Бернард Больцано - Виталий Колядко

Обоснование представляет собой выведение доказываемого предложения из посылок, которыми являются фундаментальные истины. Любой другой способ доказательства Больцано называет удостоверением истины (21, 4, 261). Очевидно, что под обоснованием он имеет в виду аксиоматически-дедуктивный метод. Чешского философа можно считать одним из основателей современного учения об аксиоматическом методе.

Во времена Больцано образцом применения этого метода считали «Начала» Евклида. Еще в своих ранних математических работах Больцано указывает недостатки евклидовской аксиоматики.

Он даже написал произведение под характерным названием «Анти-Евклид» (оно было утеряно). Развивая идеи Декарта и Лейбница, чешский мыслитель рассматривает аксиоматический метод в качестве универсального научного метода. В этом его отличие прежде всего от Канта. Последний пытается строго отделить метод математики от метода философии, или метафизики. Метод философии является, по его мнению, аналитическим, математики — синтетическим. Отношения между математическими понятиями всегда наблюдаемы, в ней оперируют наглядными символами, в философии наблюдаемость невозможна. В основании необходимых суждений математики лежит априорное, или чистое, созерцание пространства и времени. Простейшая формула «7+5=12» является априорным синтетическим суждением, полученным на основе действия чистого созерцания времени. Больцано убежден в неправомерности такого разделения доказательств в философии и математике. «Незначительно еще число философов в наши дни, — пишет он, — чье математическое знание простиралось бы дальше положения, что А равно А. Еще меньше число математиков, готовых признать, что их собственная наука может быть поднята на более высокую ступень совершенства при помощи философии, и которые согласились бы, что их наука выиграла бы, если бы удалось многие встречающиеся в ней понятия, оставляемые без всякого объяснения, как общеизвестные, разложить на их составные части и множество положений, рассматриваемых либо без доказательства, либо как очевидные, вывести из их объективных оснований, т. е. из некоторых чистых понятийных истин, которые намного более общи, чем они» (цит. по: 82, 71). Стремление создать общенаучный логический метод, пригодный и для математики, и для других дисциплин, и явилось причиной написания «Наукоучения». Согласно Больцано, «метод математики по своей сущности ни в малейшей степени не отличается от любой научной процедуры… Обсуждение математического метода является в своей основе не чем иным, как логикой, и к самой математике не относится» (16, 30).

Больцано высказывает ряд ценных идей по обоснованию и структуре аксиоматического метода. Одним из первых в истории математики, логики и философии он указывает на ошибочность и недостаточность психологического, основанного на наглядности, интуиции, математического и логического доказательств. Когда математический анализ делал первые шаги, против него с позиций психологизма и субъективного идеализма ополчился Беркли. Бесконечно малые величины, утверждал он, должны быть выброшены из математики как фикции. Того, что мы не в состоянии воспринять, не существует. На очевидность, интуицию, правда другого рода — интеллектуальную интуицию, ссылается как на средство обоснования и Декарт. Больцано показывает, что ссылка на любого рода очевидность, созерцание не может служить доказательством в научном исследовании. В небольшой самой ранней работе «Размышления о некоторых предметах элементарной геометрии» (1804) он говорит: «Прежде всего я поставил себе за правило, что никакая очевидность предложения не заставит меня считать себя свободным от обязанности добавочно искать доказательств для него до тех пор, пока я ясно не увижу, почему нельзя требовать никакого доказательства» (цит. по: 24, 40). Особенно резко выступает чешский философ против кантианской философии математики, основанной на признании априорности созерцаний времени и пространства. Предложение «7+5=12», рассматриваемое Кантом как пример априорного и синтетического суждения в математике, Больцано считает аналитическим предложением. Он стремится доказать, что сумма двух чисел получается путем чисто логической операции, без обращения за помощью к наглядности. Нелепо утверждать, что поскольку мы при сложении постепенно добавляем друг к другу единицы чисел 5 и 7, то необходимо созерцание времени. Это все равно, как если бы мы ссылались на созерцание в логической операции «сорит», где к последнему заключению приходят постепенно, шаг за шагом (см. 21, 3, 185–186. 27, 82). Субъективные условия познания не должны смешиваться с объективным его основанием. Каждое предложение в сознании имеет определенную степень ясности и отчетливости, объективный же смысл предложения не имеет этих свойств и не зависит от них. Защищая от психологизма и субъективизма основополагающие понятия математического анализа, Больцано пишет в «Парадоксах бесконечного»: «Вопрос о том, конечно ли что-нибудь или бесконечно, не может зависеть от того, имеет ли предмет, о котором идет речь, такую величину, которую мы можем воспринимать (например, от того, можем ли мы его обозревать или нет)». «Конечное и бесконечное относятся к известным внутренним свойствам предметов и никоим образом не касаются только отношений их к нашей познавательной способности, даже к нашим чувствам» (8, 7; 17).

Эти плодотворные методологические идеи, развиваемые Больцано на основе обобщения опыта математических исследований, помогли ему сделать ряд открытий в математике. Так, ученый, справедливо указывая на недостаточное обоснование в его время понятия дифференциала, сам подходит к правильному его истолкованию. Дифференциал рассматривается им как символическое выражение, подобное выражению «√—1». Метод, который использует только символические средства, является, по Больцано, логически допустимым и правильным (см. 16, 26). К сожалению, сам ученый не всегда следует собственным установкам. Полностью освободиться от смешения формального и содержательного в логике Больцано мешало отсутствие подходящей символики.

Выдающимся в философии математики и науки было открытие Больцано недифференцируемых функций, или, говоря языком геометрии, кривых, не имеющих ни в одной точке касательных. Это открытие ранее приписывалось известному немецкому математику Вейерштрассу, но выяснилось, что значительно раньше его оно было сделано чешским мыслителем. Открытие недифференцируемых функций наряду с открытием неевклидовых геометрий знаменует начало нового периода в развитии математики и в разработке гносеологических проблем науки. Н. Бурбаки[3] замечает, что с исследования кривых без касательных, построенных Больцано и Вейерштрассом, «началась вся патология в математике» (см. 36, 27). Интуиция в той форме, в какой она понималась Декартом, с одной стороны, и Кантом — с другой, оказалась полностью дискредитированной как средство доказательства и критерий достоверности. Начинается этап формализации математики. Закладываются основы аксиоматически-дедуктивного построения математических дисциплин. Больцано одним из первых разрабатывает аксиоматический метод как общенаучную, логическую процедуру. Положение о не-наглядности понятийного знания становится у чешского философа основополагающим, и он стремится подкрепить его онтологическими соображениями. Так, он пишет: «Заключение от невосприятия к несуществованию получается при нежелании допустить, что все конечные субстанции подлежат никогда не прекращающемуся изменению», а «представить себе в чувственном образе, что каждое, даже самое короткое, мгновение, как, например, один миг, заключает уже бесконечное множество целых промежутков времени, — это задача, конечно, трудная для нашего воображения. Довольно и того, что мы понимаем это умом и признаем, что иначе оно и не может быть…» (8, 73; 100). Гносеологические установки рационализма XVII–XVIII столетий используются Больцано как важнейшее методологическое средство. Уместно в этой связи напомнить слова В. И. Ленина: «Представление не может схватить движения в целом, например, не схватывает движения с быстротой 300000 км. в 1 секунду, а мышление схватывает и должно схватить» (7, 209). Но Больцано, как и все рационалисты, недооценивает роль эмпирического, чувственного познания, познания, связанного с экспериментом, а поэтому умаляет и значение наглядности. Несмотря на то что теоретическое познание лишено наглядности, носит нечувственный характер, оно сохраняет определенную генетическую зависимость от восприятия и, кроме того, выражено в чувственной форме речи, знаков и т. д., служащих необходимой формой бытия знания. Это обстоятельство игнорируется чешским мыслителем. Предложения- и истины-в-себе, по его мнению, имеются помимо существования и функционирования языка. Следует сказать, что проблема так называемой интеллектуальной интуиции, которую ставит рационализм, по существу снимается в философии Больцано, поэтому совершенно беспочвенны утверждения о чешском мыслителе как об интуитивисте (см. 48, 416).