Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике - Луис Арталь

PNT (z <= 1) = 0,8413; PNT (z <= 2) = 0,9972; PNT (z <= 3) =0,9987.

Глава 6. Математика на бирже

Существует два экономических мира: сфера производства товаров и услуг, измеряющихся с помощью денег — этот сектор можно назвать реальным сектором экономики, и совершенно иная сфера, в которой обращаются только деньги — этот сектор называется финансовым сектором экономики. К последнему относятся финансовые рынки, которые различаются в зависимости от торгуемых на них ценных бумаг: валютные рынки, денежные (межбанковские) рынки, рынки производных финансовых инструментов и т. д. Сюда же относятся биржи ценных бумаг (или рынки капитала), где продаются и покупаются финансовые активы, то есть акции, облигации и т. д.

Биржи образуют организованный рынок с утвержденными правилами, и стать его участниками могут не все компании. Традиционно сделки совершались так: собравшись вместе в оговоренный час, участники рынка (биржевые агенты) совершали операции со всеми видами ценных бумаг. Там же брокеры заключали договоры с покупателями и продавцами ценных бумаг, те передавали брокерам указания относительно покупки и продажи, и все сделки заключались на словах.

В зависимости от полученных указаний сделки заключались на аукционах: брокер выкрикивал число продаваемых акций и начальную цену, а другой брокер, получивший от клиента указание покупать, выкрикивал количество акций и цену, которую он был готов заплатить. Если цены покупки и продажи совпадали, заключалась сделка (вновь на словах), и таким образом формировался курс (стоимость) акций. Финальные котировки обычно отличались от исходной стоимости акций: если на продажу было выставлено больше ценных бумаг, чем покупатели были готовы приобрести, курс акций снижался, и напротив, если покупатели были готовы купить больше акций, чем предлагали продавцы, котировки росли.

Две фотографии Нью-Йоркской биржи: на фотографии вверху — биржа в эпоху, когда все сделки заключались на словах, на фотографии внизу — современная биржа, где правят компьютеры.

В настоящее время все рынки ценных бумаг представляют собой единое целое: участники рынка и посредники (брокеры) в реальном времени подключены к биржам с помощью электронных средств связи.

Виды рынков ценных бумаг в разных странах отличаются, так как каждая биржа имеет особую организацию и собственные правила проведения торгов. Первичным рынком ценных бумаг называется рынок, где происходит первичное размещение акций (ценных бумаг с переменным доходом) и облигаций (ценных бумаг с фиксированным доходом). Вторичным рынком называется рынок, где торгуются уже выпущенные ценные бумаги — их покупают и перепродают инвесторы.

На финансовых рынках торгуется множество разных ценных бумаг. Помимо ценных бумаг с переменным доходом (акций) и частных и государственных ценных бумаг с фиксированным доходом (облигаций, векселей, казначейских векселей и т. д.), существуют и другие финансовые инструменты: варранты, инвестиционные паи, опционы, фьючерсы и т. д. Финансовые инструменты выставляются на рынке по номинальной цене, после чего их котировки изменяются в зависимости от ситуации на рынке.

Опционы — это ценные бумаги, дающие право на приобретение определенного количества акций по определенной цене в течение указанного промежутка времени.

Выделяют опционы на покупку (call-опционы), дающие право приобрести в будущем определенную ценную бумагу, и опционы на продажу (put-опционы), которые дают право продать определенную ценную бумагу в указанный период времени. Европейские опционы могут быть погашены только в указанную дату, а американские — в любой день до истечения указанного срока.

Для оценки изменений котировок используются биржевые индексы. Они составляются на основе изменений курсов ценных бумаг по основанию 100 (иногда в качестве основания выбирается 1000 или другое число). Так, для ценной бумаги Vi, ее стоимость PiVi в момент времени t сравнивается с котировкой в момент времени 0, P0Vi, и рассчитывается изменение курса относительно момента времени 0 с помощью индекса Iit, в котором моменту времени 0 соответствует базисное значение 100:

Индекс ценной бумаги Vi в момент времени t: = (PtVi/P0Vi)∙100

Так рассчитывается индекс одной ценной бумаги. Для нескольких ценных бумаг можно вычислить простое среднее значение цен в момент времени t и сопоставить его со средним значением цен в момент 0, которое будет служить базовым значением индекса. Однако чаще вычисляются средневзвешенные значения, то есть индекс каждой ценной бумаги умножается на ее относительный вес на множестве ценных бумаг, для которых рассчитывается индекс. При определении весов используются различные критерии, например рыночная капитализация (рыночная стоимость всех акций компании в момент их выпуска на биржу) или объем биржевых торгов.

В этом случае общий индекс для n ценных бумаг будет рассчитываться как взвешенная сумма индексов для каждой ценной бумаги, при этом вес каждой ценной бумаги i будет равен М:

Общий индекс = I = Σni=1 Ii∙Mi

Для расчета биржевых индексов используются индексы различных типов. Чаще всего применяется индекс Ласпейреса, однако на некоторых биржах применяются индексы Пааше и индексы Фишера. Простые средние значения практически не используются. На каждой бирже формируются собственные индексы, рассчитываемые по разным формулам. Так, в США рассчитываются индексы Доу-Джонса и Nasdaq, в Токио — Nikkei, на Франкфуртской фондовой бирже — DAX, на Парижской фондовой бирже — САС 40, в Риме — MIB 30, в Брюсселе — BEL 20, в Мадриде — Ibex 35, в Лондоне — Financial Times-SE 100 и т. д. Индексы рассчитываются на основе изменений котировок акций, при этом веса индексов на разных биржах определяются в зависимости от величины рыночной капитализации или объема биржевых торгов.

Когда курс ценных бумаг, используемый при расчете, изменяется ввиду выплаты дивидендов или подписки на акции, то соответствующий индекс корректируется.

Так, если на курс ценной бумаги Vi  влияет выплата дивидендов d, то сумма дивидендов вычитается из курса акции Vi, и скорректированный индекс будет рассчитываться по формуле

Скорректированный индекс Vi в момент времени t: Iit = ((PtVi - d)/P0Vi)∙100

Существует множество ценных бумаг: ценные бумаги, выпущенные частными компаниями (акции, облигации, инвестиционные паи, векселя) или государством (государственные облигации, казначейские облигации и т. д.), имеющие фиксированный (с фиксированной процентной ставкой) или переменный доход (в этом случае по ценным бумагам выплачиваются дивиденды, зависящие от прибыли компании и решений руководства о выплате дивидендов), варранты и т. д.

Операции, которые могут выполняться с ценными бумагами на бирже, также очень отличаются. Это могут быть наличные сделки (выполняются в тот же день), кредитные сделки (как покупки в кредит на заемные средства, так и продажи в кредит), форвардные сделки (заключаемые в указанный срок) или сделки с опционами, когда покупатель или продавец обязуется купить или продать определенные активы на определенных выгодных условиях (с премией).

Активы, право на покупку или продажу которых дает опцион, называются базовыми. В качестве базового актива могут выступать биржевые индексы, акции, товары (золото, нефть, сырье), процентные ставки, валюты и прочее. Сделки с блокирующими пакетами акций выполняются за пределами рынка: покупатель и продавец договариваются о продаже определенного числа ценных бумаг по указанной цене, которая необязательно совпадает с текущим курсом. В таких случаях обычно количество ценных бумаг слишком велико, чтобы заключать сделку на рынке, поскольку она вызовет значительные изменения котировок этой ценной бумаги.

Также существуют фьючерсные сделки — в этом случае стороны обязуются купить или продать определенные финансовые активы в оговоренную дату в будущем.

Фьючерсы отличаются от опционов тем, что опционы не накладывают обязательств на покупку или продажу актива в указанный срок — эти действия осуществляются добровольно в течение всего периода действия контракта. При заключении же фьючерсной сделки одна из сторон берет на себя обязательство купить или продать указанный актив в установленный срок. Цель фьючерсных сделок — застраховаться от падения рынка, установив цену базового актива на определенном уровне. В этом случае продавец потеряет деньги, если котировка базового актива начнет расти.