Логика для всех. От пиратов до мудрецов - Инесса Раскина

Приложение к занятию 10 Продолжаем играть в мудрецов

– Кто больше знает, дурак или мудрец?

– Дурак. Мудрец во всем сомневается.

Если игра в мудрецов и колпаки вызвала интерес, подобную деятельность можно продолжить. Предлагаем еще три сюжета о мудрецах с возможными сценариями. Первые два сюжета требуют различного реквизита, но математически близки и могут быть разыграны как на разных занятиях, так и на одном и том же. Склеивать же все три в одно тематическое занятие вряд ли целесообразно.

Важно, чтобы все участники осознали, что мудрецы по правилам игры никогда не действуют наобум, а говорят только то, в чем уверены. Если школьник-«мудрец» случайно верно называет цвет своего колпака (или число), хотя по-честному следовало сказать «Не знаю», надо показать, что колпак (число) мог быть и другим, и «казнить» «мудреца».

Предложено два порядка обсуждения задачи о пяти мудрецах и трех цветах. Первый вариант уместен для сильного и многочисленного кружка: первая ситуация сложная, зато разбирается совместно; с более простыми ребята должны справиться сами. В упрощенном варианте те же ситуации разыгрываются и обсуждаются всем кружком вместе с руководителем. Одна и та же ситуация рассматривается в нескольких вариациях, математически аналогичных, но на первый взгляд кажущихся различными. Ситуации не отличаются принципиально от рассмотренных в первом варианте, поэтому мы ограничились ответами без обоснований. Этот вариант более игровой и динамичный и больше подходит для сообразительных ребят, мало занимавшихся математикой и не склонных к формальным доказательствам.

Все цвета радуги

Задача 10.12. Пяти мудрецам принесли колпаки всех семи цветов радуги и восьмой, белый, колпак. Затем мудрецов построили в затылок друг другу и надели каждому по колпаку. Каждый мудрец видит колпаки всех стоящих перед ним, но не видит ни своего колпака, ни колпаки стоящих сзади. Мудрецам сообщили, что белый колпак на кого-то надет. Затем по очереди, начиная с последнего, стали спрашивать каждого, знает ли он цвет своего колпака. Как только кто-то верно назовет цвет своего колпака, всем дадут по конфете. Но если он ошибется, всех казнят. Чем закончится эта история?

Сценарий. Руководитель кружка приглашает для инсценировки пятерых ребят и показывает всем восемь разноцветных колпаков. Количество «артистов» может быть иным, лишь бы колпаков оказалось больше. Затем рассказывает условие задачи, строит ребят и надевает на них колпаки, после чего спрашивает всех по порядку, начиная с последнего, о цвете его колпака. На первый раз лучше надеть белый колпак на достаточно сообразительного кружковца, стоящего ближе к началу, чтобы спросить его попозже. После того как ребята получат конфеты (или будут «казнены»), можно пригласить и других детей, чтобы в итоге каждый получил по конфете, а затем кто-то из обладателей белого колпака объяснит, как он догадался, а кто-то другой – почему он не мог угадать цвет своего колпака.

Ответ. Носитель белого колпака назовет его цвет, и каждый мудрец получит конфету.

Решение. Если последний мудрец видит перед собой кого-то в белом колпаке, он ответит «Не знаю», а если не видит, то скажет, что на нем белый колпак. Так же поведут себя и другие мудрецы, пока очередь не дойдет до того, на котором надет белый колпак. Он поймет: раз все говорили «Не знаю», значит, они видели кого-то в белом колпаке. Но я-то его не вижу. Значит, я сам в белом колпаке.

Пять мудрецов и три цвета

Задача 10.13. Пяти мудрецам принесли шесть колпаков: два желтых, два красных и два зеленых. Мудрецов построили в затылок друг другу и надели каждому по колпаку. Каждый мудрец видит колпаки всех стоящих перед ним, но не видит ни своего колпака, ни колпаков стоящих сзади. Затем по очереди, начиная с последнего, стали спрашивать каждого, знает ли он цвет своего колпака.

1) На мудрецов надеты колпаки в таком порядке: красный, желтый, зеленый, красный, желтый (а второй зеленый спрятан). Что ответят мудрецы?

Сценарий. Учитель может пригласить к доске пятерых мудрецов и надеть им колпаки указанных цветов. Если мудрец называет цвет своего колпака, он должен объяснить, как он рассуждал. Если он затрудняется, то зрителям хочется подсказать. Но просто назвать цвет колпака (который зритель видит) неинтересно, надо встать на место мудреца и порассуждать за него. Чтобы не забыть, кто что говорил, ответы можно писать на доске.

Решение. Пятый (последний) не знает, желтый на нем колпак или зеленый, и должен сказать «Не знаю». Четвертый видит перед собой колпаки трех разных цветов и не имеет никаких оснований «предпочесть» для себя один из них. Он тоже должен сказать «Не знаю». А вот третий знает, что колпаки всех трех цветов использованы (так как колпаков двух цветов всего четыре, а мудрецов пять). Но не видит перед собой зеленого колпака. И думает так: «Пятый мудрец, как и я, знал, что зеленый колпак на кого-то надет. Почему он не сказал, что на нем зеленый колпак? Потому что видел его на ком-то другом. Причем не на первом и не на втором. Может быть, зеленый колпак только у четвертого мудреца? Но тогда четвертый мудрец, не видя перед собой ни одного зеленого колпака, догадался бы, что на нем зеленый колпак. Так что про четвертого мудреца не знаю, а вот на мне точно зеленый колпак». Поэтому он скажет «Зеленый».

Второй, аналогично, знает, что желтый колпак на кого-то надет. Более того, он понимает, что это знали и другие мудрецы и думает так: «Почему пятый не сказал, что на нем желтый колпак? Потому что видел его на ком-то другом. Причем не на первом (на первом красный колпак). И не на третьем, который сказал «Зеленый». Может быть, на четвертом? Но если бы четвертый не видел перед собой желтого колпака, он бы догадался, что желтый на нем. Значит, четвертый и пятый видели желтый колпак на мне». Итак, второй угадывает, что на нем желтый колпак.

Аналогично и первый угадывает, что у него красный колпак.

Сценарий. Когда кто-то из детей догадается до решения и расскажет его, можно надеть колпаки на первый взгляд по-другому, а по сути так же: три первых колпака разных цветов, затем два любых разных колпака. Например, желтый, красный, зеленый, зеленый, желтый. Так можно делать, пока все не поймут, почему три первых мудреца могут определить свой цвет, а два последних нет.

После этого можно продолжать поочередно разыгрывать ситуации, меняя артистов и зрителей местами. Если ребят на кружке много, их можно разделить на группы: в каждой по пять мудрецов и хотя бы один человек, надевающий на них колпаки. Пусть каждая группа попробует экспериментально разобраться с пунктом 2. Те, кто справится быстрее, успеют подумать и про пункт 3 и рассказать решение всем. После этого каждой группе предлагается подобрать пример для пункта 4 и для начала проверить его в своей группе, а затем предложить на суд всего кружка. Точно так же, группа, решившая пункт 6, предлагает эту ситуацию другим группам. Придумать подходящий пример легче после решения пункта 5.

2) На мудрецов надеты колпаки в таком порядке: красный, красный, желтый, желтый, зеленый (а второй зеленый спрятан). Что ответят мудрецы?

Решение. Пятый мудрец понимает, что на ком-то есть зеленый колпак. Поскольку перед собой он видит только желтые и красные колпаки, то ответит: «На мне зеленый». Отсюда остальные мудрецы поймут, что пятый видит два желтых и два красных колпака (иначе он сказал бы «Не знаю») и что не использован зеленый колпак. А поскольку цвета остальных колпаков им известны (либо видны, либо верно названы другими мудрецами), то все по очереди верно назовут цвета своих колпаков.

3) Стоявший сзади мудрец верно ответил на вопрос. Докажите, что и остальные смогут определить цвета своих колпаков.

Решение. Как показано в предыдущем пункте, все мудрецы поймут, что спрятан колпак того же цвета, что и колпак, надетый на последнего мудреца. А поскольку цвета остальных колпаков им известны (либо видны, либо верно названы другими мудрецами), то все по очереди верно назовут цвета своих колпаков.

4) Один из мудрецов верно ответил на вопрос. Обязательно ли остальные после этого тоже смогут определить цвета своих колпаков?

Решение. Нет. Пусть, например, на мудрецов надеты красный, желтый, красный, зеленый, зеленый колпаки. Тогда пятый мудрец не сможет понять, зеленый или желтый колпак на нем, и скажет «Не знаю». Четвертый после этого поймет, что на нем не желтый колпак. Но и не красный, поскольку два красных он видит. Поэтому четвертый скажет «Зеленый». Но для третьего желтый и красный цвета останутся равноправны.

5) Докажите, что не менее трех мудрецов правильно определят цвет своего колпака.