φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания - Марио Ливио

Заинтересованный читатель найдет и алгебраическое (современное) решение этой задачи, и риторическое решение Фибоначчи в Приложении 6.

Книга «Liber abaci» снискала Фибоначчи значительную известность, и слава о нем дошла до ушей императора Священной Римской империи Фредерика II по прозвищу «Stupor Mundi» («Всемирное диво») за покровительство математике и естественным наукам. Фибоначчи пригласили предстать перед императором в Пизе в начале 1220 годов, где один из придворных математиков Иоганн Палермский задал ему целый ряд математических задач – как полагали, очень трудных. Одна из задач гласила: «Найти рациональное число [то есть целое число или дробь], такое, что если из его квадрата вычесть 5 или прибавить к его квадрату 5, получатся также квадраты рациональных чисел». Фибоначчи решил все эти задачи весьма изобретательными методами. Затем он описал две из них в короткой книге под названием «Flos» («Цветок»), а вышеуказанную привел в прологе к книге «Liber quadratorum» («Книга квадратов»), которую посвятил императору. Сегодня мы не можем не восхищаться, что Фибоначчи сумел найти решение вышеуказанной задачи безо всяких компьютеров и калькуляторов, а просто благодаря виртуозному владению теорией чисел: 41/12. И в самом деле, (41/12)2 + 5 = (49/12)2, а (41/12)2 – 5 = (31/12)2.

Роль Фибоначчи в истории золотого сечения поистине поражает. С одной стороны, в задачах, где он сознательно прибегает к золотому сечению, он добивается значительного прогресса – пусть и не поразительного. С другой – он сформулировал задачу, которая на первый взгляд не имеет к золотому сечению никакого отношения, однако благодаря этой задаче Фибоначчи радикально расширил сферу применения золотого сечения и углубил его понимание.

Непосредственный вклад в литературу о золотом сечении Фибоначчи сделал своей короткой книгой о геометрии «Practica Geometriae» («Практика геометрии»), которая вышла в свет в 1225 году. Там ученый представил новые способы вычисления диагонали и площади правильного пятиугольника, формулы для вычисления длин сторон правильного пятиугольника и правильного десятиугольника по диаметру окружностей, описанных вокруг них и вписанных в них, и формулы для вычисления объемов додекаэдра и икосаэдра, и все это тесно связано с золотым сечением. В решениях этих задач Фибоначчи проявляет глубочайшее понимание евклидовой геометрии. Хотя его математические приемы до определенной степени опираются на работы предшественников, в особенности на труд Абу Камила «О пятиугольнике и десятиугольнике», не приходится сомневаться, что Фибоначчи вывел на новый уровень применение свойств золотого сечения при решении различных геометрических задач. Однако величайшую славу Фибоначчи принесла невинная на вид задача из «Liber abaci», которая и стала главным вкладом ученого в исследования золотого сечения.

Все помыслы кролика – лишь о кроликах

Многие из тех, кто изучал математику, естественные науки или искусства, слышали о Фибоначчи исключительно благодаря следующей задаче из главы XII «Liber abaci».

Некий человек поместил пару кроликов в огороженное со всех сторон место. Сколько пар кроликов произойдет от этой пары за год, если предположить, что каждый год каждая пара порождает новую пару, которая еще через месяц становится способна приносить потомство?

Как так вышло, что количество потомков пары кроликов имеет такое важное значение для математики? Ведь задача решается довольно просто. Сначала у нас одна пара. Проходит первый месяц, первая пара порождает еще пару, их становится две.

Рис. 27

На рис. 27 пара взрослых кроликов обозначена крупной фигуркой, а пара молодых – мелкой. Проходит второй месяц, взрослая пара порождает еще одну юную пару, а молодая пара тем временем подрастает. Итак, у нас три пары, что и отображено на рисунке. Проходит третий месяц, каждая из двух взрослых пар порождает еще по паре, а юная пара подрастает, итак, у нас уже пять пар. Проходит четвертый месяц, каждая из трех взрослых пар порождает еще по паре, а две юные пары подрастают, следовательно, у нас уже восемь пар. После пяти месяцев у нас по юной паре от каждой из пяти взрослых пар плюс три подрастающие пары – всего тринадцать пар. Теперь мы уяснили закономерность и знаем, как получить число взрослых пар и юных пар и общее число пар кроликов в каждый последующий месяц. Предположим, нас интересует только число взрослых пар в каждый конкретный месяц. Это число состоит из числа взрослых пар в предыдущий месяц плюс количество юных пар (к данному моменту успевших повзрослеть) в тот же предыдущий месяц. Однако количество юных пар месяц назад на самом деле равен количеству взрослых пар в позапрошлом месяце. Итак, в каждый конкретный месяц, начиная с третьего, количество взрослых пар просто-напросто равно сумме количества взрослых пар за два предшествующих месяца. Итак, количество взрослых пар подчиняется последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8… Из рисунка очевидно, что количество юных пар подчиняется в точности той же последовательности со сдвигом на один месяц. То есть количество юных пар равно 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8… Естественно, общее количество пар – сумма этих последовательностей, и оно совпадает с последовательностью для количества взрослых пар без числа за первый месяц (1, 2, 3, 5, 8…). Последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…, в которой каждое число, начиная с третьего, представляет собой сумму двух предыдущих чисел, в девятнадцатом веке получила название «Числа Фибоначчи»; придумал этот термин французский математик Эдуард Люка (1842–1891). Последовательности чисел, в которых отношение между соседними членами выражаются математической формулой, называются рекурсивными. Числа Фибоначчи – первая известная в Европе рекурсивная последовательность. Общее свойство рис. 27 таково, что каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих членов, и математически это выражается следующим образом (формулу предложил в 1654 году математик Альбер Жирар): Fn+2 = Fn+1 + Fn. Здесь n – это номер члена последовательности (например, F5 – это пятый член последовательности), Fn+1 – это следующий за ним член последовательности (то есть если n = 5, то n + 1 = 6), а Fn+2 – это член последовательности, следующий за Fn+1.

Фибоначчи так знаменит в наши дни, поскольку применение чисел Фибоначчи отнюдь не сводится к разведению кроликов. Кстати, название этого раздела подсказала цитата из «Естественной истории интеллекта» Ральфа Уолдо Эмерсона, вышедшей в свет в 1893 году. Эмерсон говорит: «Все помыслы черепахи – лишь о черепахах, а кролика – о кроликах». С последовательностью Фибоначчи мы еще встретимся при изучении поразительно разнообразных явлений, на первый взгляд никак не связанных друг с другом.

Для начала рассмотрим явление, пожалуй, предельно далекое от генеалогии кроликов – оптику, науку о том, как распространяются лучи света. Предположим, у нас есть две стеклянные пластины, сделанные из стекла разного сорта (с разными показателями преломления света или «индексами рефракции»), и мы поставили их вплотную друг к другу (как на рис. 28, а). Если мы посветим сквозь пластины, лучи света в принципе могут отразиться внутри от четырех отражающих поверхностей и лишь затем выйти наружу (рис. 28, а). А точнее, они могут либо пройти сквозь стекло, вообще не отразившись, либо, прежде чем выйти наружу, отразиться внутри конструкции один, два, три и т. д. раз – потенциально число отражений может быть и бесконечным. Законы оптики допускают все варианты развития событий. Если внутренних отражений вообще не было, на выходе будет только один луч (рис. 28, b). Если рассмотреть все варианты, при которых лучи претерпевают ровно одно внутреннее отражение (рис. 28, с), на выходе будет два луча, поскольку тогда лучи могут пройти двумя путями. При рассмотрении всех вариантов, когда внутренних отражений будет два, на выходе будет три луча (рис. 28, d), пять лучей – для трех внутренних отражений (рис. 28, е), восемь – если луч отразится четырежды (рис. 28, f), тринадцать – для пяти отражений (рис. 28, g) и т. д. Количество лучей на выходе – 1, 2, 3, 5, 8, 13 … – это последовательность Фибоначчи.

Рис. 28

А теперь рассмотрим еще одну задачу, совершенно иную. Ребенок взбирается по лестнице. Максимальное количество ступеней, которые он может одолеть за раз, – две; то есть он может за один шаг подняться либо на одну, либо на две ступени. Всего ступеней n. Сколькими способами Сn ребенок может подняться по лестнице? Если ступеней только одна, то есть n = 1, очевидно, способ только один: С1 = 1. Если ступеней две, ребенок может либо подняться сразу на две ступеньки, либо преодолеть их по одной, то есть способов два: С2 = 2. Если ступеней три, способов подняться три: 1 + 1 +1, 1 + 2, 2 + 1, следовательно, С3 = 3. Если ступеней четыре, количество способов возрастает до С4 = 5: 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2, 2 + l + l, 2 + 2. Для пяти ступеней способов уже С5= 8: l + 1 + l + l + l, 1 + 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 2 + 1, 1 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1, 2 + 2 + 1, 2 + 1 + 2, 1 + 2 + 2. Оказывается, количество вариантов l, 2, 3, 5, 8 … снова составляет последовательность Фибоначчи.