Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел - Antonio Lizana

Из публикаций Гаусса по геодезии особенно выделяются две, Bestimmung des Breitenunterschieds zwischen den Stemwarten von Gotinga und Altona durch Beobachtungen am Ramsdenschen Zenithsektor («Определение разности широт между обсерваториями Гёттингена и Альтона из наблюдений с зенитным сектором Рамсдена») 1828 года и Untersuchungen йЬег Gegenstande der Hoheren Geodasie I и II («Исследование по вопросам высшей геодезии I и II»), опубликованные в 1843 и 1846 годах соответственно. Оба труда оказали огромное влияние на последующее развитие геодезии. В этих работах, представляющих интерес только для специалистов, Гаусс изучает случай перехода от части сферы к плоскости, используя сферическую тригонометрию. Сферическая тригонометрия — это адаптация тригонометрии плоскости к сферическим поверхностям. Она необходима, поскольку применение традиционных тригонометрических формул для плоских треугольников невозможно для сферических треугольников. К примеру, для них не выполняется базовый закон о равенстве суммы углов треугольника 180°. Сумма углов сферического треугольника, показанного на рисунке, равна 270°.

Сферический треугольник. Три его угла прямые, то ест в сумме дают 270°.

В этих двух работах Гаусс также выделил место для треугольников на поверхности эллипсоида — более общий случай по сравнению со сферой. Хорошим примером эллипсоида может быть мяч для регби. Чтобы облегчить вычисления, Гаусс привел таблицы, в которых решались уравнения для частных случаев.

В результате работ в области геодезии к Гауссу вернулся интерес к геометрии, которая уже была объектом его исследований в годы учебы. Гаусса называют одним из отцов неевклидовой геометрии и дифференциальной геометрии.

Со времен Евклида считалось, что этот гениальный математик в своей работе «Начала» определил всю геометрию, которая только может быть, и что выйти за пределы его постулатов сравнимо с ересью.

Евклид сформулировал свою геометрию на основе нескольких постулатов, которые считал аксиомами. В математике аксиомы — это очевидные истины, не требующие доказательства. Евклид определил пять постулатов.

1. Через две точки можно провести одну и только одну прямую, соединяющую их.

2. Каждый отрезок может быть бесконечно продолжен в любом направлении.

3. Можно провести любую окружность с центром в любой точке и с любым радиусом.

4. Все прямые углы подобны, то есть имеют одинаковый размер и совпадают, если их наложить друг на друга перемещением.

5. Через точку, не принадлежащую прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

На самом деле, Евклид должен был бы включить еще два постулата, которыми он пользуется в своих доказательствах:

— две окружности, центры которых разделены расстоянием меньше суммы радиусов, пересекаются в двух точках (Евклид пользуется им в своем первом построении);

— два треугольника с двумя равными сторонами и равными соответственными углами подобны, то есть имеют равные углы и стороны и, следовательно, имеют одну и ту же форму и размер.

Евклид (325-265 до н.э.) — греческий математик и геометр, известный как отец геометрии. О его жизни мы знаем крайне мало, кроме того, что он жил в Александрии во время правления Птолемея I. Его работа «Начала» — одна из самых известных научных работ в мире и, после Библии, наиболее часто издаваемая и переводимая. В нее входят сведения, которые Евклид распространял в Александрийской библиотеке, и это все геометрическое знание того времени. В «Началах» в строгом виде, на основе исключительно пяти постулатов, рассказывается о свойствах линий и плоскостей, кругов и сфер, треугольников и конусов, и так далее, то есть правильных форм. Возможно, ни один из результатов в «Началах» не был впервые доказан Евклидом, но именно он организовал материал и систематизированно изложил его. Самые известные доказательства Евклида соответствуют следующим теоремам:

— сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°;

— в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (знаменитая теорема Пифагора).

Страница «Начал» Евклида из так называемого Манускрипта d’Orville, написанного на греческом языке в Константинополе в 888 году, который хранится в Бодлианской библиотеке Оксфордского университета.

Евклидова геометрия не только стала мощным инструментом дедуктивного рассуждения, но и оказалась чрезвычайно полезной во многих отраслях знания, например в физике, астрономии, химии и инженерных областях. В работу Евклида изменения не вносились вплоть до XIX века, пока Гаусс не сформулировал несколько видов неевклидовой геометрии, исключив ее пятый постулат.

Евклид предположил, что все постулаты очевидны и не требуют доказательства. Это не подвергалось сомнению до такой степени, что Кант в своей «Критике чистого разума» утверждал: понятия Евклида являются существенным компонентом нашего видения мира. Однако оказалось, что последний постулат в некотором роде независим и что можно отрицать его, не войдя в противоречие с предыдущими. Идея в том, чтобы по-новому определить параллельные линии, перенеся это понятие в иные, отличные от плоскости, пространства.

Начиная с 1813 года Гаусс разрабатывал геометрию, в которой отрицался последний постулат Евклида. Ученый при этом развивал идеи, которые появились у него в последние годы обучения в Коллегии Карла в разговорах с Вольфгангом Бойяи. В 1816 году Гаусс сообщил эти идеи в письме Шумахеру, своему другу и преподавателю астрономии, но, как всегда, ничего не опубликовал на эту тему. Впрочем, причиной на этот раз могло быть не только желание найти как можно более точное доказательство. Все, что касалось обсуждения постулатов Евклида, стало бы объектом ожесточенных споров, а Гауссу не нравилось участвовать в дискуссиях такого рода, которые казались ему скорее философскими.

Когда в 1831 году Янош Бойяи (1802-1860), сын Вольфганга, изложил ему свои идеи о неевклидовой геометрии, Гаусс ответил ему так: «Я не могу хвалить Вашу работу, поскольку, сделав это, я бы хвалил самого себя, так как идеи, которые Вы мне излагаете, совпадают с идеями, которые я разработал 30-35 лет назад». Однако Гаусс признал Яноша Бойяи и Николая Лобачевского, другого создателя неевклидовой геометрии, гениями первой величины. Он даже выучил русский язык, чтобы иметь возможность читать работы Лобачевского в оригинале. Кроме того, математик добился, чтобы в 1842 году русского ученого признали членом Гёттингенской академии.

Сегодня Гаусса, Лобачевского и Яноша Бойяи считают создателями неевклидовой геометрии. Сейчас, помимо евклидовой, известны гиперболическая и эллиптическая геометрии, зависящие от типа кривизны (положительной или отрицательной).

Неевклидовой называется любой вид геометрии, постулаты и свойства которой отличаются от пяти постулатов Евклида.

Существует много типов неевклидовой геометрии, хотя если свести дискуссию к гомогенным пространствам, в которых кривизна пространства одна и та же в каждой точке и в которых все его точки неразличимы, можно выделить три типа геометрий:

— евклидова геометрия — удовлетворяет пяти постулатам Евклида и имеет нулевую кривизну;

— гиперболическая геометрия — удовлетворяет только первым четырем постулатам Евклида и имеет отрицательную кривизну. В этой геометрии через каждую точку, не лежащую на прямой, проходит бесконечное количество прямых, параллельных данной;

— эллиптическая геометрия — также удовлетворяет первым четырем постулатам Евклида и имеет положительную кривизну. Что касается пятого постулата Евклида, в этой геометрии через каждую точку, не лежащую на прямой, не проходит ни одной прямой, параллельной данной (вспомним, что в евклидовой геометрии проходит только одна параллельная прямая). Это случай меридианов Земли, которые в сферической геометрии (частный случай эллиптической) считаются параллельными. На рисунке изображены прямые в различных пространствах.

Гиперболическое пространство

Евклидово пространство

Эллиптическое пространство

В качестве примера, подтверждающего важность вклада великого немецкого математика в геометрию, можно привести тот факт, что Бернхард Риман, самый выдающийся ученик Гаусса, по его просьбе посвятил свою докторскую диссертацию обобщению неевклидовой геометрии.

Хотя Гаусс не публиковал работ по неевклидовой геометрии, это не означает, что он вообще не занимался геометрическими проблемами. В 1827 году ученый представил фундаментальную работу о дифференциальной геометрии, использовавшую элементы математического анализа. Книга, озаглавленная Disquisitiones generales circa superficies curvas («Общие исследования о кривых поверхностях»), представляет собой вклад Гаусса в дифференциальную геометрию. В этой работе ученый создал дифференциальную геометрию поверхностей, которая в последующие десятилетия была дополнена работами многих математиков. Основная проблема здесь — это отражение на плоской карте геометрии других типов поверхностей. В самых простых случаях (при постоянной кривизне) появляются гомогенные геометрии: евклидова, эллиптическая и гиперболическая (именно ее разработали Бойяи и Лобачевский). Гаусс пошел намного дальше этих гомогенных пространств и ввел то, что сегодня называется кривизной Гаусса, — обобщение для поверхностей определенной кривизны на плоскости.