопрос, Галилей совершил второе фундаментальное открытие: постоянно действующая сила вынуждает тело либо увеличивать, либо уменьшать скорость. Назовем увеличение или убыль скорости за единицу времени ускорением. Если скорость тела каждую секунду возрастает или уменьшается на 9 м/с, то мы скажем, что его ускорение составляет 9 м/с за секунду, или кратко 9 м/с2.

Например, постоянное сопротивление воздуха вызывает непрерывное уменьшение скорости; именно этим объясняется, что скорость предмета, катящегося или скользящего по гладкому полу, постепенно убывает до нуля. И наоборот, чтобы предмет двигался с ускорением, на него должна действовать какая-то сила. Предмет, падающий с высоты на землю, движется ускоренно. Во времена Галилея мысль о том, что этой силой должно быть земное тяготение, уже начала проникать в сознание людей, и Галилей, не теряя времени на размышления о силе тяготения, исследовал свободное падение тел с количественной стороны.

Он обнаружил, что если пренебречь сопротивлением воздуха, то все падающие на поверхность Земли тела, имеют одинаковое ускорение g, т.е. их скорость возрастает в одном и том же темпе: на 9,8 м/с за секунду, т.е.

g = 9,8 м/с2. (1)

Если тело падает свободно, например скатившись с ладони, то его начальная скорость равна нулю. Следовательно, к концу первой секунды оно достигнет скорости 9,8 м/с, к концу второй секунды — скорости 2×9,8 = 19,6 м/с и т.д. По истечении t секунд скорость тела

v = 9,8t м/с. (2)

Эта формула содержит точную информацию о том, как возрастает со временем скорость свободно падающего тела. Она сообщает нам, что чем дольше падает тело, тем больше его скорость. Это хорошо известный факт, ибо большинству из нас приходилось видеть, что тело, сброшенное с большей высоты, ударяется о землю с большей скоростью, чем тело, сброшенное с меньшей высоты.

Чтобы определить путь, пройденный за данный промежуток времени свободно падающим телом, недостаточно просто умножить скорость на время. Произведение скорости на время дало бы правильное значение пути только в том случае, если бы тело двигалось с постоянной скоростью, т.е. равномерно. Галилей доказал, что в случае свободного падения тел правильная формула, связывающая пройденный путь s с продолжительностью падения имеет вид

s = 4,9t2, (3)

где s — расстояние в метрах, пройденное телом при свободном падении, t — продолжительность падения (в секундах). Например, за 3 с свободно падающее тело проходит расстояние 4,9×32 = 44,1 м.

Если обе части формулы (3) разделить на 4,9, а затем извлечь из них квадратные корни, то окажется, что время t, за которое свободно падающее тело проходит путь s, задается формулой t = √s/4,9.  Обратите внимание на то, что масса падающего тела в эту формулу не входит. Таким образом, мы видим, что все свободно падающие тела за равное время проходят одинаковое расстояние. Считается, что к такому заключению Галилей пришел, сбрасывая тела различной массы с Пизанской башни. Однако многие люди до сих пор с трудом верят в то, что кусочек свинца и легкое перышко, если их сбросить с одинаковой высоты в откачанном до глубокого вакуума баллоне, одновременно упадут на дно.

Ускорение 9,8 м/с2, с которым на Земле движутся все свободно падающие тела, обусловлено силой земного тяготения, или гравитацией. Когда говорят о силе тяжести (точнее ее численной величине) применительно к предметам, находящимся вблизи поверхности Земли, ее обычно называют весом. Хотя сам Галилей не связывал между собой вес и массу, следует заметить, что вес P любого тела на Земле пропорционален его массе m. Численное значение коэффициента пропорциональности g зависит от выбора единиц. Таким образом, вес P и масса m любого тела на Земле связаны между собой соотношением

P = gm. (4)

Как видим, два различных свойства тела — вес и масса — связаны между собой очень просто: вес P в g раз больше массы m. Простота и неизменность соотношения (4) приводят к тому, что мы часто путаем эти два свойства, хотя вес и массу тела необходимо четко различать. Масса — это свойство тел сопротивляться изменению скорости как по величине, так и по направлению, вес — численное значение силы, с которой Земля притягивает данное тело. Если тело покоится на гладкой горизонтальной поверхности, то поверхность противодействует силе тяжести. Следовательно, если рассматривать движение тела по поверхности (без трения), то его вес особой роли не играет. Но масса тела весьма существенна. В следующей главе мы увидим, сколь важно проводить различие между массой и весом.