Как же называется эта книга? - Рэймонд Смаллиан

По условию (3) я люблю и Диану, и Марцию, либо не люблю ни одну из них. Предположим, что я не люблю ни Диану, ни Марцию. Тогда по условию (1) я должен любить Сью. Значит, я люблю Сью, но не люблю Диану и не люблю Марцию, что противоречит высказыванию (2). Следовательно, не верно, что я не люблю ни Диану, ни Марцию. Значит, я люблю и Диану, и Марцию. Так как я люблю Диану, то по условию (4) я люблю и Сью. Итак, доказано, что я люблю всех трех девушек.

120. Я должен быть рыцарем. Если бы я был лжецом, то утверждения (1) и (2) были бы ложными. Предположим, что утверждение (2) ложно. Тогда я любил бы Линду, но я не любил бы Кати. Значит, Линду я любил бы, а это означает, что утверждение (1) было бы истинным. Поэтому невозможно, чтобы оба утверждения (1) и (2) были ложными. Следовательно, я не могу быть лжецом.

121. Сказать: «P ложно, если не Q» — то же самое, что сказать: «Если P, то Q». (Например, высказывание «Я не пойду в кино, если вы не пойдете со мной» эквивалентно высказыванию «Если я пойду в кино, то вы пойдете со мной».) Следовательно, «исправленный» вариант пословицы «Под приглядом котел не закипит, если за ним не приглядывать» эквивалентно утверждению «Если котел под приглядом закипит, то за ним приглядывают», а оно заведомо истинно, так как за котлом под приглядом, кипит он или не кипит, несомненно кто-то приглядывает.

122. Определить, кто такой A — рыцарь или лжец, невозможно. Однако сокровища должны быть на острове.

Для решения этой и других задач серии «Есть ли сокровища на этом острове?» установим раз и навсегда следующий основной принцип: если говорящий (либо рыцарь, либо лжец) высказывает утверждение «Я рыцарь в том и только в том случае, если P», то P должно быть истинным (независимо от того, кто такой говорящий — рыцарь или лжец).

Пусть K — утверждение о том, что говорящий — рыцарь. По словам говорящего, K эквивалентно P. Предположим, что говорящий действительно рыцарь. Тогда K действительно эквивалентно P, и K — истинно. Следовательно, P эквивалентно истинному утверждению. Значит, P должно быть истинно. С другой стороны, предположим, что говорящий — лжец. Тогда его утверждение ложно, поэтому P не эквивалентно K. Кроме того, так как он лжец, то утверждение K ложно. Поскольку P не эквивалентно ложному утверждению K, то P должно быть истинно (если бы P было эквивалентно K, то P было бы ложно). Итак, независимо от того, кто такой говорящий — рыцарь или лжец, P должно быть истинно.

Интересно сравнить новый принцип с принципом, установленным в решениях задач 109–112: если рыцарь или лжец высказывает утверждение «Если я рыцарь, то P», то мы можем заключить, что он рыцарь и что P истинно. Но если рыцарь или лжец высказывает утверждение «Я рыцарь в том и только в том случае, если P», то мы можем заключить, что P истинно, но у нас нет способа определить, рыцарь или лжец тот, кто высказал утверждение.

123. Да, могли бы: никаких сокровищ на острове нет.

Пусть G — утверждение о том, что на острове зарыты сокровища, а K — утверждение о том, что A — рыцарь. Отвечая на ваш вопрос отрицательно, A тем самым заявляет, что G не эквивалентно K. Предположим, что A — рыцарь. Тогда G действительно не эквивалентно K. Так как A — рыцарь, то K. истинно. Следовательно, G, поскольку оно не эквивалентно истинному утверждению K, должно быть ложным.

С другой стороны, предположим, что A — лжец. Тогда G в действительности эквивалентно K (поскольку лжец сказал, что G и K не эквивалентны). Но K — ложное утверждение (поскольку его высказал лжец). Следовательно, G должно быть ложным, как утверждение, эквивалентное ложному утверждению K. Таким образом, независимо от того, кто такой A — рыцарь или лжец, его отрицательный ответ на ваш вопрос означает, что утверждение G ложно. Следовательно, никаких сокровищ на острове нет.

Примечание. Из двух последних задач (122 и 123) следует один весьма важный принцип, хорошо известный знатокам и специалистам по «рыцарям и лжецам». Предположим, что P — любое высказывание, истинность или ложность которого вам требуется установить, и кому-то (он может быть либо рыцарем, либо лжецом) известно подлинное значение истинности высказывания P. Тогда, задав носителю знаний один-единственный вопрос, вы можете установить, истинно P или ложно. Достаточно спросить: «Эквивалентно ли высказывание „вы рыцарь“ высказыванию „P истинно“?» Получив утвердительный ответ, вы поймете, что P истинно. Получив отрицательный ответ, вы будете знать, что P ложно.

Тот же принцип используется и в решениях трех следующих задач. Мы будем называть его фундаментальным принципом.

124. Нам заранее известно, что на острове A нет никаких сокровищ, что сокровища зарыты либо на острове B, либо на острове C и что если на острове A есть хоть один нормальный житель, то сокровища зарыты и на острове B, и на острове C.

У выбранного наугад островитянина я спросил: «Эквивалентно ли утверждение, что вы рыцарь, утверждению, что сокровища зарыты на острове B?»

Предположим, что на мой вопрос островитянин ответил утвердительно. Если он либо рыцарь, либо лжец, то сокровища (в силу фундаментального принципа, установленного в решении предыдущей задачи) зарыты на острове B. Если же он нормальный человек, то сокровища зарыты на островах B и C, поэтому на острове сокровища заведомо имеются. Таким образом, утвердительный ответ на мой вопрос означает, что на острове B есть сокровища.

Предположим, что островитянин на мой вопрос ответил отрицательно. Если он рыцарь или лжец, то (в силу фундаментального принципа) сокровищ на острове B нет. Значит, сокровища должны быть на острове C. С другой стороны, если он нормальный человек, то сокровища зарыты и на острове B, и на острове C. Следовательно, на острове C зарыты сокровища. Таким образом, отрицательный ответ на мой вопрос означает, что на острове C есть сокровища.

125. Чтобы решить эту задачу, достаточно дважды воспользоваться фундаментальным принципом (объяснение его см. в решении задачи 123).

Один вопрос понадобится вам, чтобы установить, кто из трех островитян заведомо не нормальный человек. Обращаясь к A, вы спрашиваете его: «Эквивалентно ли утверждение, что вы рыцарь, утверждению, что B — нормальный человек?» Предположим, что A отвечает утвердительно. Если A либо рыцарь, либо лжец, то (в силу фундаментального принципа) B должен быть нормальным человеком. Значит, C — не нормальный человек. Если же A не рыцарь и не лжец, то он должен быть нормальным человеком, и тогда C снова не может быть нормальным человеком. Таким образом, утвердительный ответ на ваш вопрос означает, что C — не нормальный человек.

Предположим, что A отвечает отрицательно. Если он рыцарь или лжец, то B — не нормальный человек (в силу фундаментального принципа). Если же A — не рыцарь и не лжец, то B, как и в предыдущем случае, не может быть нормальным человеком, так как A — нормальный человек. Таким образом, отрицательный ответ на ваш вопрос означает, что B — не нормальный человек.

Итак, получив от A утвердительный ответ, вы обращаетесь со вторым вопросом к C. Если же на ваш первый вопрос A отвечает отрицательно, то со вторым вопросом вам надлежит обратиться к B. И в том и в другом случае вы знаете, что обращаетесь со вторым вопросом либо к рыцарю, либо к лжецу. Вы спрашиваете (тот же вопрос был задан вами островитянину A в задаче 122): «Эквивалентно ли утверждение, что вы рыцарь, утверждению, что на этом острове зарыты сокровища?» Утвердительный ответ означает, что на острове есть сокровища, отрицательный — что их нет.

126. Не будь у вас «на вооружении» фундаментального принципа, решить эту задачу было бы довольно трудно. Но фундаментальный принцип позволяет без труда «расправиться» с задачей. Я предполагаю, что вам известны следующие свойства целых чисел: сумма двух четных чисел четна, сумма двух нечетных чисел также четна. Следовательно, вычитая четное число из четного числа или нечетное число из нечетного числа, вы получаете четноечисло. (Например, 12-8=4, 13-7=6.)

Из высказанного C утверждения (в силу фундаментального принципа) следует, то A и B однотипны, то есть они либо оба рыцари, либо оба лжецы. Следовательно, их высказывания либо оба истинны, либо оба ложны. Предположим, что оба высказывания истинны. Тогда по утверждению A на острове имеется четное число лжецов. По утверждению B на острове (вместе с вами) находится нечетное число людей. Но вы не рыцарь и не лжец, и, кроме вас, других гостей на острове нет. Поэтому, вычитая четное число лжецов из четного числа рыцарей и лжецов, вы получаете четное число рыцарей. Следовательно, в данном случае сокровища зарыты где-то на острове. Предположим теперь, что оба утверждения ложны. Это означает, что на острове находится нечетное число лжецов и нечетное число рыцарей и лжецов (так как всего на острове вместе с вами находится четное число людей). Следовательно, число рыцарей снова должно быть четным, и сокровище, как и в предыдущем случае, должно быть зарыто где-то на острове.