Загадки и диковинки в мире чисел - Яков Перельман

Что же нам делать? Если бы мы пожелали поместить в ящике весь животный мир – всех лошадей, быков, ослов, мулов, баранов, верблюдов, на них наложить всех птиц, рыб, змей, все, что летает и ползет, – то и тогда мы не наполнили бы ящика доверху без помощи скал и камней.

Ящик же наш занимает объем всего лишь в одну кубическую милю. Право, можно питать к ней некоторое почтение!

Возможно ли, чтобы кубическая миля была так велика? Неужели ящик в милю длины, ширины и высоты нечем наполнить? Неужели нельзя придумать машины, которая наготовила бы достаточно материала для его заполнения?

Сделаем пробу. Соорудим кирпичный завод и устроим такую машину, которая каждую секунду приготовляет один готовый кирпич в форме куба с ребром в 1 фут. Устроим ее так, чтобы работа шла днем и ночью без перерыва и каждый сделанный кирпич сам укладывался бы в ящик.

Итак, машина пущена. Глаз едва в состоянии следить за работой. Подождем: вероятно, машина скоро окончит свое дело.

Действительно, скоро… Мы можем в точности вычислить это. Ежесекундно машина укладывает один кирпич, в минуту – 60, в час – 3600, в сутки – 86400, в год – около 31 миллиона.

Но сколько подобных кирпичей нужно для заполнения ящика? Квадрат со стороною в 7 верст, или 24500 футов, заключает круглым счетом 600 миллионов квадратных футов. Нужно 600 миллионов кирпичей, чтобы выложить первый слой. А так как фабрика изготовляет ежегодно всего 31 миллион кирпичей, то ясно, что для покрытия только дна ящика нужно около 20 лет.

Ящик же имеет в вышину милю; это значит, что для заполнения его нужно 24500 таких слоев, какие заполняют дно. Сделав умножение, убедимся, что машина наша вовсе не так скоро окончит свою работу, как нам казалось. Она должна день и ночь работать без малого полмиллиона лет, чтобы исполнить свою задачу…

Такова кубическая миля. А из земного шара можно сделать 660 миллионов подобных ящиков! При всем почтении к кубической миле, к земному шару приходится питать еще большее уважение».

Теперь, когда неимоверная огромность кубической мили (около 350 куб. километров) стала до некоторой степени ощущаться читателем, мы прибавим, что целая кубическая миля пшеничных зерен насчитывала бы их «всего» несколько триллионов.

Весьма внушительную вместимость имеет и кубический километр. Нетрудно подсчитать, например, что ящик таких размеров мог бы вместить 5000 биллионов спичек, вплотную уложенных; для изготовления такого количества спичек фабрика, выпускающая миллион спичек в сутки, должна была бы работать 14 миллионов лет; а чтобы такое число спичек доставить, потребовалось бы 10 миллионов вагонов – поезд длиною в 100000 километров, т. е. в 21/2 раза длиннее земного экватора. И все-таки в целом кубическом километре воды содержится не более одного триллиона мельчайших капель (считая объем капли 1 куб. миллиметр), – в миллион раз меньше квадриллиона.

Исполинские размеры триллиона и квадриллиона, после сказанного о кубических миле и километре, еще более вырастают в нашем сознании.

Глава X Числовые лилипуты

Гулливер в своих странствованиях, покинув карликов-лилипутов, очутился среди великанов. Мы путешествуем в обратном порядке: познакомившись с числовыми исполинами, переходим к миру лилипутов – к числам, которые во столько же раз меньше единицы, во сколько единица меньше числового исполина.

Разыскать представителей этого мира не составляет никакого труда: для этого достаточно написать ряд чисел, обратных миллиону, миллиарду, биллиону и т. д., т. е. делить единицу на эти числа. Получающиеся дроби

есть типичные числовые лилипуты, во столько же раз меньшие единицы, во сколько раз единица меньше миллиона, миллиарда, биллиона и прочих числовых исполинов.

Вы видите, что каждому числу-исполину соответствует число-лилипут, и что, следовательно, числовых лилипутов существует не меньше, чем исполинов. Для них также придуман сокращенный способ обозначения. Мы уже упоминали, что весьма большие числа в научных сочинениях (по астрономии, физике) обозначаются так:

1 000 000……………….106

10 000 000……………….107

Соответственно этому числовые лилипуты обозначаются следующим образом:

Есть ли, однако, реальная надобность в подобных дробях? Приходится ли когда-нибудь действительно иметь дело с столь мелкими долями единицы? Об этом интересно побеседовать подробнее.

Лилипуты времени

Секунда, по обычному представлению, есть настолько малый промежуток времени, что с мелкими частями секунды не приходится иметь дела ни при каких обстоятельствах. Что может случиться, например, в одну тысячную долю секунды? Легко написать: 1/1000 секунды, – но это чисто бумажная величина, потому что ничего не может произойти в такой ничтожный промежуток времени.

Так думают многие, – но ошибаются, потому что в тысячную долю секунды могут успеть совершиться весьма различные явления. Поезд, проходящий 36 километров в час, делает в секунду 10 метров, и следовательно, в течение 1000-й доли секунды успевает продвинутся на один сантиметр. Звук в воздухе переносится в течение 1000-й доли секунды на 33 сантиметра (около полуаршина), а пуля, покидающая ружейный ствол со скоростью 700–800 метров в секунду, переносится за тот же промежуток времени на целый аршин. Земной шар перемещается каждую 1000-ю долю секунды, в своем обращении вокруг Солнца, на 30 метров. Струна, издающая высокий тон, делает в 1000-ю долю секунды 2–4 и более полных колебаний; даже комар успевает в это время взмахнуть вверх или вниз своими крылышками. Молния длится гораздо меньше, чем 1000-я доля секунды, т. е. в течение этого промежутка времени успевает возникнуть и прекратиться крупное явление природы (молния простирается в длину на целые версты).

Но – возразите вы – 1000-я доля секунды еще не подлинный лилипут, как никто не назовет тысячу числовым гигантом. Если взять миллионную долю секунды, то уж наверное можно утверждать, что это – величина не реальная, промежуток времени, в течение которого ничего произойти не может. Ошибаетесь: даже и одна миллионная доля секунды – для современного физика, например, – вовсе не чрезмерно маленький промежуток. В области явлений световых (и электрических) физику сплошь и рядом приходится иметь дело с гораздо более мелкими частями секунды. Напомним прежде всего, что световой луч пробегает ежесекундно (в пустоте) 300000 километров; следовательно, в 1000000-ю долю секунды свет успевает перенестись на расстояние 300 метров – примерно на столько же, на сколько переносится в воздухе звук в течение целой секунды.

Далее: свет есть явление волнообразное, и число световых волн, проносящихся ежесекундно через точку пространства, исчисляется сотнями биллионов. Те световые волны, которые, действуя на наш глаз, вызывают ощущение красного света, имеют частоту колебаний 400 биллионов в секунду; это значит, что в течение одной 1000000-й доли секунды в наш глаз вступает 400 000 000 волн, а одна волна вступает в глаз в течение 400 000 000 000 000-й доли секунды. Вот подлинный числовой лилипут!

Но этот несомненный, реально существующий лилипут является истинным великаном по сравнению с еще более мелкими долями секунды, с которыми физик встречается при изучении рентгеновских лучей. Эти замечательные лучи, обладающие удивительным свойством проникать через многие непрозрачные тела, представляют собою, как и видимые лучи, также волнообразное явление, но частота колебаний у них значительно больше, чем у видимых: она достигает 25000 биллионов в секунду. Волны следуют тут одна за другой в 60 раз чаще, чем в лучах видимого красного света. Гулливер был выше лилипутов всего в дюжину раз и казался им великаном. Здесь же один лилипут больше другого в пять дюжин раз и, следовательно, имеет все права именоваться по отношению к нему исполином.

Лилипуты пространства

Интересно рассмотреть теперь, какие наименьшие расстояния приходится отмеривать и оценивать современным исследователям природы.

В метрической системе мер наименьшая единица длина для обиходного употребления – миллиметр; она примерно вдвое меньше толщины спички. Чтобы измерять предметы, видимые простым глазом, такая единица длины достаточно мелка. Но для измерения инфузорий, бактерий и других мелких объектов, различимых только в сильные микроскопы, миллиметр слишком крупен. Ученые обращаются для таких измерений к более мелкой единице – микрону, который в 1000 раз меньше миллиметра. Так называемые красные кровяные тельца, которые насчитываются десятками миллионов в каждой капельке нашей крови, имеют в длину 7 микронов и в толщину 2 микрона. Стопка из 1000 таких телец имеет толщину спички.

Как ни мелок кажется нам микрон, он все же оказывается чрезмерно крупным для расстояний, которые приходится измерять современному физику. Мельчайшие, недоступные даже микроскопу частицы, молекулы, из которых состоит вещество всех тел природы, и слагающие их еще более мелкие атомы имеют размеры от одной 10000-й до одной 1000-й доли микрона. Если остановиться на последней, наибольшей величине, то и тогда окажется, что миллион таких крупинок (а мы уже знаем, как велик миллион!), будучи расположены на одной прямой, вплотную друг к другу, заняли бы всего лишь один миллиметр.