Общая химия - Николай Глинка

- 69 -

Итак, электронам, как и фотонам, присуща корпускулярно-волновая двойственность. Корпускулярные свойства электрона выражаются в его способности проявлять свое действие только как целого. Волновые свойства электрона проявляются в особенностях его движения, в дифракции и интерференции электронов.

Таким образом, электрон — весьма сложное материальное образование. Еще в 1907 г., развивая положение о бесконечности процесса познания природы, В. И. Ленин писал: «Электрон, как и атом — неисчерпаем». Время подтвердило правильность этого утверждения. Человеческий разум глубоко проник во внутреннее строение атома, необычайно расширились и наши представления о природе электрона. Нет сомнения в том, что дальнейшее развитие науки вскроет еще более глубокие и сложные свойства объектов микромира.

26. Волновая функция.

Исходя из представления о наличии у электрона волновых свойств. Шредингер* в 1925 г. предположил, что состояние движущегося в атоме электрона должно описываться известным в физике уравнением стоячей электромагнитной волны. Подставив в это уравнение вместо длины волны ее значение из уравнения де Бройля (λ = h / mv), он получил новое уравнение, связывающее энергию электрона с пространственными координатами  и так называемой волновой функцией ψ, соответствующей в этом уравнении амплитуде трехмерного волнового процесса**.

Особенно важное значение для характеристики состояния электрона имеет волновая функция  ψ. Подобно амплитуде любого волнового процесса, она может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Однако величина  ψ2 всегда положительна. При этом она обладает замечательным свойством: чем больше значение ψ2 в данной области пространства, тем выше вероятность того, что электрон проявит здесь свое действие, т.е. что его существование будет обнаружено в каком-либо физическом процессе.

Более точным будет следующее утверждение: вероятность обнаружения электрона в некотором малом объеме ΔV выражается произведением  ψ2 ΔV. Таким образом, сама величина ψ2 выражает плотность вероятности нахождения электрона в соответствующей области пространства***

* Эрвин Шредингер (1887-1961) — австрийский физик, один из основоположников квантовой механики. В 1933 г. награжден Нобелевской премией, с 1934 — иностранный член Академии наук СССР.

** Мы не приводим уравнения Шредингера ввиду его математической сложности. Это уравнение и способы его решения рассматриваются в курсах физики и физической химии.

*** Уяснению понятия «плотность вероятности» может помочь следующая аналогия: вероятность связана с плотностью вероятности ψ2 так же, как масса тела m, занимающего объем  ΔV, связана с плотностью тела ρ (m = ρΔV ).

- 70 -

Рис 5. Электронное облако атома водорода.

Для уяснения физического смысла квадрата волновой функции рассмотрим рис. 5, на котором изображен некоторый объем вблизи ядра атома водорода. Плотность размещения точек на рис. 5 пропорциональна значению ψ2 в соответствующем месте: чем больше величина ψ2 , тем гуще расположены точки. Если бы электрон обладал свойствами материальной точки, то рис. 5 можно было бы получить, многократно наблюдая атом водорода и каждый раз отмечая местонахождение электрона: плотность размещения точек на рисунке была бы тем больше, чем чаще обнаруживается электрон в соответствующей области пространства или, иначе говоря, чем больше вероятность обнаружения его в этой области.

Мы знаем, однако, что представление об электроне как о материальной точке не соответствует его истинной физической природе. Поэтому рис. 5 правильнее рассматривать как схематическое изображение электрона, «размазанного» по всему объему атома в виде так называемого электронного облака: чем плотнее расположены точки в том или ином месте, тем больше здесь плотность электронного облака. Иначе говоря, плотность электронного облака пропорциональна квадрату волновой функции.

Представление о состоянии электрона как о некотором облаке электрического заряда оказывается очень удобным, хорошо передает основные особенности поведения электрона в атомах и молекулах и будет часто использоваться в последующем изложении. При этом, однако, следует иметь в виду, что электронное облако не имеет определенных, резко очерченных границ: даже на большой расстоянии от ядра существует некоторая, хотя и очень малая, вероятность обнаружения электрона. Поэтому под электронным облаком условно будем понимать область пространства вблизи ядра атома, в которой сосредоточена преобладающая часть (например, 90%) заряда и массы электрона. Более точное определение этой области пространства дано на стр. 75.

27. Энергетическое состояние электрона в атоме.

Для электрона, находящегося под действием сил притяжения к ядру, уравнение Шредингера имеет решения не при любых, а только при определенных значениях энергии. Таким образом, квантованность энергетических состояний электрона в атоме (т.е. первый постулат Бора) оказывается следствием присущих электрону волновых свойств и не требует введения особых постулатов.

Для лучшего понимания последнего утверждения рассмотрим упрощенную модель атома, «одномерный атом», в котором электрон может совершать лишь колебательные движения между крайними точками.

- 71 -

Будем считать также, что границы атома непроницаемы для электрона, так что он может находиться только внутри атома. Мы уже знаем, что состояние электрона в атоме характеризуется некоторой волной («волна де Бройля»). Но было бы неправильно представлять себе распространение этой волны как нечто подобное движению волны, образовавшейся на поверхности воды от брошенного камня: водяная волна неограниченно удаляется от места своего образования и постепенно расплывается, она не обладает устойчивостью во времени, тогда как электрон в атоме устойчив. Поэтому более правильной будет аналогия между состоянием электрона в атоме и состоянием звучащей струны. На которой образуются так называемые стоячие волны.

На рис. 6 схематически изображены стоячие волны, возникающие на колеблющейся струне, крайние точки которой закреплены. В точках, обозначенных буквой n, возникают пучности — здесь амплитуда колебания максимальна, в точках y струна не колеблется — это узлы, в которых амплитуда колебания имеет промежуточные значения. Поскольку конечные точки струны закреплены, здесь обязательно возникают узлы. В отличие от обычной «бегущей» волны, стоячая волна не перемещается в пространстве и не переносит энергии, которая лишь передается от одних точек струны к другим. Нетрудно видеть (рис. 6), что на струне с закрепленными концами длина стоячей волны может быть не любой, а только такой, чтобы на всей струне укладывалось целое число полуволн:  одна (рис. 6, а), две (рис. 6, б), три (рис. 6, в) и т.д.

В рассматриваемой одномерной модели атома волна де Бройля тоже должна быть стоячей: это следует из того, что выйти за границы атома электрон не может и, следовательно, на границах атома волновая функция ψ (т.е. амплитуда волны) должна обращаться в нуль. Поэтому рис. 6 может рассматриваться как модель одномерного атома со стоячими волнами де Бройля, которые могут в этом атоме образоваться.

Если длина одномерного атома равна l, то для случаев а, б, и в на рис. 6 длина волны де Бройля будет выражаться следующим образом:

λ1 = 2l = 2l/1

λ2 = l = 2l/2

λ3  = 2l/3

Следовательно, стоячая волна может образоваться только при условии

λ  = 2l/n

где n — 1, 2, 3, ..., т.е. целое число.

Рис. 6. Стоячие волны на струне.

- 72 -

С другой стороны, согласно уравнению де Бройля

λ = h / mv

Приравнивая правые части двух последних уравнений, получим для скорости электрона v выражение:

v = hn / 2 ml

Теперь, зная скорость электрона v, можно найти его кинетическую энергию Е:

E = mv2 / 2 = h2n2 / 8 m l2

Поскольку n — целое число, то последнее выражение показывает, что энергия электрона в одномерном атоме не может иметь произвольные значения: при n = 1 она равна величине дроби h2 / 8 m l2 , при  n = 2 она в 4 раза больше, при  n = 1 — в 9 раз больше и т.д. Таким образом, в случае одномерного атома волновые свойства электрона, выражаемые уравнением де Бройля, действительно имеют следствием кватованность энергетических состояний электрона. При этом допустимые уровни энергии электрона определяются значением целого числа n, получившего название квантового числа.

Разумеется, найденное выражение для энергии электрона относится к упрощенной модели атома. Но и для реального атома решение уравнения Шредингера также приводит к выводу о квантованности энергетических состояний электрона в атоме.