φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания - Марио Ливио

Почему именно 1/89?

Свойства нашей Вселенной, от размера атомов до размера галактик, определяются величинами нескольких так называемых фундаментальных постоянных. В число этих постоянных входят четыре величины, определяющие величину четырех основных сил – силы тяготения, электромагнитной силы и двух сил, действующих на масштабах атомного ядра. Например, знакомая нам электромагнитная сила, возникающая между двумя электронами, в физике выражается через фундаментальную постоянную, называемую постоянной тонкой структуры. Величина этой постоянной почти точно равна 1/137, что весьма озадачивало несколько поколений физиков. Знаменитый английский физик Поль Дирак (1902–1984), один из основателей квантовой механики, шутил по этому поводу, что если на небесах ему будет позволено задать Господу всего один вопрос, это будет вопрос «Почему именно 1/137?».

В последовательность Фибоначчи тоже входит совершенно удивительное число – это ее одиннадцатый член 89. Если записать значение 1/89 в виде десятичной дроби, то получится 0,01123595… А теперь представим себе, что мы записываем числа Фибоначчи как десятичные дроби следующим образом:

0,01

0,001

0,0002

0,00003

0,000005

0,0000008

0,00000013

0,000000021

…

Иначе говоря, разряд единиц первого числа Фибоначчи приходится на второй знак после запятой, разряд единиц второго числа приходится на третий знак после запятой и так далее, то есть разряд единиц n-ного числа Фибоначчи приходится на (n–1) – й знак после запятой. А теперь давайте сложим эти числа. И получится у нас 0,01123595…, то есть 1/89.

Фокус с молниеносным сложением

Некоторые люди умеют очень быстро складывать в уме. Числа Фибоначчи помогают производить подобные молниеносные математические операции без особых усилий. Сумма всех чисел Фибоначчи от первого до n-ного равна попросту числу номер (n + 2), из которого вычли единицу. Например, сумма первых десяти членов последовательности 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143, то есть двенадцатый член (144) минус 1. Сумма первых 78 членов последовательности равна восьмидесятому члену минус 1 и т. д. Следовательно, можете заставить приятеля написать длинную колонку цифр, начиная с 1, 1, 2 и далее, следуя формуле последовательности Фибоначчи, то есть каждое следующее число должно быть суммой двух предшествующих. Затем попросите собеседника пометить галочкой любое число в колонке – после чего вы мгновенно скажете, чему равна сумма всех чисел до галочки: это будет число через одно от отмеченного минус 1.

Пифагоровы Фибоначчи

Как ни странно, числа Фибоначчи можно связать даже с пифагоровыми тройками. Как вы, наверное, помните, пифагоровы тройки – это тройки чисел, которые могут служить длинами сторон прямоугольного треугольника (в частности, это числа 3, 4, 5). Возьмите любые четыре последовательных числа Фибонанччи, ну, скажем, 1, 2, 3, 5. Произведение внешних – то есть первого и четвертого – равно 5, удвоенное произведение внутренних – то есть второго и третьего – равно 12, сумма квадратов внутренних чисел 22 + 32 = 13 – и это и будут три стороны пифагорейского треугольника (52 + 122 = 132). Но это еще не все! Обратите внимание, что третье число – 13 – само по себе число Фибоначчи! Это свойство обнаружил математик Чарльз Райн.

Учитывая, сколько чудес таят в себе числа Фибоначчи (а вскоре мы познакомимся со множеством других их секретов), не стоит удивляться, что математики давно ищут эффективный метод вычисления произвольного члена последовательности Fn для любого n. В принципе это не так уж сложно: если нам нужно сотое число, надо сложить девяносто восьмое и девяносто девятое, однако это все равно означает, что сначала надо вычислить все члены последовательности до девяносто девятого, а это несколько утомительно. Как писал покойный юморист Джордж Бернс в своей книге «Как прожить сто лет и больше» (George Burns. How to Live to Be 100 or More): «Как прожить сто лет и больше? Кое над чем придется потрудиться. Главное – обязательно дотянуть до девяносто девяти».

В середине XIX века французский математик Жак-Филипп-Мари Бине (1786–1856) заново открыл формулу, которую, по всей видимости, еще в XVIII веке знали и самый плодовитый математик в истории человечества Леонард Эйлер (1707–1783), и французский математик Абрахам де Муавр (1667–1754). По этой формуле можно найти значение любого числа Фибоначчи Fn, если известно его место в последовательности – n. Так вот, эта формула Бине целиком опирается на золотое сечение.

На первый взгляд это не формула, а сущий кошмар: не очевидно даже, что при подстановке в нее различных значений n получатся целые числа, а ведь все члены последовательности Фибоначчи – целые. Поскольку мы уже знаем, что числа Фибоначчи тесно связаны с золотым сечением, нас, пожалуй, несколько обнадежит, когда мы поймем, что первый член в скобках – это, в сущности, золотое сечение в степени n, φn, а второй – (–1/φ) n. (Вспомним, что выше мы обсуждали, что отрицательный корень квадратного уравнения, определяющего число φ, равен – 1/φ). Вооружившись простым инженерным карманным калькулятором, можно самостоятельно ввести несколько значений n и убедиться, что формула Бине дает числа Фибоначчи в точности. При достаточно больших значениях n второй член в скобках становится очень маленьким, так что можно просто считать, что Fn – это ближайшее целое число к φn/√5. Например, при n = 10, φn/√5 = 55,0036, а десятое число Фибоначчи и есть 55.

Можно задаться вопросом – так, забавы ради, – существует ли число Фибоначчи, состоящее ровно из 666 цифр. Математик и писатель Клиффорд А. Пиковер называет числа, связанные с 666, «апокалиптическими». Он обнаружил, что число Фибоначчи номер 3184 состоит из 666 знаков.

Итак, стоило лишь открыть числа Фибоначчи, и они, как по волшебству, стали возникать тот тут, то там, в том числе и в живой природе. Вот и ботаника дарит нам несколько интереснейших примеров.

Так подсолнух глядит на закат божества[6]

Листья вдоль стебля растения или веточки от сука обычно растут так, чтобы солнца, воздуха и дождя им доставалось ровно столько, сколько нужно. Когда побег тянется вверх, листья на нем появляются через достаточно правильные интервалы. Однако растут они не прямо друг над другом – ведь тогда нижние листья не получали бы вдоволь света и влаги. На самом деле соседние листья или побеги на одной ветке располагаются вокруг стебля более или менее как резьба на винте (см. рис. 31). Подобное расположение повторяющихся элементов видно на примере и чешуек ананаса, и семечек подсолнуха. Называется это явление филлотаксис (от греч. «расположение листьев»), и этот термин ввел в 1754 году швейцарский натуралист Шарль Бонне (1720–1793). Например, у липы листья растут в основном с противоположных сторон ветки (то есть через полоборота вокруг ветки), и это называется «винтовая ось типа 1/2». У других растений – орешника, черники, березы – листья на ветках и стеблях располагаются через 1/3 оборота, и это называется «винтовая ось типа 1/3». У яблони, абрикосового дерева и вечнозеленого калифорнийского дуба листья растут через 2/5 оборота, а у груши и плакучей ивы – через 3/8. На рис. 31 показан случай, когда восемь побегов располагаются на протяжении трех полных оборотов – винтовая ось типа 3/8. Обратите внимание, что все указанные дроби – это соотношения чисел Фибоначчи, взятых через одно.

Рис. 31

То обстоятельство, что листья растений следуют определенному образцу, первым отметил древнегреческий ученый Феофраст (ок. 372 – ок. 287 гг. до н. э.) в своем труде «История растений»: «У тех, у которых листья плоские, они располагаются через правильные промежутки». Плиний Старший (23–79 гг. н. э.) отметил то же явления в своей масштабной «Естественной истории», где тоже пишет о правильных промежутках между листьями, расположенными на ветке по кругу. До XV века исследования филлотаксиса недалеко отошли от этих первых качественных наблюдений, но затем Леонардо да Винчи (1452–1519) нашел количественные закономерности в расположении листьев, отметив, что листья растут по спирали циклами по 5 (то есть под углом в 2/5 оборота). Связь между филлотаксисом и числами Фибоначчи первым почувствовал – интуитивно – астроном Иоганн Кеплер. Кеплер писал: «По образу и подобию таких саморазвивающихся последовательностей [имеется в виду рекурсивное свойство последовательности Фибоначчи], на мой взгляд, строится и развитие растений, так, например, в цветке проявлен природный символ этого качества – правильный пятиугольник».