φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания - Марио Ливио

Рис. 28

А теперь рассмотрим еще одну задачу, совершенно иную. Ребенок взбирается по лестнице. Максимальное количество ступеней, которые он может одолеть за раз, – две; то есть он может за один шаг подняться либо на одну, либо на две ступени. Всего ступеней n. Сколькими способами Сn ребенок может подняться по лестнице? Если ступеней только одна, то есть n = 1, очевидно, способ только один: С1 = 1. Если ступеней две, ребенок может либо подняться сразу на две ступеньки, либо преодолеть их по одной, то есть способов два: С2 = 2. Если ступеней три, способов подняться три: 1 + 1 +1, 1 + 2, 2 + 1, следовательно, С3 = 3. Если ступеней четыре, количество способов возрастает до С4 = 5: 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2, 2 + l + l, 2 + 2. Для пяти ступеней способов уже С5= 8: l + 1 + l + l + l, 1 + 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 2 + 1, 1 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1, 2 + 2 + 1, 2 + 1 + 2, 1 + 2 + 2. Оказывается, количество вариантов l, 2, 3, 5, 8 … снова составляет последовательность Фибоначчи.

Наконец, исследуем генеалогическое древо самца пчелы – трутня. В трутней превращаются неоплодотворенные яйца пчел-работниц. То есть у трутня нет отца, только мать. С другой стороны, яйца пчелы-царицы оплодотворяются трутнями, и из них получаются самки (рабочие пчелы или царицы). То есть у рабочей пчелы есть и мать, и отец. Итак, у одного трутня есть один родитель, мать, одна пара бабушек и дедушек – родители матери, двое прабабушек и прадедушка, всего трое (мать и отец бабушки и мать дедушки), пять прапрабабушек и прапрадедушек (двое на каждую прабабушку и мать прадедушки) и т. д. То есть число ветвей на генеалогическом древе трутня составляет 1, 1, 2, 3, 5 – снова последовательность Фибоначчи. Схему такого генеалогического древа см. на рис. 29.

Рис. 29

Все это очень занимательно: одна и та же последовательность чисел относится и к кроликам, и к оптике, и к ступенькам лестницы, и к предкам трутня; но какое отношение числа Фибоначчи имеют к золотому сечению?

Золотые числа Фибоначчи

Снова рассмотрим последовательность Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 – и на сей раз посмотрим на отношения последовательных членов этого ряда (вычислять будем до шестого знака после запятой):

1/1 = 1,000000

2/1 = 2,000000

3/2 = 1,500000

5/3 = 1,666666

8/5 = 1,6000001

3/8 = 1,625000

21/13 = 1,615385

34/21 = 1,619048

55/34 = 1,617647

89/55 = 1,6180561

44/89 = 1,617978

233/144 = 1,618056

377/233 = 1,618026

610/377 = 1,618037

987/610 = 1,618033

Узнаете это число? Чем дальше мы продвинемся по последовательности Фибоначчи, тем ближе отношение двух соседних чисел Фибоначчи будет колебаться (то чуть больше, то чуть меньше) вокруг золотого сечения, неуклонно приближаясь к нему. Если обозначить n-ный член последовательности Фибоначчи как Fn, а следующий за ним – как Fn+1, то суть нашего открытия состоит в том, что чем больше n, тем ближе отношение Fn/Fn+1 к числу φ. Это свойство чисел Фибоначчи открыл в 1611 году знаменитый немецкий астроном Иоганн Кеплер (а возможно, его опередил неизвестный итальянский математик), однако прошло более ста лет, прежде чем связь между числами Фибоначчи и золотым сечением была доказана, да и то не до конца, шотландским математиком Робертом Симсоном (1687–1768). Кстати, Кеплер, очевидно, открыл последовательность Фибоначчи совершенно самостоятельно, а не из «Книги абака».

Но почему члены последовательности, выведенной из схемы разведения кроликов, подводят нас к соотношению, выведенному из деления отрезка? Чтобы понять эту связь, придется вернуться к поразительной непрерывной дроби, с которой мы познакомились в главе 4. Вспомним, что мы обнаружили, что золотое сечение можно записать в виде:

В принципе, можно вычислить значение φ методом последовательных приближений: прерывая непрерывную дробь все ниже и ниже. Предположим, мы именно так и поступим. Тогда у нас получится целый ряд значений (напомню: 1 к a/b – это все равно, что b/a).

Иными словами, последовательные приближения, при помощи которых мы ищем золотое сечение, в точности равны соотношениям чисел Фибоначчи. Ничего удивительного, что чем дальше мы продвигаемся по последовательности, тем ближе они сходятся к золотому сечению. Это качество прекрасно описано в книге «О росте и форме» знаменитого натуралиста сэра Д’Арси Уэнтворта Томпсона (1860–1948) (Sir D’Arcy Wentworth Thompson. On Growth and Form). Вот как он пишет о числах Фибоначчи: «Один мой друг, сведущий в математике, пишет мне б этих прославленных, поразительных числах: “Вся романтика непрерывных дробей, линейных рекурретнтых последовательностей… все это есть в них, и они – источник бесконечного интереса; как увлекательно наблюдать, с каким рвением они стремятся достичь недостижимого – например, золотого сечения; а ведь это всего лишь одно из сотен подобных соотношений”». Кстати, сходимость золотого сечения объясняет математический фокус, который я показал вам в главе 4. Если определить последовательность чисел так, что каждый член последовательности (начиная с третьего) равен сумме двух предшествующих, то с каких бы двух чисел вы ни начали, если зайти по последовательности достаточно далеко, отношение двух последовательных членов будет приближаться к золотому сечению.

Числа Фибоначчи, подобно «предмету устремлений» их отношений – золотому сечению, – обладают поистине поразительными свойствами. Перечень математических закономерностей, связанных с числами Фибоначчи, буквально бесконечен. Приведу лишь несколько из них.

«Квадрат из прямоугольников»

Если составить сумму нечетного числа произведений последовательных чисел Фибоначчи, например, три произведения 1 × 1 + 1 × 2 + 2 × 3, эта сумма (в нашем случае 1 + 2 + 6 = 9) равна квадрату последнего числа Фибоначчи, которое вы задействовали в произведениях (в нашем случае 32 = 9). Другой пример: возьмем сумму семи произведений 1 × 1 + 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 5 + 5 × 8 + 8 × 13 + 13 × 21 = 441, и эта сумма будет равна квадрату последнего задействованного числа: 441 = 212. Подобным же образом сумма одиннадцати произведений 1 × 1 + 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 5 + 5 × 8 + 8 × 13 + 13 × 21 + 21 × 34 + 34 × 55 + +55 × 89 + 89 × 144 = 1442. Это качество прекрасно видно из чертежа на рис. 30. Любое нечетное число прямоугольников, стороны которых равны последовательным числам Фибоначчи, прекрасно складывается в квадрат. На нашем чертеже таких прямоугольников семь.

Рис. 30

Греховное число одиннадцать

В драме «Пикколомини» немецкого поэта и драматурга Фридриха Шиллера астролог Сени заявляет: «Одиннадцать – число греховное. Оно зашло за десять – число господних заповедей» («Elf ist die Sünde. Elfe Überschreiten die zehn Gebote») (Пер. Н. Славятинского). Это еще средневековое суеверие. С другой стороны, у чисел Фибоначчи есть свойство, связанное с числом 11, которое отнюдь не грешно, а, наоборот, очень красиво.

Вычислим сумму первых десяти чисел Фибоначчи: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143. Эта сумма нацело делится на 11 (143/11 = 13). То же самое верно для суммы любых десяти последовательных чисел Фибоначчи. Например, 55 + 89 + 144 + 233 + 377 + 610 + 987 + 1597 + 2584 + 4181 = 10 857, а 10 857 нацело делится на 11: 10 857/11 = 987. Внимательно поглядев на эти примеры, можно заметить еще кое-что. Сумма любых десяти последовательных чисел Фибоначчи всегда равна седьмому из этих чисел, умноженному на 11. Можете воспользоваться этим свойством, чтобы поражать зрителей скоростью, с которой вы сложите любые десять последовательных чисел Фибоначчи.

Месть шестидесятеричной системы?!

Как вы, должно быть, помните, древние вавилоняне по не вполне понятным причинам взяли за основание своей системы счисления число 60 (шестидесятеричная система). Число 60 играет свою роль и в последовательности Фибоначчи, хотя с вавилонской системой счисления это и не связано.

Числа Фибоначчи очень быстро возрастают, поскольку каждое следующее число получается сложением двух предыдущих. По сути дела, нам крупно повезло, что кролики не бессмертны, иначе они бы нас одолели. Пятое число Фибоначчи – всего-навсего 5, а 125-е – уже 59 425 114 757 512 643 212 875 125. Интересно, что число единиц повторяется периодически – через каждые 60 чисел. Например, второе число – 1, 62-е – 4 052 739 537 881 (тоже кончается на 1), 122-е – 14 028 366 653 498 915 298 923 761 – тоже кончается на 1, как и 182 и т. д. Подобным же образом 14-е число равно 377, 74-е – на 60 чисел дальше в последовательности – равно 1 304 969 544 928 657 и тоже кончается на 7 и т. д. Это свойство обнаружил в 1774 году французский математик, итальянец по рождению, Жозеф Луи Лагранж (1736–1813), из-под чьего пера вышло много трудов по теории чисел и механике (еще он изучал устойчивость солнечной системы). Последние две цифры, то есть 01, 01, 02, 03, 05, 08, 13, 21…, повторяются в последовательности с периодичностью 300, а последние три цифры – с периодичностью 1500 чисел. В 1963 году Стивен П. Геллер при помощи компьютера IBM 1620 доказал, что последние четыре цифры повторяются с периодичностью раз в 15 000, последние пять – с периодичностью раз в 150 000 и, наконец, повторение последних шести цифр появляется раз в 1 500 000; компьютеру потребовалось на поиск этой закономерности три часа работы. Геллер не задумался над тем фактом, что можно доказать общую теорему о периодичности последних цифр, и отметил: «Похоже, догадаться, каков будет следующий период, невозможно, однако, вероятно, можно написать новую программу для машины, которая допускает инициализацию в любом месте последовательности, и это сократит время работы компьютера настолько, чтобы получить новые данные». Однако вскоре после этого израильский математик Дов Ярден показал, что можно строго доказать, что для любого количества последних цифр, начиная с трех и больше, периодичность равна всего-навсего пятнадцать на десять в степени на единицу меньше, чем количество цифр (то есть для семи цифр это 15 × 106 – то есть 15 миллионов).