Логика для всех. От пиратов до мудрецов - Инесса Раскина

Задача 9.8. Путешественник на острове рыцарей и лжецов пришел в гости к своему знакомому рыцарю и увидел его за круглым столом с пятью гостями.

– Интересно, а сколько среди вас рыцарей? – спросил он.

– А ты задай каждому какой-нибудь вопрос и узнай сам, – посоветовал один из гостей.

– Хорошо. Пусть каждый ответит на вопрос: кто твои соседи? – спросил путешественник.

На этот вопрос все ответили одинаково.

– Данных недостаточно! – сказал путешественник.

– Но сегодня день моего рождения, не забывай об этом, – сказал один из гостей.

– Да, сегодня день его рождения! – сказал его сосед. И путешественник смог узнать, сколько за столом рыцарей.

Сколько же их?

Задача 9.9. Саша и Маша загадали по натуральному числу и сказали их Васе. Вася написал на одном листе бумаги сумму загаданных чисел, а на другом – их произведение, после чего один из листов спрятал, а другой (на нем оказалось написано число 2002) показал Саше и Маше. Увидев это число, Саша сказал, что не знает, какое число загадала Маша. Услышав это, Маша сказала, что не знает, какое число загадал Саша. Какое число загадала Маша?

Задача 9.10. Есть 9 карточек с цифрами 1, 2…, 9. Их перетасовали, отдали четыре Ивану, четыре Василисе и одну Бабе-Яге. Иван сообщил вслух, что сумма цифр на его карточках оканчивается на 7.

1) Знает ли теперь Василиса карточку Бабы-Яги?

2) Знает ли теперь Баба-Яга набор карточек Василисы?

3) Может ли случится, что про какую-то карточку, кроме своей, Баба-Яга знает, у кого она находится?

Задача 9.11. Пять мудрецов играют в мафию. Среди них два мафиози, два мирных жителя и комиссар. Мафиози знают друг друга, комиссар знает все, мирные жители изначально ничего не знают. Мафиози могут говорить что угодно. Остальные говорят только то, в чем сами уверены. Состоялся разговор:

А: «Д – мирный житель».

Б: «Нет, Д – мафиози».

В: «Д не знает, кто я».

Г: «Д знает, кто я».

Д: «Б – мафиози».

Определите роли тех игроков, для кого это возможно.

Занятие 10

Околпаченные мудрецы

Три логика зашли в бар. На вопрос, все ли будут пить, первый ответил «Не знаю», второй – «Не знаю», а третий – «Да».

Это занятие составлено в форме вариаций на тему известной задачи о трех мудрецах. Его содержание в значительной степени позаимствовано из статьи М. Милга «Что сказал проводник?», опубликованной в журнале «Квант» (1973 г., № 8, стр. 38).

Задачи о мудрецах и колпаках сложнее большинства метаголоволомок предыдущего занятия по двум причинам.

Во-первых, одну задачу можно рассматривать как серию задач возрастающей сложности: каждый мудрец делает вывод на основании вывода предыдущего, который анализировал высказывание предыдущего, который анализировал… Чем выше уровень рекурсии, тем сложнее рассуждать за соответствующего мудреца. Во-вторых, вопрос «Что нового содержалось в такой-то информации?» на предыдущем занятии принимал форму подсказки, а на этом – парадокса.

Доступность столь непростого материала можно значительно повысить с помощью ролевой игры. Преимущество не столько в том, что детям нравится выходить к доске и играть роли мудрецов, сколько в абсолютной наглядности: утверждение «Когда на Ане был белый колпак, Сережа смог определить цвет своего колпака» понятнее, чем «Третий мудрец думает, что если бы на втором был белый колпак, то первый смог бы определить цвет своего колпака». Важно объявить, что мудрецы никогда не пытаются угадать ответ, а при недостатке информации честно отвечают «Не знаю». Можно предупредить, что за правильный ответ мудреца всего лишь похвалят, а за неправильный немедленно отрубят голову (обычно после пары «отрубленных» голов дети перестают отвечать наобум).

Заранее требуется подготовить колпаки двух цветов (в самом простом варианте для этого достаточно цветной бумаги формата А4, степлера и нескольких минут). В начале занятия не нужно раздавать детям отпечатанные условия задач. Вместо этого сначала разыгрывается как мини-спектакль условие задачи 10.1: руководитель приглашает «на сцену» нескольких участников кружка, завязывает им глаза и надевает колпаки в соответствии с условием и рекомендациями в обсуждении. Затем задает им указанные там же вопросы. Если «мудрец» верно отвечает на вопрос, он объясняет, как ему это удалось. Если «мудрец» не может назвать цвет своего колпака или не может обосновать случайно угаданный ответ, учитель обсуждает со зрителями, в чем дело; при этом можно на глазах у зрителей поменять цвет колпака и спросить: «А если бы было так?». Условие задачи 10.2 разыгрывается как продолжение последней ситуации задачи 10.1. Когда две первые задачи будут разобраны, следует сформулировать в виде вопроса комментарий ко второй задаче и коллективно найти ответ. Он необходим для понимания дальнейшего.

Если первые две задачи вызвали затруднения, третью лучше тоже разыграть аналогичным образом под руководством учителя с теми же или новыми «артистами». Если все прошло легко, можно выдать кружковцам условия и предложить каждому задачу 10.3 для самостоятельного обдумывания.

Задачу 10.4 можно считать основной задачей этого занятия для учащихся средней подготовки. Как ее разыгрывать, подробно написано в обсуждении. Желательно, чтобы все кружковцы в итоге хорошо в ней разобрались, не стоит жалеть на это времени. В зависимости от состава кружка можно разыграть все предложенные ситуации или только часть из них, сделать это по одному разу или повторять с разными «артистами».

Задача 10.5 может оказаться наиболее интересной для одних и непонятной даже после разбора для других. В зависимости от хода занятия учителю предлагается определить, ставить ли ее вообще и насколько подробно обсуждать.

Вероятно, и в задачах для самостоятельного решения ребятам потребуется помощь.

При решении задачи 10.6 можно разделить детей на группы по четыре человека (один будет надевать колпаки на трех других, потом перемена ролей) и предложить им самим выбрать количество колпаков и разобраться, сможет ли третий мудрец определить цвет своего колпака, а через некоторое время разыграть перед всеми участниками наиболее удачные сюжеты.

Задачу 10.7 легче понять, если вновь посадить тех же самых трех мудрецов «на сцене», а четвертого назначить из сидящих «в зале». Тогда он сможет рассуждать, опираясь на только что разобранную задачу о трех мудрецах. Затем попросить его перейти «на сцену» и назначить «в зале» пятого «мудреца».

Для разбора задачи 10.8 можно снова использовать ролевую игру. «На сцене» устанавливается стул, на него садится один ученик – «мудрец». Учитель – «проводник» сообщает ему, что в купе есть испачкавшиеся. Потом объявляет станцию. Ясно, что мудрец должен пойти умываться. Затем ставится второй стул для второго «мудреца», и ситуация разыгрывается заново и т. д.

Задачи 10.7 и 10.8 полезны и как подготовка к изучению в дальнейшем метода математической индукции. Стоит обратить внимание кружковцев на то, как полезно заменить утверждение для большого числа (или общее утверждение) цепочкой задач, следующих одна из другой, начиная с самой простой. А если кружок сильный, обратить также внимание на то, что слова «и так далее…» звучат недостаточно строго, а при изучении индукции вернуться к этим задачам.

Задачу 10.11 можно предложить в качестве домашнего задания, при этом приведенное в книге или подобное ему решение лучше разобрать заранее для полного понимания условия. А можно, наоборот, не решать сравнительно сложные задачи 10.6—10.10 и перейти к задаче 10.11 сразу после разбора задачи о трех мудрецах.

При желании можно разыгрывать в лицах и другие задачи о мудрецах, имеющиеся в следующей главе и в разделе дополнительных задач.

Задача о двух мудрецах

Задача 10.1. Двум мудрецам принесли один белый и два черных колпака. Затем им завязали глаза и надели каждому на голову по колпаку, а третий спрятали. После этого мудрецам развязали глаза, и каждый смог увидеть, какой колпак на голове у другого. Затем у первого мудреца спросили, какой колпак на голове у него самого, и он ответил правильно. Какие колпаки надели на головы мудрецам?

Обсуждение. Предлагается выбрать среди детей двух мудрецов и разыграть по очереди три ситуации:

1) Первому мудрецу надели черный колпак, а второму – белый.

2) Первому мудрецу надели белый колпак, а второму – черный.

3) Обоим мудрецам надели черные колпаки.

В первом случае «мудрец» должен объяснить всем, как он смог определить цвет своего колпака. Два других случая неотличимы с точки зрения первого мудреца (если первый «мудрец» ошибся, ему надо «отрубить голову», а если случайно угадал ответ, учитель может на глазах у зрителей подменить его колпак и сказать: «Могло быть и так, и тогда тебе отрубили бы голову»). В итоге дети должны сделать вывод: определить цвет своего колпака первый мудрец сможет, если видит на втором белый колпак, и не сможет, если видит черный.