Математические чудеса и тайны - Мартин Гарднер

Если же за ширину первого прямоугольника принять какое-нибудь число Фибоначчи из «дополнительной» подпоследовательности, то во втором прямоугольнике площадь уменьшится на одну единицу. Потери и приросты площади объясняются небольшими перекрываниями или просветами вдоль диагонального разреза второго прямоугольника. Другой вариант такого прямоугольника, показанный на рис. 62, при построении второго прямоугольника приводит к увеличению площади на две квадратные единицы.

Если заштрихованную часть площяди второго прямоугольника поместить над незаштрихованной частью, два диагональных разреза сольются в одну большую диагональ. Переставляя теперь части А и В (как на рис. 61), мы получим второй прямоугольник большей площади.

Еще один вариант парадокса

При суммировании площадей частей перестановка треугольников В и С в верхней части рис. 63 приводит к кажущейся потере одной квадратной единицы.

Как читатель заметит, это происходит за счет площадей заштрихованных частей: на верхней части рисунка имеется 15 заштрихованных квадратиков, на нижней — 16. Заменяя заштрихованные куски двумя покрывающими их фигурами специального вида, мы приходим к новой, поразительной форме парадокса. Теперь перед нами прямоугольник, который можно разрезать на 5 частей, а затем, меняя их местами, составить новый прямоугольник, причем, несмотря на то, что его линейные размеры остаются прежними, внутри появляется отверстие площадью в одну квадратную единицу (рис. 64).

Возможность преобразования одной фигуры в другую, тех же внешних размеров, но с отверстием внутри периметра, основана на следующем. Если взять точку X точно в трех единицах от основания и в пяти единицах от боковой стороны прямоугольника, то диагональ через нее проходить не будет. Однако ломаная, соединяющая точку X с противоположными вершинами прямоугольника, будет так мало отклоняться от диагонали, что это будет почти незаметно.

После перестановки треугольников В и С на нижней половине рисунка части фигуры будут слегка перекрываться вдоль диагонали.

С другой стороны, если в верхней части рисунка рассматривать линию, соединяющую противоположные вершины прямоугольника, как точно проведенную диагональ, то линия XW будет чуть длиннее трех единиц. И как следствие этого второй прямоугольник будет несколько выше, чем кажется. В первом случае недостающую единицу площади можно считать распределенной с угла на угол и образующей перекрывание вдоль диагоналей. Во втором случае недостающий квадратик распределен по ширине прямоугольника. Как мы уже знаем из предыдущего, все парадоксы такого рода можно отнести к одному из этих двух вариантов построения. В обоих случаях неточности фигур настолько незначительны, что они оказываются совершенно незаметными.

Наиболее изящной формой этого парадокса являются квадраты, которые после перераспределения частей и образования отверстия остаются квадратами.

Такие квадраты известны в бесчисленных вариантах и с отверстиями в любое число квадратных единиц. Некоторые, наиболее интересные из них изображены на рис. 65 и 66.

Можно указать на простую формулу, связывающую размер отверстия с пропорциями большого треугольника. Три размера, о которых пойдет речь, мы обозначим через А, В к С (рис. 67).

Площадь отверстия в квадратных единицах равна разности между произведением А на С и ближайшим к нему кратным размера В. Так, в последнем примере произведение А и С равно 25. Ближайшее кратное размера В к 25 есть 24, поэтому отверстие получается в одну квадратную единицу. Это правило действует независимо от того, проведена ли настоящая диагональ или же точка X на рис. 67 нанесена аккуратно на пересечении линий квадратной сетки.

Если диагональ, как это и должно быть, вычерчивается как строго прямая линия или если точка X берется точно в одной из вершин квадратной сетки, то никакого парадокса не получается. В этих случаях формула дает отверстие размером в нуль квадратных единиц, обозначая этим, конечно, что отверстия нет вообще.

Вариант с треугольником

Вернемся к первому примеру парадокса (см. рис. 64). Заметим, что большой треугольник А не меняет своего положения, в то время как остальные части перемещаются. Поскольку этот треугольник не играет существенной роли в парадоксе, его можно вообще отбросить, оставляя только правый треугольник, разрезанный на четыре части. Эти части можно затем перераспределить, получая при этом прямоугольный треугольник с отверстием (рис. 68), будто бы равный исходному.

Составляя два таких прямоугольных треугольника катетами, можно построить много вариантов равнобедренных треугольников, подобных изображенному на рис. 69.

Так же как и в ранее рассмотренных парадоксах, эти треугольники можно строить двумя способами: либо проводить их боковые стороны строго прямолинейно, тогда точка X не попадет на пересечение линий квадратной сетки, либо помещать точку X точно в пересечение, тогда боковые стороны будут слегка выпуклыми или вогнутыми. Последний способ, кажется, лучше маскирует неточности чертежа. Парадокс покажется еще более удивительным, если на частях, составляющих треугольник, нанести линии квадратной сетки, подчеркивая этим самым, что части изготовлялись с необходимой аккуратностью.

Придавая нашим равнобедренным треугольникам различные размеры, можно добиться прироста или потери любого четного числа квадратных единиц.

Несколько типичных примеров дано на рис. 70, 71 и 72.

Составляя основаниями два равнобедренных треугольника любого из этих типов, можно построить самые различные варианты ромбического вида; однако они не добавят ничего существенно нового к нашему парадоксу.

Квадраты из Четырех частей

Все рассмотренные нами до сих пор виды парадоксов с изменением площади близко связаны между собой по способу построения. Однако существуют парадоксы, полученные и совершенно отличными методами. Можно, например, разрезать квадрат на четыре части одинаковой формы и размера (рис. 73), а затем составить их по-новому так, как показано на рис. 74. При этом получается квадрат, размеры которого кажутся не изменившимися и в то же время с отверстием в середине.

Подобным же образом можно разрезать прямоугольник с любым соотношением длин сторон. Любопытно, что точка А, в которой пересекаются две которого кажутся не изменившимися и в то же время с отверстием в середине.

Подобным же образом можно разрезать прямоугольник с любым соотношением длин сторон. Любопытно, что точка А, в которой пересекаются две взаимно перпендикулярные линии разреза, может при этом находиться в любом месте внутри прямоугольника. В каждом случае при перераспределении частей появляется отверстие, причем размер его зависит от величины угла, образованного линиями разреза со сторонами прямоугольника.

Этот парадокс отличается сравнительной простотой, однако он много теряет благодаря тому, что даже при поверхностном изучении видно, что стороны второго прямоугольника должны быть немного больше, чем стороны первого.

Более сложный способ разрезания квадрата на четыре части, при котором получается внутреннее отверстие, изображен на рис. 75.

Он основан на парадоксе с шахматной доской, которым открывается настоящая глава. Заметим, что при перераспределении частей две из них нужно перевернуть обратной стороной кверху. Заметим также, что при отбрасывании части А мы получаем прямоугольный треугольник, составленный из трех частей, внутри которого можно образовать отверстие.

Квадраты из трех частей

Существует ли способ разрезывания квадрата на три части, которые можно составить по-новому так, чтобы получился квадрат с отверстием внутри? Ответ будет положительным. Одно изящное решение основано на применении парадокса, рассмотренного в предыдущей главе (стр. 78).

Вместо того чтобы специальным образом располагать картинки уступами, а разрез производить прямолинейно (горизонтально), картинки размещают на одной прямой, а разрез делают уступами. Результат получается поразительный: не только пропадает картинка, но на месте ее исчезновения появляется отверстие.