Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Алекс Беллос

лю Хуэй

Генри Дьюдени

Леонардо да Винчи

Особо динамичное доказательство придумал в начале XX века нью-йоркский профессор математики Герман фон Баравалле. На рисунке показано, как большой квадрат, подобно амебе, делится на два меньших. Затемненные участки сохраняют свою площадь на каждом шаге. На шаге 4 два параллелограмма «скашиваются» за пределы области, а далее на шаге 5 эти параллелограммы преобразуются в квадраты, и — зри! — теорема доказана.

Доказательство Баравалле подобно наиболее общепринятому в математической литературе — тому, которое пошло от Евклида (около 300 года до н. э.).

Доказательство теоремы Пифагора, предложенное Германом фон Баравалле

Евклид — самый знаменитый греческий математик после Пифагора — жил в Александрии. В его шедевре «Начала» содержится 465 теорем, которые отражали объем знаний, доступных грекам того времени. Греческая математика почти целиком состояла из геометрии — слово это происходит от греческих слов, означавших «земля» и «измерение»,— хотя содержание «Начал» и не имело отношения к устройству реального мира. Евклид действовал в абстрактном мире точек и линий. Средства, которыми он разрешал себе пользоваться, представляли собой лишь карандаш, линейку и циркуль, — по каковой причине именно они стали основным содержимым детских пеналов на протяжении столетий.

Первая задача Евклида — книга 1, предложение 1 — состояла в том, чтобы показать, что по любому заданному отрезку можно построить равносторонний треугольник (то есть треугольник с тремя равными сторонами), причем со стороной, равной заданному отрезку. Он использовал следующий метод:

Шаг 1

Поставим острие циркуля в один из концов заданного отрезка и нарисуем окружность, проходящую через другой его конец.

Шаг 2

Повторим предыдущий шаг, поставив циркуль в другой конец отрезка. Получатся две пересекающиеся окружности.

Шаг 3

Проведем два отрезка, соединяющие одну из точек пересечения двух окружностей с концами исходного отрезка.

Затем Евклид методично продвигается от предложения к предложению, для чего требуется установление немалого числа свойств линий, треугольников и окружностей. Например, предложение 9 показывает, как провести «биссектрису» угла — построить угол, который есть в точности половина данного угла. Предложение 32 утверждает, что внутренние углы треугольника в сумме всегда дают два прямых угла, или 180 градусов. «Начала» — это гимн педантичности и строгости. Ничто никогда не принимается на веру. Каждая строчка логически следует из предыдущих. И тем не менее, исходя из всего нескольких основных аксиом (о них мы будем говорить позже), Евклид приводит впечатляющий набор неопровержимых результатов.

Первая книга завершается великолепным предложением 47. В издании 1570 года — первом английском переводе — имеется такой комментарий: «Эту самую замечательную и знаменитую теорему впервые открыл великий философ Пифагор, который так оттого возрадовался, что принес в жертву быка, как о том пишут Гиерон, Прокл, Дикий и Витрувий. И позднейшие варварские авторы называли ее Дулкарнон». «Дулкарнон» означает «двурогий», или «зашел ум за разум» — возможно, потому что рисунок, иллюстрирующий доказательство, содержит два похожих на рога квадрата, а быть может, потому что понять его действительно очень и очень непросто.

«Начала», книга 1, предложение 1.

Евклидово доказательство теоремы Пифагора лишено намека на изящество. Оно длинное, методичное, извилистое и требует рисунка, изобилующего линиями и наложенными друг на друга треугольниками. Выдающийся немецкий философ XIX века Артур Шопенгауэр заметил, что оно настолько неоправданно сложно, что представляет собой «блестящий образчик извращенности». Справедливости ради скажем, что Евклид не ставил перед собой задачу превратить доказательство в игру (как Дьюдени), или сделать его эстетским (как Аннаиризи), или интуитивным (как Баравалле). Евклида волновала — зато всерьез — одна только строгость его дедуктивной системы.

Тогда как Пифагор усматривал чудесное в числах, Евклид в своих «Началах» выявил более глубокую красоту — неопровержимую систему математических истин. Страница за страницей он демонстрирует, что математическое знание радикально отличается от любого другого. Предложения, доказанные в «Началах», не имеют срока давности. Они не становятся менее верными или даже менее актуальными с течением времени (это — причина, по которой Евклида изучают во всех школах мира, а греческих драматургов, поэтов и историков — нет). Мощь Евклидова метода внушает трепет. Про Томаса Гоббса — разносторонне одаренного человека, жившего в Англии в XVII веке, — говорят, что, когда ему было уже 40 лет, взгляд его как-то упал на «Начала», лежавшие открытыми в библиотеке. Он прочитал одно предложение и воскликнул: «Боже мой, не может быть!» Тогда ему пришлось прочитать предыдущее предложение, затем вернуться еще на одно назад, и так далее, пока он не убедился, что все верно. В результате он влюбился в геометрию из-за определенности, которую она предписывает, и дедуктивный подход оказал влияние на его самые знаменитые работы по политической философии. Начиная с «Начал» логическая аргументация стала золотым стандартом всех научных изысканий.

Евклид принялся за нарезание двумерного пространства на семейство фигур, известных как многоугольники — фигуры, построенные лишь из отрезков прямых линий. С помощью циркуля и линейки он сумел построить не только равносторонний треугольник, но и квадрат, пятиугольник и шестиугольник. Многоугольники, в которых все стороны имеют одну и ту же длину, а все углы между сторонами одинаковы, называются правильными. Интересно, что метод Евклида работает не для всех правильных многоугольников. Семиугольник, например, нельзя построить циркулем и линейкой, зато восьмиугольник — можно, но девятиугольник снова нельзя. Между тем сумасшедше сложный правильный многоугольник с 65 537 сторонами построить можно — более того, он был реально построен. (Такое число сторон выбрано потому, что оно равно 216 + 1.) Немецкий математик Иоган Густав Гермес, начав в 1894 году, потратил на эту работу десять лет[16].

Одна из задач, которые ставил перед собой Евклид, заключалась в исследовании трехмерных фигур, которые можно создать, соединяя друг с другом одинаковые правильные многоугольники. Оказывается, вариантов всего пять: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр — пятерка тел, известных как Платоновы тела с тех пор, как Платон написал о них в одном из своих важнейших трактатов «Тимей» (360 до н. э.). Платон соотнес их с четырьмя стихиями, составляющими Вселенную, добавив к ним божественное пространство, которое всех их окружает. Тетраэдру отвечал огонь, кубу — земля, октаэдру — воздух, икосаэдру — вода, а додекаэдру — охватывающий купол. Платоновы тела особо интересны тем, что они полностью симметричны. Их можно крутить, вертеть или как угодно переворачивать, и они всегда будут оставаться неизменными.

Платоновы тела

В тринадцатой, заключительной, книге «Начал» Евклид доказал, почему имеется только пять Платоновых тел. Он рассмотрел все объемные объекты, которые можно собрать из правильных многоугольников: сначала равносторонний треугольник, затем квадраты, пятиугольники, шестиугольники и т. д. На рисунке показано, как он пришел к своему выводу. Чтобы построить объемный объект из многоугольников, необходима точка, в которой сходятся три стороны: такой угол называется вершиной. При соединении в вершине, например, трех равносторонних треугольников получается тетраэдр (А). При соединении четырех — пирамида (В). Такая пирамида — не платоново тело, потому что не все стороны у нее одинаковы, но, приклеив к ее дну отраженную пирамиду, получаем октаэдр — платоново тело. Соединение вместе пяти равносторонних треугольников дает начало икосаэдру (С), а вот соединение шести — плоский лист бумаги (D). Не удается сконструировать телесный угол из шести равносторонних треугольников, так что нет других способов сделать из них какие-либо Платоновы тела. Повторение той же процедуры с квадратами показывает, что есть только один способ соединить три квадрата в угол (E). Это построение приведет к кубу. Соединение четырех квадратов дает плоский лист бумаги (F). Из квадратов более не удается построить Платоновых тел. Аналогичным образом, три пятиугольника образуют телесный угол, который можно достроить до додекаэдра (G). Невозможно соединить четыре пятиугольника. Три шестиугольника, соединяющиеся в одной точке, уже лежат в одной плоскости (H), так что из них невозможно создать объемный объект. Больше Платоновых тел нет, поскольку невозможно соединить в вершине три правильных многоугольника с более чем шестью сторонами.