Математика. Поиск истины. - Клайн Морис

Хотя философские и естественнонаучные взгляды Декарта подрывали традиции Аристотеля и схоластику, сам Декарт оставался схоластом в том смысле, что суждения о природе бытия и реальности он черпал исключительно из разума. Декарт верил в существование априорных истин и в то, что человеческий разум способен сам по себе достичь полного без изъянов знания всего сущего. Например, на основании лишь априорных суждений Декарт сформулировал законы движения. И все же именно Декарт стал провозвестником общей и последовательной системы философских взглядов, развеявшей безраздельное господство схоластики и открывшей новые пути перед человеческой мыслью. Сводя явления природы к чисто физическим процессам, Декарт способствовал избавлению от мистицизма и веры в потусторонние силы. Развивая смелые, поистине новаторские идеи и методы приобретении почти всех научных проблем своего времени, Декарт стимулировал создание новых научных теорий. Сочинения Декарта пользовались необычайной популярностью во второй половине XVII в. Под влиянием дедуктивной последовательной философии Декарта многие его современники и в первую очередь Ньютон осознали важность движения как физического явления. Изящно переплетенные томики философских сочинений Декарта украшали туалетные столики знатных дам.

Всесилие человеческого разума, неизменность законов природы, учение о протяженности и движении как сущностях физических объектов, различие между телом и духом, между качествами, реально присущими объектам, и качествами, лишь кажущимися, а в действительности рожденными реакцией разума на чувственные данные, — все эти идеи, подробно развитые в сочинениях Декарта, оказали влияние на формирование современного мышления.

Мы не ставим себе целью во всех деталях прослеживать эволюцию философских взглядов Декарта, хотя сами по себе они, несомненно, заслуживают этого. Для нас важно лишь подчеркнуть, что математические истины и математический метод послужили великому мыслителю путеводной нитью, позволив проложить свой путь через интеллектуальные бури и штормы XVII в. Философию Декарта с полным основанием можно назвать математической. В ней несравненно меньше мистики, метафизики, теологии и больше рационального, чем в философии предшественников Декарта, как средневековых, так и эпохи Возрождения. Тщательно анализируя смысл и логику каждого шага своих математических построений, Декарт научил нас полагаться на собственные силы в поисках истины, а не трепетать по-ученически перед суждениями античных мудрецов и прочих авторитетов. Декарт положил начало бесповоротному расколу между философией и теологией.

Галилей, которого мы уже упоминали как одного из самых выдающихся приверженцев гелиоцентрической теории, также предложил свою философию естествознания. Она имела немало общего с философией Декарта, но оказалась более радикальным и эффективным руководством к действию. Выдвинутый Галилеем грандиозный план прочтения «книги природы» провозгласил совершенно новую концепцию целей научного исследования и определил роль математики в достижении этих целей. Именно с предложенного Галилеем плана исследования и постижения природы берет начало современная математическая физика.

Что привело Галилея к поистине революционному пересмотру методологии науки, остается неясным. Галилей знал, что Птолемей называл свою геоцентрическую теорию всего лишь удобной математической схемой. Он был осведомлен и о том, что Коперник, отстаивая созданную им гелиоцентрическую теорию, ссылался прежде всего на ее математическую простоту. (Аналогичные доводы приводил и Кеплер, но Галилей не знал о его работах.) Галилей разделял мнение Коперника и Птолемея о том, что природа сотворена по математическому плану. В небольшом, ныне довольно известном сочинении «Пробирных дел мастер» (1623) Галилей писал:

Философия природы написана в величайшей книге, которая всегда открыта перед нашими глазами, — я разумею Вселенную, но понять ее сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. А написана эта книга на языке математики, и письмена ее — треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без коих нельзя понять по-человечески ее слова: без них — тщетное кружение в темном лабиринте.

Природа проста и в высшей степени упорядочена, все ее явления регулярны и необходимы. Она действует в полном соответствии с совершенными и незыблемыми математическими законами. Божественный разум — источник рационального в природе. При сотворении мира Бог вложил в него строгую математическую необходимость, которую представители человеческого рода, хотя их разум создан по образу и подобию божьему, постигают лишь ценой значительных усилий. Математическое знание не только абсолютно истинно, но и священно, как священна любая строка Библии. Более того, математическое знание превосходит Священное писание, ибо по поводу последнего существует много разногласий и споров, тогда как математические истины бесспорны. Исследование природы — занятие столь же благочестивое, как и изучение Библии: «То, как Господь Бог предстает перед нами в явлениях природы, достойно восхищения ничуть не в меньшей степени, чем его дух в священных строках Библии».

Хотя Декарт предпринял первые шаги к изучению законов движения, он не пытался всерьез заняться проблемами, возникшими в связи с утверждением гелиоцентрической теории. Согласно этой теории, Земля, вращаясь вокруг своей оси, одновременно обращается вокруг Солнца. Почему тела не срываются с движущейся Земли? Почему брошенные тела должны падать на Землю, если она не является центром Вселенной? Более того, все тела, в частности свободно брошенное тело, движутся так, будто Земля покоится. Чтобы объяснить все эти земные явления, требовались какие-то новые принципы движения.

Дерзкий новаторский подход Галилея, развитый его последователями, состоял в том, чтобы получить количественные описания явлений, представляющих научный интерес, независимо от каких бы то ни было физических объяснений.Поясним на примере. Представим себе простую ситуацию: мяч, выпущенный из руки, падает на землю. Почемуон падает? В объяснение этого можно приводить бесчисленное множества гипотез. Галилей рекомендует поступить иначе. По мере того как время, отсчитываемое от начала падения, увеличивается, растет и расстояние, пройденное мячом от начальной точки. На математическом языке и расстояние, проходимое мячом при свободном падении, и время, отсчитываемое от начала падения, называются переменными,ибо в процессе падения и то и другое изменяется. Галилей попытался найти математическое соотношение между этими переменными. Полученный им результат нетрудно записать с помощью принятой в современной науке «стенографии» — в виде формулы. Формула, о которой идет речь, имеет вид s = gt 2/2 = 4,9t 2(где g= 9,8 м/с 2— ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли). Она означает, что расстояние (в метрах), проходимое падающим мячом за  tсекунд, в 4,9 раза больше квадрата числа секунд. Например, за 3 с мяч пройдет при свободном падении 4,9×3 2= 44,1 м, за 4 с: 4,9×4 2= 78,4 м и т.д.

Отметим, что формула компактна, точна и отличается количественной полнотой. При любом значении одной переменной (в нашем примере — времени) формула позволяет точно вычислить соответствующее значение другой переменной (расстояния).Эти вычисления могут быть выполнены при любом (в действительности неограниченном) числе значений временной переменной, поэтому простая формула s = 4,9t 2в действительности содержит в себе бесконечно много информации.

Следует подчеркнуть, однако, одно важное обстоятельство: эта математическая формула описывает то, что происходит, не объясняя причинной связи, т.е. ничего не говорит о том, почему мяч падает. Она лишь дает нам количественную информацию о том, как происходит падение мяча. Обычно ученый пытается установить математическую зависимость (выражаемую формулой) между переменными, которые, как он надеется, имеют причинно-следственную связь. Но для успешного решения этой задачи — установления математической зависимости между переменными — ученому вовсе не обязательно исследовать или понимать причинную зависимость. И это отчетливо понимал Галилей, отстаивая приоритет математического описания перед менее успешным качественным исследованием и поиском причинных связей в природе.