До предела чисел. Эйлер. Математический анализ. - Joaquin Sandalinas

7 = 7

7 = 6 + 1

7 = 5 + 2

7 = 5+ 1 + 1

7 = 4 + 3

7 = 4 + 2 + 1

7 = 4 + 1 + 1 + 1

7 = 3+3+1

7 = 3 + 2 + 2

7 = 3 + 2 + 1 + 1

7 = 3 + 1 + 1 + 1 + 1

7 = 2 + 2 + 2 + 1

7 = 2 + 2 + 1 + 1 + 1

7 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Итого 15. Запишем: р(7) - 15. Этот простой пример показывает, что разложить число — трудная задача, а результат может быть непредсказуемым. Если мы подсчитаем первые значения р(х), то получим:

Р(1) = 1

Р(2) = 2

P(3) = 3

Р(4) = 5

Р(5) = 7

P(6) = 11

Р(7) = 15

Р(8) = 22

P(9) = 30

P(10) = 42.

Никаких странностей не наблюдается, мы видим только, что p возрастает. Можно доказать, что

р(100) = 190569292.

Этот индийский математик родом из далекой страны, с непростой судьбой и необыкновенным талантом, привнес нотку экзотики в научный мир своего времени. Он родился в Эроде, в штате Тамил-Наду, и был типичным представителем своего общества, очень религиозным и строго соблюдавшим вегетарианство. Рамануджан был гением-самоучкой. По совету друзей он отправил несколько писем в Лондон, в которых рассказывал о своих результатах. Одно из них попало в руки к Годфри Харолду Харди (1877-1947). Вместе со своим другом и коллегой Джоном Литлвудом (1885- 1977) Харди проанализировал содержание писем, в которых говорилось обо всем сразу: об открытиях, уже сделанных, в том числе и самим Харди, и о новых формулах, свидетельствовавших о необыкновенных математических способностях. По приглашению Харди Рамануджан приехал в Англию и впоследствии был избран членом кембриджского Тринити-колледжа и Королевского общества. Многие его разработки еще не до конца изучены, но все единодушно отмечают их красоту, глубину, изобретательность и новизну. Рамануджан углубил работы Эйлера по разбиению, и это принесло свои плоды: многое из того, что сегодня об этом известно. — плод его исследований. Благодаря гению Рамануджана, мы располагаем "простым" инструментом, с помощью которого можем узнать примерное количество разбиений любого числа:

Его можно получить с помощью калькулятора. При желании мы можем получить точные цифры, а не приблизительные, но процесс будет немного сложнее.

Ученые получили необыкновенно длинные результаты, выявили малейшие различия между разбиением четных и нечетных чисел (состоящих только из четных или нечетных чисел), изобрели сложнейшие арифметические инструменты. Большая часть удивительных работ Эйлера основана на методах, развитых Абрахамом де Муавром, которые заключаются в игре со степенными рядами. Так он получал то, что в то время называлось производящими функциями последовательности, то есть хитроумные алгебраические трюки, с помощью которых ученые пытались сымитировать реальность. Уже в 1742 году Эйлеру пришла в голову идея найти производящую функцию разбиений, и после долгих лет работы он пришел к ней: оттолкнувшись от ряда

1/(1 - х) = 1 + х + х2 + х3 + ...,

он вывел формулу

Развивая бесконечное произведение справа, можно доказать, что различные разбиения числа n появляются в скрытой форме в группах степеней меньших n, которые в сумме дают n. Например, возьмем n = 4 и посмотрим, сколько х4 мы получим:

(1 + х + х2 + x3 + ...) (1 + х2 + х4 + х6 +...)(1 + х3 + x6 + х9+...)...

В результате мы получим 5х4. и следовательно, р(4) = 5. Отсюда Эйлер вывел метод для вычисления р(n), но, к сожалению, это рекурсивный метод, который позволяет вычислить р(n), только если мы знаем предшествующие значения:

р(n) = р(n - 1) +р(n - 2) - р(n - 5) - р(n - 7) + р(n - 12) + р(n - 15) - р(n - 22) - ...

ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ

Эти числа были названы в честь Якоба Бернулли, который впервые рассмотрел их в 1713 году в своем сочинении Ars conjectandi ("Искусство предположений"). Эти числа встречаются при вычислении сумм степеней целых положительных чисел:

1 + 22 + З2 + 42 + ... + k2

1 + 23 + З3 + 43 + ... + k3

1 + 24 + З4 + 44 + ... + k4

1 + 25 + З5 + 45 + ... + k5,

или, говоря языком Эйлера, вычислении сумм

Мы имеем

где Вi — числа Бернулли. Чтобы пояснить предыдущую формулу, приведем простой пример — сумму квадратов простых чисел. Применив формулу при р - 2, получим

12+22 + ... + n2 = 1/3(B0n3 + 3B1n2 + 3B2n1) = 1/3(n3 + 1/2n2 + 1/2n).

Эйлер вычислил первые 30 чисел Бернулли. Это грандиозная задача, учитывая, что 30-е число выглядит так:

8615841276005/14322.

Наконец, числа Бернулли появляются в выражении, которое Эйлер вывел для ζ(2n) в ходе дальнейших исследований после решения Базельской задачи. Оно выглядит так:

ζ(2n) = (-1)n+1(2π)2nB2n/2(2n)!.

Числа Бернулли используются в современной записи формулы суммирования Эйлера — Маклорена, хотя сам Эйлер их не заметил, когда применил формулу, чтобы приблизительно сосчитать значение

и найти первые шесть его цифр.

Эйлеру не удалось разгадать все тайны простых чисел, тем не менее он выполнил много исследований на эту тему, а также на другие, тесно с ней связанные, такие как функция Эйлера φ, числа Мерсенна или квадратичный закон взаимности.

До сих пор математики напрасно пытались открыть порядок в последовательности простых чисел, и мы имеем все основания предполагать, что речь о идет о тайне, которую человеческий разум никогда не раскроет.

Эйлер

В работе Variae observationes circa series infinites ("Различные замечания о бесконечных рядах"), опубликованной в 1744 году, Эйлер применил формулу, ставшую одной из самых известных в области простых чисел, — произведение Эйлера, которое мы подробно рассмотрим в приложении 3.

При s = 1 слева возникает гармонический ряд, стремящийся к бесконечности. Следовательно, к ней должен стремиться и результат справа. Но если это так, то произведение не может быть конечным. Следовательно, оно бесконечно, и поскольку в каждом множителе есть простые числа, то, следовательно, их существует бесконечно много. Так Эйлер нашел еще одно доказательство бесконечности простых чисел. Однако ученый хотел заглянуть еще глубже и найти плотность простых чисел. Мы знаем, что они бесконечны, но насколько плотно они расположены? Эйлер доказал, что ряд, ограниченный только простыми членами,

то есть аналог гармонического ряда

также расходится. Кроме того, несмотря на то что гармонический ряд расходится приблизительно как логарифм л, ряд обратных простых чисел расходится еще медленнее, как логарифм логарифма n.

Идеи Эйлера, считающегося изобретателем методов анализа в теории чисел, были развиты вначале Лежандром, а затем Гауссом, отцами теоремы о распределении простых чисел, которая гласит:

π(x = x/Inx

где π(x) — число простых чисел, меньших х. Эта теорема была доказана независимо друг от друга математиками Шарлем Жаном де ла Валле Пуссеном (1866-1962) и Жаком Адамаром (1865-1963) в 1896 году. Бернхард Риман расширил идеи Эйлера до области комплексных чисел С, применив к ней дзета- функцию (мы говорили о ней в главе 2), которую сам Эйлер рассматривал только в области вещественных чисел R. Затем был совершен переход к так называемой аналитической теории чисел, а позже — к оставшейся недоказанной гипотезе Римана.

В арифметике существует понятие не только простого числа, но и взаимно простых чисел. Целые положительные числа р и q являются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, кроме 1. Например, 14 и 15 — взаимно простые, поскольку, даже если ни одно из них не является простым само по себе, у них нет общего делителя, кроме 1:

14-2-7

15-3-5.

То же самое можно выразить более современным способом, используя понятие наибольшего общего делителя (НОД). Сказать, что p и q являются взаимно простыми, — равноценно тому, что их НОД - 1.Функция, которую Эйлер называл φ(n), определяется как количество взаимно простых чисел, меньших п и взаимно простых с ним. Возьмем для примера числа от 1 до 10:

φ(1) = 1

φ(2) = 1

φ(3) = 2

φ(4) = 2

φ(5) = 4

φ(6) = 2

φ(7) = 6

φ(8) = 4

φ(9) = 6

φ(10) = 4.

Функция φ(n) называется индикаторной функцией; это не просто довольно интересная арифметическая игрушка, а инструмент, который можно широко использовать; она встречается в одной из самых важных теорем теории чисел — так называемой малой теореме Ферма. Как ни странно, вопреки тому, что Эйлер обычно сам вводил математические обозначения в своих работах, знак функции <р принадлежит не ему. Он доказал, что если р ид взаимно простые, то