Магия чисел. Ментальные вычисления в уме и другие математические фокусы - Майкл Шермер

Шаг 2. Вычитаем квадрат числа, найденного на шаге 1, из исходного числа и затем сносим еще две цифры. Так как 42 = 16, вычитаем 19–16 = 3. Сносим два нуля, получая 300 в качестве текущего остатка.

Шаг 3. Удваиваем существующее частное (игнорируя знаки после запятой) и оставляем после него пустое место. Здесь 4 х 2 = 8. Запишите 8_ х _ слева от текущего остатка (300 в данном случае).

Шаг 4. Следующая цифра частного будет наибольшим числом, которое может заполнить пропуски таким образом, чтобы результат умножения был меньше или равен текущему остатку. В данном случае это 3, поскольку 83 х 3 = 249, тогда как 84 х 4 = 336, что превышает остаток 300. Запишите это число в верхней строчке, где записываете ответ, над второй цифрой следующих двух чисел; в данном случае цифра 3 будет находиться над вторым нулем. Теперь имеем ответ в виде 4,3.

Шаг 5. Если вы хотите получить больше цифр в ответе, вычтите произведение из остатка (например, 300–249 = 51) и снесите следующие две цифры; в данном случае 51 превратится в 5100, что станет текущим остатком. Теперь повторите шаги 3 и 4.

Для получения третьей цифры квадратного корня удвойте частное, снова игнорируя все цифры после запятой: 43 х 2 = 86. Поместите 86_ х _ слева от 5100. Цифра 5 даст нам 865 х 5 = 4325, наибольшее произведение, которое меньше 5100.

Пятерка будет стоять в ответе сверху над следующими двумя числами, в данном случае над двумя нулями. Теперь ответ: 4,35. Для получения большего количества цифр после запятой повторите процедуру, как мы сделали в примере.

А вот пример нечетного количества цифр перед запятой.

Теперь вычислим квадратный корень из четырехзначного числа. В данном случае (как и с двузначными числами) учитываем первые две цифры примера для определения первой цифры квадратного корня.

Наконец, если число, из которого извлекается квадратный корень, имеет правильный (полный) квадрат, то узнать об этом можно, если в итоге получается нулевой остаток.

Например:

Для умножения с ручкой и бумагой я использую метод крестнакрест, который позволяет записать весь ответ целиком в одну строчку и нигде не фиксировать промежуточные результаты! Это одна из самых впечатляющих демонстраций магии чисел, когда в вашем распоряжении есть ручка и бумага. Многие вычислители из прошлого заработали себе репутацию «молниеносных» именно этим методом. Они получали два огромных числа и записывали ответ почти мгновенно. Методу крест-накрест лучше всего обучаться на примере.

Шаг 1. Сначала умножьте 4 х 7 и получите 28, запишите 8 и мысленно перенесите 2 на следующее вычисление.

Шаг 2. Сложите 2 + (4 х 4) + (3 х 7) = 39, запишите 9 и мысленно перенесите 3 на вычисления ниже.

Шаг 3. Закончите сложением 3 + (3 х 4) = 15 и запишите 15 для получения итогового ответа.

Вы только что записали ответ: 1598.

Решим другую задачу «2 на 2», используя метод крест-накрест.

Последовательность шагов и схемы вычислений представим следующим образом:

Ответ: 5395.

Метод крест-накрест немного усложняется в задачах типа «3 на 3».

Ответ: 649 986.

Обратите внимание, что количество умножений в каждом шаге составляет 1, 2, 3, 2 и 1 соответственно. Математика, лежащая в основе метода крест-накрест, не более чем распределительный закон. Например, 853 х 762 = (800 + 50 + 3) х (700 + 60 + 2) = (3 х 2) + [(5 х 2) + (6 х 3)] х 10 + [(8 х 2) + (7 х 3) + (5 х 6)] х 100 + [(8 х 6) + (7 х 5)] х 1000 + (8 х 7) х 10 000, что в точности соответствует вычислениям по методу крест-накрест.

Можно проверить ответ с помощью модульной суммы путем перемножения модульных сумм двух чисел и вычисления модульной суммы получившегося в итоге числа. Сравните его с модульной суммой ответа. Если ответ правильный, то две модульные суммы должны совпадать. Например,

Если модульные суммы не совпадают, вы допустили ошибку. Данный метод распознает ее в среднем в 8 случаях из 9.

Что касается примера «3 на 2», процедура аналогичная, за исключением того, что вы рассматриваете сотни второго числа как нули:

Ответ: 31 302.

Конечно, на практике, как правило, просто игнорируется умножение на нуль. Метод крест-накрест подойдет для решения задач с любым количеством цифр в числе. Например, для решения задачи «5 на 5», которая приводится ниже, потребуется девять шагов. Количество умножений на каждом шаге будет 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1 (в сумме 25).

Ответ: 2 231 184 483.

Вы можете проверить ответ, используя метод модульных сумм.

* * *

Шакунтала Деви: это не поддается расчету!

В 1976 году New York Times сообщила, что индийская женщина по имени Шакунтала Деви (р. 1939) сложила 25 842 + 111 201 721 + 370 247 830 + 55 511 315, а затем умножила полученную сумму на 9878 и дала правильный ответ 5 559 369 456 432 менее чем за двадцать секунд. С трудом верится, однако, что необразованная дочь обедневших родителей сделала себе имя в Соединенных Штатах Америки и Европе в качестве молниеносного вычислителя.

К сожалению, большинство по-настоящему удивительных подвигов Деви, которые были совершены благодаря маленьким хитростям, скудно документированы. Ее величайшее заявленное достижение — умножение на время двух тринадцатизначных чисел на бумаге — появилось в Книге рекордов Гиннесса как пример «человека-компьютера». Однако время вычислений в лучшем случае вызывает сомнения. Деви, мастер метода крест-накрест, перемножила 7 686 369 774 870 х 2 465 099 745 799 — числа, как сообщается, сгенерированные случайным образом в компьютерном отделе Имперского колледжа в Лондоне 18 июня 1980 года. Правильный ответ (18 947 668 177 995 426 773 730) был, якобы, воспроизведен ею за невероятные двадцать секунд. Гиннесс предлагает следующую оговорку: «Некоторые видные математики ставят под сомнение условия, при которых это было достигнуто и предсказывают, что для нее повторить такой подвиг под чрезвычайно строгим наблюдением было бы невозможно». Поскольку Деви предстояло решить 169 задач на умножение и 167 на сложение, то есть в общей сложности выполнить 336 операций, то она должна была бы производить каждый расчет в пределах десятой доли секунды без ошибок, затрачивая время на то, чтобы записать все 26 цифр ответа. Время вычисления само по себе возводит данный рекорд в категорию «это не поддается подсчету!».

Несмотря на это, Деви подтвердила свои способности путем выполнения быстрых расчетов и даже написала об этом книгу.

Чтобы перепроверить полученный ответ другим способом, можно использовать метод, известный как сравнение по модулю 11. Он похож на метод сравнения по модулю 9 за исключением того, что здесь вы сокращаете число, поочередно вычитая и прибавляя цифры справа налево, игнорируя десятичную запятую. Если результат отрицательный, к нему надо прибавить одиннадцать. (Вам может показаться заманчивым складывать и вычитать слева направо, как в случае с модульными суммами, но чтобы метод работал, необходимо это делать справа налево.)

Например:

Этот же метод применим и для задач на вычитание:

Точно так же он работает и для задач на умножение:

Если модульные числа не совпадают, значит, где-то допущена ошибка. Но даже если они совпадают, ошибка не исключена. В среднем этот метод распознает ошибку в 10 случаях из 11. Поэтому она имеет шанс пробраться сквозь караул числа одиннадцать (1 к 11) и числа девять (1 к 9), и только с шансом 1 к 99 будет незамеченной при использовании обоих типов проверки. За дополнительной информацией об этих и других очаровательных волшебных приемах предлагаю обратиться к любой из книг Мартина Гарднера по «занимательной математике»[8].

Итак, теперь вы готовы к последней задаче на умножение в этой книге, решаемой с помощью ручки и бумаги: «10 на 10»!

Хотя в ней отсутствует какая-либо практическая ценность, кроме возможности покрасоваться! (Лично мне кажется, что умножение пятизначных чисел уже и так достаточно впечатляющее действо, особенно с тех пор, как их решение перешло в сферу ответственности калькуляторов.) Я представлю здесь этот пример только для того, чтобы доказать: это выполнимо.