Искатели необычайных автографов - Владимир Артурович Левшин

Мате. — Вы не проходили. Но теперь вам от этого не отвертеться. Так вот, достопочтенный Санчо, благоволите запомнить, что оси координат существуют для того, чтобы определять положение точки на плоскости или в пространстве. Само собой, для нахождения точки на плоскости достаточно двух координат. Если же точка находится в пространстве, которое, как известно, трехмерно, тут уж потребуются три координаты.

— Ну, это нам ни к чему, — быстро ввернул Фило. — Мы ведь ищем точку на плоскости. Стало быть, хватит с нас и двух координат.

— Прекрасно! — неожиданно похвалил Мате. — Раз вы уразумели это, значит, запросто поймете, как строятся графики уравнений. Итак, вычертим оси координат, иначе говоря — две взаимно перпендикулярные прямые. Одну из них — горизонтальную — назовем осью иксов, другую — вертикальную — осью игреков. Точку их пересечения обозначим буквой О. Начнем с уравнения параболы…

— Игрек равняется иксу в квадрате, — сейчас же припомнил Фило.

— Вот именно. В чем особенность этого уравнения? А в том, что, каким бы ни было числовое значение икса, игрек всегда будет равен квадрату этого числа. Допустим, икс равен нулю. Тогда игрек равен…

— …тоже нулю.

— Правильно. Вот и найдем эту точку на плоскости.

— А ее искать нечего: вот она! — Фило ткнул пальцем в точку О.

— Совершенно верно. Иначе, точка с координатами ноль — ноль совпадает с началом координат. Пошли дальше. Допустим, что икс равен единице. Тогда игрек тоже равен единице, так ведь? Найдем точку с координатами единица — единица. Для этого отложим сперва единицу на оси иксов вправо от точки О…

— В каких единицах длины?

— В каких угодно. Но лучше все-таки не в километрах.

— Тогда в сантиметрах?

— Прекрасно. Итак, вправо от точки О по оси иксов откладываем один сантиметр. Из конца этого отрезка восстанавливаем перпендикуляр также длиной в один сантиметр. Конец этого перпендикуляра и есть искомая точка с координатами один — один. Допустим теперь, что значение икс не единица, а двойка. Тогда игрек равен…

— Четырем!

— Браво! После этого гениального заявления вам остается лишь найти точку с координатами два — четыре самостоятельно.

Фило отложил два сантиметра от точки О по оси иксов, восстановил из конца этого отрезка перпендикуляр, равный четырем сантиметрам, и посмотрел на Мате победоносно, как актер, ожидающий бурных оваций. Но оваций не последовало. Мате сухо потребовал, чтобы Фило нашел точку при х = 3, потом х = 4, и отвязался от него только тогда, когда места на листке уже не осталось.

— Ну, вот, — процедил он, окинув чертеж критическим оком. — Мы получили несколько точек, удовлетворяющих уравнению у = х2. Все они лежат на нашей параболе. Стало быть, остается соединить их плавной кривой — и график уравнения, то бишь парабола, перед нами.

Фило недовольно осмотрел вычерченную Мате линию.

— Позвольте, — сказал он, — какая же это парабола? Помнится, там, на базаре, вы показали мне кривую вроде рогатки…

— А тут половина рогатки.

— Где же вторая половина?

— По левую сторону оси игреков, где координаты х отрицательны. А так как отрицательное число, возведенное в квадрат, становится положительным, значит, игрек тоже будет у нас всегда числом положительным. Вот и выходит, что координаты игрек и справа и слева от вертикальной оси совершенно одинаковы. А раз так, значит, левая часть параболы симметрична правой. Дорисуем ее, если хотите, — и целая рогатка в вашем распоряжении. А теперь, когда с параболой покончено, тем же способом вычертим гиперболу: ху = 2.

Фило почесал в затылке. Сразу видно, тут придется попотеть!

— Почему вы думаете? — осведомился Мате.

— Так ведь в первом уравнении икс и игрек были по разные стороны равенства, а тут в общей куче…

— Раз это вас смущает, отделим их друг от друга. Нетрудно выяснить, что у = 2/х. Заменим первое уравнение вторым — и дело с концом.

— Ага! — кивнул Фило. — Тогда начнем, как полагается, с х = 0…

— Стоп! Как известно, деление на нуль запрещено. Так что начнем с х = 1. Тогда у = 2/1, или попросту двум…

— Значит, находим точку с координатами один — два, — подхватил Фило, орудуя карандашом.

— Дальше.

— Дальше нахожу точку при х = 2. Игрек при этом равен единице. При х = 3 игрек равен двум третям… Постойте, как же так? — Фило запнулся. — Выходит, чем больше икс, тем меньше игрек?

— Правильно подмечено. Чем больше икс, тем меньше игрек, и обратно: чем меньше будет становиться икс, стремясь к нулю, тем больше будет игрек, стремясь к бесконечности.

А теперь соединим, наконец, найденные нами точки одной линией — и гипербола готова.

— К тому же не наполовину, а целиком. Точь-в-точь как та, что вы нарисовали в Исфахане.

— Должен вас огорчить. То, что я нарисовал в Исфахане, полной гиперболой не было, как не был полной конической поверхностью и тот бумажный фунтик, который мы с вами рассекали воображаемыми плоскостями. Потому что полная коническая поверхность состоит не из одного, а из двух одинаковых фунтиков, соприкасающихся вершинами. И стало быть, в каждом из этих фунтиков образуется только одна ветвь гиперболы, в то время как полная гипербола состоит из двух ветвей.

— Значит, на чертеже должна быть еще одна ветвь.

— Ее нетрудно получить, придавая иксам отрицательные значения. Только, в отличие от параболы, игрек при этом тоже будет принимать отрицательные значения.

— Так, так, так, — озабоченно пробормотал Фило. — Икс отрицательный. Значит, откладывать его следует по оси иксов влево. Но вот вопрос: на какой оси откладывать отрицательные игреки?

— Это уж пустяки. Положительные игреки расположены вверх по оси иксов, стало быть, отрицательные…

— Вниз! — сообразил Фило и принялся откладывать отрицательные координаты точек: -1, -2, -2, -1, -3, -2/3, и, наконец -1/2, -4. — Теперь, — сказал он, любуясь своей работой, — объединим все это хозяйство общей линией, и вторая ветвь гиперболы налицо. Ура, ура и в третий раз ура! Остается выяснить главное: для чего все это делалось?

— Для того чтобы понять, каким образом Менехм решал задачу об удвоении куба, — пояснил Мате. — А решал он ее так: изображал обе кривые на одном чертеже и рассматривал при этом только ту часть