Загадки и диковинки в мире чисел - Яков Перельман

Чтобы представить себе наглядно чрезвычайную малость атомов, обратимся к такой картине. Вообразите, что все предметы на земном шаре увеличились в миллион раз. Эйфелева башня (300 метров высоты) уходила бы тогда своей верхушкой на 300000 километров в мировое пространство и находилась бы в недалеком соседстве от орбиты Луны. Люди были бы высотой с большую гору версты в 1У2; один шаг такого человека-гиганта унес бы его на 600–700 верст. Мельчайшие красные тельца, миллиардами плавающие в его крови, имели бы каждый более 3 сажен (7 метров) и поперечнике. Волос имел бы сажен 50 в толщину. Мышь достигала бы 100 верст в длину, муха – 8 верст. Каких же размеров будет при таком чудовищном увеличении атом вещества?

Положительно не верится: его размеры предстанут перед вами в виде… типографской точки шрифта этой книги!

Достигаем ли мы здесь крайних пределов пространственной малости, за которые не приходится переступать даже физику с его изощренными приемами измерений? Еще не особенно давно думали так; но теперь известно, что атом – целый мир, состоящий из гораздо более мелких частей и являющийся ареною действия могущественных сил. Атом, например, водорода состоит из центрального ядра и быстро обращающегося вокруг него электрона. Не входя в другие подробности, расскажем только о размерах этих составных частей атома. Поперечник электрона измеряется биллионными долями миллиметра, а ядро – тысяче-биллионными долями. Другими словами, поперечник электрона почти в миллион раз, а ядро – в миллиард раз меньше поперечника атома. Если вы пожелаете сравнить размеры электрона с размерами пылинки, то расчет покажет вам, что электрон меньше пылинки примерно во столько же раз, во сколько раз пылинка меньше – чего бы вы думали? Земного шара!

Вы видите, что атом, лилипут из лилипутов, является в то же время настоящим исполином по сравнению с электроном, входящим в его состав, – таким же, каким вся солнечная система является по отношению к земному шару.

Можно составить следующий поучительный ряд, в котором каждый член является исполином по отношению к предыдущему члену и лилипутом по отношению к последующему:

электрон,

атом,

пылинка,

дом,

земной шар,

солнечная система,

расстояние до Полярной звезды.

Каждый член этого ряда примерно в четверть миллиона раз [46] больше предыдущего и во столько же раз меньше последующего. Ничто не доказывает так красноречиво всю относительность понятий «большой» и «малый», как эта табличка. В природе нет безусловно большого или безусловно малого предмета. Каждая вещь может быть названа и подавляюще огромной и исчезающе малой, в зависимости от того, как на нее взглянуть, с чем ее сравнить. «Время и пространство – закончим мы словами одного английского физика [47] – понятия чисто относительные. Если бы сегодня в полночь все предметы – в том числе и мы сами и наши измерительные приборы – уменьшились в 1000 раз, мы совершенно не заметили бы этого изменения. Не было бы никакого указания на то, что произошло такое уменьшение. Точно так же, если бы все события и все часы получили ускорение хода в одинаковом отношении, то мы, равным образом, ничего не подозревали бы об этой перемене».

Сверхисполин и сверхлилипут

Наши беседы о великанах и карликах из мира чисел были бы не полны, если бы мы не рассказали читателю об одной изумительной диковинке этого рода, – диковинке, правда, не новой, но стоящей дюжины новинок. Чтобы подойти к ней, начнем с следующей, на вид весьма простенькой задачи:

Какое самое большое число можно написать тремя цифрами?

Хочется ответить: 999, – но, вероятно, вы уже подозреваете, что ответ другой, иначе задача была бы чересчур проста. И действительно, правильный ответ пишется так:

Выражение это означает: «девять в степени девять в девятой степени». Другими словами: нужно составить произведение из стольких девяток, сколько единиц в результате умножения:

9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9.

Достаточно только начать вычисление, чтобы ощутить огромность предстоящего результата. Если у вас хватит терпения выполнить перемножение девяти девяток, вы получите число:

387420489.

Главная работа только начинается: теперь нужно найти 9387420489, т. е. произведение 387420489 девяток. Придется сделать круглым счетом 400 миллионов умножений… У вас, конечно, не будет времени довести до конца подобное вычисление. Но я лишен возможности сообщить вам готовый результат – по трем причинам, которые нельзя не признать весьма уважительными. Во-первых, число это никогда и никем еще не было вычислено (известен только приближенный результат). Во-вторых, если бы даже оно и было вычислено, то, чтобы напечатать его, понадобилось бы не менее тысячи таких книг, как эта, потому что число наше состоит из 369 693 100 цифр; набранное обыкновенным шрифтом, оно имело бы в длину 1000 верст… Наконец, если бы меня снабдили достаточным количеством бумаги, я и тогда не мог бы удовлетворить вашего любопытства; вы легко можете сообразить почему. В самом деле, если я способен писать без перерыва по две цифры в секунду, то в час я напишу 7200 цифр, а в сутки, работая непрерывно день и ночь, – не более 172800 цифр. Отсюда следует, что, не отрываясь ни на секунду от пера, трудясь круглые сутки изо дня в день без праздников, я просидел бы за работой не менее 7 лет, прежде чем написал бы это число…

Вы видите, что уже число цифр нашего результата невообразимо огромно. Как же велико само число, выражаемое этим тысячеверстным рядом цифр? Трудно дать хотя бы приблизительное представление о его громадности, потому что такого множества отдельных вещей – считая даже каждый электрон за отдельную вещь – нет в целой вселенной!

Архимед вычислил некогда, сколько песчинок заключал бы в себе мир, если бы весь он, до неподвижных звезд, был наполнен тончайшим песком. У него получился результат, не превышающий единицы с 63 нулями. Наше число состоит не из 64, а из 370 миллионов цифр – следовательно, оно неизмеримо превышает огромное число Архимеда.

Поступим же по примеру Архимеда, но вместо «исчисления песчинок» произведем «исчисление электронов». Вы уже знаете, что электрон меньше песчинки примерно во столько же раз, во сколько раз песчинка меньше земного шара. Для размеров вселенной возьмем наибольшую предельную величину, допускаемую для нее современной наукой. Именно, есть основание думать, что поперечник вселенной не может превышать расстояния, пробегаемого световым лучом в миллиард лет (в секунду свет проходит 300000 километров). Представим себе теперь, что вся таких размеров вселенная сплошь заполнена плотнейшим металлом – платиной, каждый атом которой заключает 78 электронов. Сколько электронов помещалось бы тогда во вселенной? Расчет дает результат, состоящий «всего только» из 100 цифр. Сколько же понадобилось бы «платиновых вселенных», чтобы вместить

 электронов? Столько, сколько единиц в числе, состоящем примерно из 369693 цифр… Вы видите, что, наполняя весь мир – величайшее, что мы знаем – электронами, т. е. мельчайшим из того, что нам известно, – мы не исчерпали бы и небольшой доли того исполинского числа, которое скромно скрывается под изображением:

Познакомившись с этим замаскированным гигантом, обратимся к его противоположности. Если бы вас спросили, какое самое маленькое число можно написать тремя цифрами, вы теперь не удовлетворились бы ответом вроде

а написали бы, вероятно, что-нибудь вроде

Это, действительно, весьма малое число, потому что оно равно

Однако скромное вторжение в область алгебры даст вам средство написать гораздо меньшее число, именно

Это означает:

Другими словами, мы имеем здесь уже знакомое нам огромное число, но только в знаменателе. Сверхвеликан превратился в сверхлилипута…

Глава XI Арифметические путешествия

Ваше кругосветное путешествие

Лет пятнадцать назад я занимался в редакции одного распространенного петроградского журнала, где состоял секретарем, когда мне подали визитную карточку посетителя. Я прочел на ней незнакомое мне имя и совершенно необычайное обозначение профессии или звания: «Первый русский кругосветный путешественник пешком». По обязанностям службы мне не раз доводилось видеть русских путешественников по всем частям света и даже кругосветных, – но о «кругосветном путешественнике пешком» я никогда еще не слыхал. С любопытством поспешил я в приемную, чтобы познакомиться с этим предприимчивым и неутомимым человеком.

Замечательный путешественник был молод и имел очень скромный вид. На вопрос, когда успел он совершить свое необыкновенное путешествие, «первый русский кругосветный и т. д.» объяснил мне, что оно теперь именно и совершается. Маршрут? Шувалово [48] – Петроград; о дальнейшем он желал посоветоваться со мною… Из разговора выяснилось, что планы «первого русского и т. д.» довольно смутны, но во всяком случае не предусматривают оставления пределов России.