Математика. Поиск истины. - Морис Клайн

У Галилея было несколько априорных представлений о природе, которые вселяли в него уверенность, что и небольшого числа экспериментов достаточно для выявления первых принципов. Например, когда Галилей занялся исследованием ускоренного движения, т.е. движения с переменной скоростью, он исходил из простейшего принципа, согласно которому приращения скорости за одинаковые интервалы времени равны. Такое движение Галилей назвал равномерно ускоренным. Дедуктивная математическая часть естественнонаучного исследования имела для Галилея несравненно большее значение, чем экспериментальная. Обилием теорем, выведенных логическим путем из одного-единственного принципа, Галилей гордился больше, чем открытием самого принципа. Перед нами со всей отчетливостью проступает общая закономерность: мыслители, стоящие у истоков современной науки, к числу которых мы можем причислить Декарта, Галилея, Гюйгенса, Ньютона, а также Коперника и Кеплера, подходили к исследованию природы как математики, будь то избранный ими общий метод или конкретные исследования. Будучи мыслителями абстрактно-теоретического толка, они надеялись постичь широкие, глубокие, но вместе с тем простые, ясные и незыблемые математические принципы либо с помощью интуитивных прозрений, либо путем решающих наблюдений и экспериментов, а затем вывести из этих фундаментальных истин новые законы точно таким же образом, каким в самой математике строится геометрия. Научная деятельность, по их мнению, должна в основном сводиться к дедуктивным рассуждениям, и именно дедуктивным путем надлежит строить все системы умозаключений.

Галилей надеялся, что с помощью немногочисленных решающих экспериментов удастся открыть первые принципы, и это вполне понятно. Все названные ученые, глубоко убежденные в том, что план, лежащий в основе природы, построен на математических началах, не видели причины, почему бы им при изучении природы не следовать математике. Подобную мысль мы находим в книге Джона Германа Рэндалла «Становление современного разума»:

Наука родилась из веры в математическую интерпретацию природы… Современная наука возникла и была известна как натуральная философия, и слово философия здесь отнюдь не случайно — оно точно передает особенности выбранного подхода. Это подход мыслителей, опирающихся главным образом на разум, а в данном случае — на математические принципы и методы как на основное орудие разума.

Тем не менее мысль Галилея о том, что физические принципы должны опираться на практический опыт и эксперименты, была революционной по своей сути и имела решающее значение. Сам Галилей не сомневался в возможности доискаться до истинных первооснов природы (тех принципов, на которых Бог сотворил мир), но, подчеркивая роль опыта, он незаметно для самого себя посеял и зерно сомнения. Ибо если основные принципы физики должны выводиться из повседневного опыта, то почему то же самое нельзя сказать и об аксиомах математики? Этот вопрос не беспокоил ни самого Галилея, ни его последователей до начала XIX в. И вплоть до этого времени математика вкушала все радости привилегированного положения.

Пытаясь проникнуть в самую суть явлений, Галилей выковал и неоднократно использовал еще один принцип — идеализацию. Под идеализацией Галилей понимал необходимость игнорирования тривиальных и второстепенных деталей. Например, шар, падающий на землю, встречает сопротивление воздуха, но при падении с высоты 10-20 м сопротивление воздуха невелико, и в большинстве случаев им можно пренебречь. Еще один пример идеализации. Всякий достаточно компактный предмет обладает определенными размерами и формой, однако по существу вполне допустимо рассматривать его как материальную точку, т.е. считать, что вся масса тела сосредоточена в одной точке. Галилей также исключал из рассмотрения такие вторичные качества, как вкус, цвет и запах, в отличие от размеров, формы, количества и движения. Иначе говоря, Галилей разделял философское учение, проводившее различие между первичными и вторичными свойствами материи. В своем сочинении «Пробирных дел мастер» Галилей высказал это явно:

Белое или красное, горькое или сладкое, звучащее или безмолвное, приятно или дурно пахнущее — все это лишь названия для различных воздействий на наши органы чувств. Никогда не стану я от внешних тел требовать чего-либо иного, чем величина, фигура, количество и более или менее быстрые движения, для того чтобы объяснить возникновение ощущений вкуса, запаха и звука; я думаю, что если бы мы устранили уши, языки, носы, то остались бы только фигуры, числа, движения, но не запахи, вкусы и звуки, которые, по моему мнению, вне живого существа являются не чем иным, как только пустыми именами.

Форма (фигура), количество (размеры) и движение — первичные, или физически основополагающие, свойства материи. Они реальны и внешни по отношению к чувственному восприятию человека.

Суть идеализации, необходимость которой отстаивал Галилей, сводилась к пренебрежению случайными или второстепенными эффектами. В выделении главного он начал с наблюдений, а затем мысленно представил себе, что произошло бы, если устранить всякое сопротивление, т.е. если бы тела падали в пустоте, и пришел к заключению, в котором распознал общий принцип: в пустоте все тела падают по одному и тому же закону. Заметив, что сопротивление воздуха слабо сказывается на колебаниях маятника, Галилей провел опыты с маятниками, подтвердив установленные им принципы. Заподозрив, что трение также относится к числу вторичных эффектов, Галилей осуществил серию экспериментов с гладкими шарами, скатывающимися по гладкой наклонной плоскости, пытаясь вывести законы, в соответствии с которыми двигались бы тела в отсутствие трения. Таким образом, Галилей не просто ставил опыты и на основе полученных данных делал выводы — при интерпретации экспериментов он заранее исключал все несущественное. Величие Галилея проявилось, в частности, в том, что он ставил правильные вопросы относительно природы.

Разумеется, реальные тела падают в среде, обладающей сопротивлением. Что мог сказать Галилей о таких движениях? Его ответ гласил:

Дабы рассмотреть этот вопрос научно, следует отбросить все указанные трудности [сопротивление воздуха, трение и т.д.] и, сформулировав и доказав теоремы для случая, когда сопротивление отсутствует, применять их с теми ограничениями, какие подсказывает нам опыт.

Пренебрегая сопротивлением воздуха и трением, пытаясь найти законы движения в пустоте, Галилей вступал в противоречие с Аристотелем и даже с Декартом, мысленно представляя тела, движущиеся в пустом пространстве, а также использовал метод идеализации, или абстрагирования от второстепенных свойств. Именно так поступают математики, изучая реальные фигуры. Математик абстрагируется от молекулярной структуры, цвета и толщины линий, чтобы дойти до некоторых фундаментальных свойств, а затем сосредоточивает все внимание на изучении этих свойств. Аналогичным образом действовал и Галилей, пытаясь за внешним разнообразием явлений разглядеть физические факторы, лежащие в основе явления. Математический метод идеализации, несомненно, следует рассматривать как шаг, уводящий нас от реальности, но, как ни парадоксально, именно этот шаг позволяет нам приблизиться к реальности в гораздо большей степени, чем учет всех имеющихся на лицо факторов.

Мудрость Галилея проявилась и в еще одном тактическом ходе. Он не пытался, как это делали естествоиспытатели и философы до него, охватить все явления природы, а выбрав несколько наиболее существенных явлений, принялся упорно и последовательно их изучать. Галилей счел разумным действовать осторожно и осмотрительно, продемонстрировав сдержанность, достойную мастера.

Выношенный Галилеем план изучения природы включал четыре пункта. Во-первых, получить количественные описания физических явлений и облечь их в математические формулы. Во-вторых, выделить и измерить наиболее фундаментальные свойства явлений. Эти допускающие количественное выражение свойства надлежало принять за переменные в формулах. В-третьих, построить физику дедуктивно на основе фундаментальных физических принципов. В-четвертых, при изучении явления непременно прибегать к его идеализации.

Чтобы претворить этот план в жизнь, Галилею было необходимо выявить фундаментальные законы. Можно, например, получить формулу, устанавливающую зависимость между числом браков в Таиланде и ценой на подковы для лошадей в Нью-Йорке, поскольку и та, и другая величина меняются из года в год. Но такая формула не имела бы научной ценности, ибо не содержала бы, ни прямо, ни косвенно, никакой полезной информации. Поиск фундаментальных законов был еще одной грандиозной задачей, поскольку и в этом Галилей резко расходился со своими предшественниками. При избранном им подходе к изучению движущейся материи нельзя было не принимать во внимание Землю, движущуюся в пространстве и одновременно вращающуюся вокруг своей оси, и уже одно это в значительной мере обесценивало ту единственную заслуживающую внимания систему механики, которой обладал мир в эпоху Возрождения, — механику Аристотеля.