Математические чудеса и тайны - Мартин Гарднер

Цифровые корни

Если сложить все цифры некоторого числа, затем все цифры только что найденной суммы и так продолжать достаточно далеко, то получится одна единственная цифра, которая носит название цифрового корня первоначального числа. Быстрее всего можно получить цифровой корень при помощи так называемого «процесса отбрасывания девяток». Допустим, например, что мы хотим найти цифровой корень числа 87345691. Сначала сложим цифры 8 и 7, будет 15; затем тут же складываем 5 и 1, получаем 6. Этот же результат получится, если вычесть или «исключить» из 16 девятку. Теперь прибавим 6 к следующей цифре, т. е. к тройке, получится 9. Девять плюс 4 даст 13 — число, которое после исключения девятки опять сводится к числу 4. Так же мы поступаем, пока не дойдем до последней цифры. Цифра 7, полученная этим путем, будет цифровым корнем заданного числа 87345691.

Большое количество фокусов с числами основано на операции, которая приводит к числу, кажущемуся случайным, хотя в действительности имеющим своим цифровым корнем девятку. Если производилась именно такая операция, можно предложить зрителю обвести кружком любую цифру ответа (за исключением нуля), а остальные цифры назвать в любом порядке.

После этого показывающий может объявить отмеченную цифру. Для этого ему нужно просто складывать называемые зрителем цифры, вычитая по ходу дела девятки; таким образом, при объявлении последней цифры он уже будет знать цифровой корень совокупности записанных им чисел. Если этим корнем окажется девятка, то была отмечена кружком эта же цифра. В остальных случаях, чтобы получить отмеченную цифру, нужно вычесть найденный цифровой корень из девятки. Вот некоторые из многих операций, которые приводят к числам, цифровой корень которых равен 9.

1. Напишите число (оно может быть сколь угодно большим) и переставьте его цифры в любом порядке; вычтите меньшее из этих чисел из большего.

2. Напишите какое-нибудь число, сложите все его цифры и вычтите полученную сумму из первоначального числа.

3. Напишите какое-нибудь число. Найдите сумму его цифр, умножьте ее на 9 и сложите результат с первоначальным числом.

4. Напишите какое-нибудь число, умножьте его на 9 или на число, кратное девяти. (Все числа, кратные девяти, имеют своим цифровым корнем девятку, и обратно, все числа, имеющие своим цифровым корнем девятку, кратны девяти.)

5. Напишите какое-нибудь число, сложите два числа, полученных из него путем любой перестановки цифр, и возведите полученный результат в квадрат.

Если вы хотите еще более затемнить метод получения чисел, цифровой корень которых равен 9, вы можете перед существенным в этом методе действием вводить произвольные числа и операции. Например, можно предложить зрителю записать количество мелочи в его кармане, умножить это число на число людей в комнате, прибавить к результату самый знаменательный год в его жизни и т. д. и, наконец, умножить результат на 9. Ясно, что только последнее действие имеет отношение к делу. Как только получено число, цифровой корень которого равен 9, вы можете предложить зрителю обвести какую-нибудь цифру результата кружком и показывать фокус, как это было описано выше.

Устойчивость цифрового корня

Возьмем какое-нибудь число, цифровой корень которого равен 9; образуем из него путем перестановки цифр второе число; переставляя снова цифры, получим третье число и будем так продолжать, пока не напишем столько чисел, сколько нам заблагорассудится. Сложив все эти числа, мы получим число, цифровой корень которого тоже будет равен девяти.

Аналогично, если число, имеющее своим цифровым корнем 9, умножить на целое число, то цифровой корень произведения будет равен 9.

Используя это свойство устойчивости корня относительно сложения и умножения, можно придумать много фокусов. Допустим, например, что у вас нашлась денежная бумажка, серийный номер которой имеет своим цифровым корнем девятку. Приберегите ее, пока вам не представится случай показать фокус. Попросите кого-нибудь написать несколько цифр наугад, затем, как бы вспомнив что-то, выньте денежную бумажку из кармана и предложите зрителю вместо этого лучше переписать ее серийный номер — удобный способ, поясняете вы, выбора произвольных чисел. Далее зритель несколько раз переставляет цифры, получая при этом все новые числа, складывает их, не показывая своих вычислений, умножает ответ на любое пришедшее ему в голову целое число и, наконец, обводит кружочком одну из цифр результата. После того как будут названы в любом порядке остальные цифры, вы сможете назвать ему отмеченное число.

Можно демонстрировать этот фокус и иначе, начав с чисел, входящих в дату демонстрации фокуса, т. е. порядкового номера месяца, дня месяца и года.

При записи года у вас будет выбор: либо брать две последние цифры, либо все четыре. Примерно два дня из каждых девяти (принадлежащих записи года) оказываются пригодными для образования числа, числовой корень которого равен девяти. В один из таких дней вы можете показать этот фокус. Допустим, что ваша дата 29 марта 1958 года. Попросите кого-нибудь записать ее в виде 29.3.58. Так как эта группа чисел имеет своим цифровым корнем девятку, вы можете продолжать далее, как в только что описанном фокусе с денежной бумажкой, или выбрать другую процедуру, не меняющую цифровой корень.

Отгадывание возраста

Интересный способ узнавания возраста некоторого лица начинается с того, что его просят выполнить ряд каких-нибудь действий, приводящих к числу, имеющему своим цифровым корнем девятку. Затем предлагают прибавить к полученному числу свой возраст и сообщить вам сумму. По этой сумме легко узнать возраст зрителя. Сначала найдите цифровой корень суммы. Затем прибавляйте к нему девятки до тех пор, пока полученное число не покажется вам наиболее близким к возрасту вашего собеседника. Это число и будет искомым возрастом. Допустим, например, что вы попросили зрителя написать любое число и умножить его на 9, после чего у него получилось 2826. К этому числу он добавил 40, свой возраст, и сообщил вам сумму: 2866. Цифровой корень этого числа равен 4; добавляя к четверке девятки, получим числа 13, 22, 31, 40, 49 и т. д., поскольку с точностью до 9 лет оценить возраст нетрудно, вы устанавливаете, что правильным ответом будет 40.

Бухгалтеры-ревизоры часто проверяют правильность сложения и умножения при помощи цифровых корней. Например, сложение можно проконтролировать так: сначала найти цифровой корень всей совокупности цифр, входящих в слагаемые, а затем цифровой корень суммы. Если последняя была найдена правильно, корни должны совпасть. Это обстоятельство можно использовать для фокуса следующим образом.

Фокус со сложением

Попросите кого-нибудь составить задачу на сложение, выписывая несколько многозначных чисел в столбик, одно под другим. Напрактиковавшись, вы сможете исключать девятки почти с такой же скоростью, с какой выписываются цифры, так что к концу составления задачи цифровой корень совокупности всех чисел будет вам известен. Затем вы поворачиваетесь спиной и просите произвести сложение. Если теперь зритель обведет кружком какую-нибудь цифру результата (не нуль), а остальные назовет в произвольном порядке, вы сможете объявить отмеченную цифру. Для этого нужно будет найти цифровой корень группы цифр, названных зрителем, а затем вычесть его из цифрового корня, найденного вначале (вы должны были его запомнить). Если второй корень окажется больше первого, добавьте перед вычитанием к первому корню девятку. Если корни окажутся одинаковыми, отмеченная цифра была, конечно, девяткой.

Фокус с умножением

Подобный же фокус можно проделать, составив задачу на умножение; здесь мы будем опираться на тот факт, что цифровой корень произведения цифровых корней двух сомножителей равен цифровому корню произведения этих сомножителей. Итак, вы можете попросить кого-нибудь записать достаточно большое число, скажем, пяти- или шестизначное, и подписать под ним другое большое число. Следя за тем, как пишутся числа, вы определяете цифровые корни обоих сомножителей, перемножаете их и находите цифровой корень произведения.

Теперь вы поворачиваетесь спиной и предлагаете зрителю перемножить записанные им числа. Затем просите его обвести кружочком любую цифру результата (за исключением нуля) и назвать вслух остальные цифры в любом порядке. Как и в предыдущем фокусе, вы узнаете отмеченное число, вычитая цифровой корень совокупности названных зрителем цифр из цифрового корня, который вы должны были запомнить.

Если второй корень будет больше первого, опять-таки перед вычитанием добавьте к первому из них девятку.

Тайна семерки

Все «таинственные» свойства девятки объясняются тем простым фактом, что эта цифра является последней в употребляемой нами десятичной системе счисления. В восьмеричной системе счисления такими же любопытными свойствами обладает семерка. Это утверждение легко проверить. Прежде всего составим список шестнадцати чисел, обозначая их в восьмеричной системе, и выпишем рядом их эквиваленты в десятичной системе.