Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории - Брайан Грин

Теперь, используя ускоренное движение во вращающемся аттракционе для имитации действия силы тяжести, можно, следуя Эйнштейну, посмотреть, как выглядят пространство и время для тех, кто находится на круге. Его рассуждения в приложении к нашей ситуации были бы такими. Мы, неподвижные наблюдатели, легко можем измерить длину окружности и радиус вращающегося круга. Например, чтобы измерить длину окружности, мы будем аккуратно прикладывать рулетку к ободу вращающегося круга; для измерения радиуса мы будем также аккуратно перемещать рулетку от оси вращения к внешнему краю круга. Как можно предположить, основываясь на школьном курсе геометрии, отношение эти двух величин будет равно 2π (около 6,28), в точности таким же, как для окружности, нарисованной на плоском листе бумаги. А как это будет выглядеть с точки зрения того, кто катается на этом аттракционе?

Чтобы узнать это, мы попросили Слима и Джима, которые как раз катаются на этом аттракционе, выполнить для нас несколько измерений. Мы бросили одну из наших рулеток Слиму, который отправился измерять длину окружности, а другую — Джиму, который будет измерять радиус. Чтобы увидеть всё наилучшим образом, взглянем на круг с высоты птичьего полёта, как показано на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Линейка Слима укорачивается, так как она прикладывается вдоль направления движения круга. Линейка же Джима лежит вдоль радиуса круга, перпендикулярно направлению движения, и поэтому её длина не уменьшается

Мы снабдили снимок стрелками, показывающими мгновенное направление движения в каждой точке. Как только Слим начинает измерять длину окружности, нам, из положения сверху, сразу становится понятно, что он получит не то значение, которое получили мы. Когда он прикладывает рулетку к окружности, мы замечаем, что её длина уменьшается. Это не что иное, как обсуждавшееся в главе 2 лоренцево сокращение, которое связано с тем, что длина тела представляется уменьшившейся в направлении его движения. Уменьшение длины рулетки означает, что мы должны будем уложить её, совмещая начало с концом, большее число раз, чтобы обойти весь круг. Так как Слим продолжает считать, что длина рулетки составляет один метр (поскольку между ним и его рулеткой нет относительного перемещения, он думает, что она имеет свою обычную длину в один метр), он измерит бо́льшую длину окружности, чем мы. (Если это кажется парадоксальным, вам может помочь примечание {11}.)

Ну, а что насчёт радиуса? Джим использует тот же метод определения радиуса, и нам, с высоты птичьего полёта, видно, что он получит такое же значение, которое получили мы. Причина состоит в том, что его рулетка располагается не по мгновенному направлению движения круга (как было при измерении длины окружности). Она направлена под углом 90 градусов к направлению движения и поэтому не сокращается в направлении своей длины. Следовательно, Джим получит точно такое же значение величины радиуса, какое получили мы.

Но теперь, рассчитав отношение длины окружности колеса к его радиусу, Слим и Джим получат число, которое будет превышать полученное нами значение 2π, поскольку у них длина окружности оказалась больше, а радиус остался тем же самым. Что за чудеса? Как может быть, чтобы для какой-нибудь фигуры в форме окружности нарушалось установленное ещё древними греками правило, согласно которому для любой окружности это отношение в точности равно 2π?

Вот объяснение Эйнштейна. Результат древних греков справедлив для окружностей, нарисованных на плоской поверхности. Но подобно тому, как кривые зеркала в парке развлечений искажают нормальную пространственную структуру вашего отражения, так и пространственная форма окружности исказится, если она будет нарисована на искривлённой или деформированной поверхности: отношение длины окружности к радиусу для такой окружности, как правило, не будет равно 2π.

В качестве примера на рис. 3.2 приведены три окружности одинакового радиуса. Длины этих окружностей различны.

Рис. 3.2. Окружность, нарисованная на поверхности сферы (б), имеет меньшую длину, чем окружность, нарисованная на плоском листе бумаги (а), а окружность, начерченная на седлообразной поверхности (в), будет иметь бо́льшую длину, несмотря на то, что все три имеют одинаковый радиус

Длина окружности (б), нарисованной на искривлённой поверхности сферы, меньше длины окружности (а), нарисованной на плоской поверхности, несмотря на то, что они имеют одинаковый радиус. Искривлённый характер поверхности сферы приводит к тому, что радиальные линии, проведённые из центра, слегка сходятся друг к другу, приводя к небольшому уменьшению длины окружности. Длина окружности (в), нарисованной на седловидной искривлённой поверхности, больше, чем длина окружности, изображённой на плоской поверхности. Свойства кривизны седловидной поверхности приводят к тому, что радиальные линии слегка расходятся, вызывая небольшое увеличение длины окружности. Эти наблюдения показывают, что отношение длины окружности к радиусу для (б) будет меньше, чем 2π, а для (в) — больше, чем 2π. Но отклонения от значения 2π, особенно в сторону увеличения, как в примере (в), — это как раз то, что было обнаружено в случае вращающегося аттракциона. Подобные наблюдения привели Эйнштейна к идее, что нарушение «обычной», евклидовой геометрии объясняется кривизной пространства. Плоская геометрия древних греков, которой тысячи лет учат школьников, попросту не применима к объектам на вращающемся круге. Вместо этого здесь имеет место её обобщение на случай искривлённого пространства, схематически показанное на рис. 3.2в.{11}

Итак, Эйнштейн понял, что установленные древними греками привычные пространственные геометрические отношения, которые верны для «плоских» пространственных фигур, таких, как окружность на плоском столе, не выполняются с точки зрения наблюдателя, испытывающего ускорение. Конечно, мы рассмотрели здесь только один, конкретный вид ускоренного движения, но Эйнштейн показал, что аналогичный результат — искривление пространства — справедлив для всех случаев ускоренного движения.

В действительности, ускоренное движение приводит не только к искривлению пространства, но и к аналогичному искривлению времени. (Исторически Эйнштейн сначала сосредоточил внимание на кривизне времени, и только потом осознал важность кривизны пространства.[9]) То, что время также подвергается искривлению, неудивительно — в главе 2 мы уже видели, что специальная теория относительности провозглашает союз пространства и времени. Это слияние было подытожено поэтическими словами Минковского, который на лекции по специальной теории относительности в 1908 г. сказал: «Отныне пространство и время, рассматриваемые отдельно и независимо, обращаются в тени и только их соединение сохраняет самостоятельность».{12} Пользуясь более приземлённым, но столь же вольным языком, можно сказать, что сплетая пространство и время в единую ткань пространства-времени, специальная теория относительности провозглашает: «То, что истинно для пространства, то истинно и для времени». Однако здесь возникает вопрос. Мы можем представить себе искривлённое пространство, зная, как искривлена его форма, но что мы имеем в виду, говоря о кривизне времени?

Для того чтобы нащупать ответ, ещё раз посадим Слима и Джима на аттракцион и попросим их провести следующий эксперимент. Слим будет стоять на краю радиального отрезка спиной к кругу, а Джим будет медленно ползти к нему вдоль этого радиуса от центра круга. Через каждые несколько метров Джим будет останавливаться, и они будут сравнивать показания своих часов. Что они увидят? Наблюдая со своей позиции с высоты птичьего полёта, мы снова сможем предсказать ответ. Их часы будут расходиться в показаниях. Мы пришли к этому выводу потому, что увидели, что Слим и Джим движутся с разной скоростью — при движении на аттракционе чем дальше от центра вы находитесь, тем большее расстояние должны пройти для того, чтобы совершить один оборот и, следовательно, тем быстрее вы движетесь. Но, согласно специальной теории относительности, чем быстрее вы движетесь, тем медленнее идут ваши часы — из этого мы заключаем, что часы Слима будут идти медленнее, чем часы Джима. Далее, Слим и Джим обнаружат, что по мере того как Джим будет приближаться к Слиму, его часы будут идти всё медленнее, и скорость их хода будет становиться такой же, как у часов Слима. Это отражает тот факт, что по мере приближения Джима к краю круга, его скорость приближается к скорости Слима.