Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц] - Всеволод Беллюстин

1 9 0 3 3 0 9 1

  2 7 8 5 3 0 6

———————————————

1 6 2 4 7 7 8 5;

Рѣшается онъ такъ: 4, дополненіе 6-ти до 10-ти, да 1, будетъ 5; 10, дополненіе нуля до 10-ти, да 8, потому что 1 занята, составитъ 18, изъ нихъ 8 пишемъ, а 1 сотню отбрасываемъ, потому что, когда мы брали дополненіе, то для этого намъ необходимо было имѣть сотню, а такъ какъ мы ея не занимали въ уменьшаемомъ, то и счеркиваемъ ее въ остаткѣ. Такъ же поступать надо и въ другихъ подобныхъ случаяхъ, именно когда дополненіе вычитаемаго вмѣстѣ съ разрядомъ уменьшаемаго дастъ болѣе 10-ти, то десятокъ счерки-вается. Способъ Адама Ризе былъ знакомъ его современникамъ, но особаго развитія и распространеиія онъ не получилъ. Онъ очень на-поминаетъ новый, пятый способъ, который помѣщаемъ ниже.

Четвертое правило вычитанія принадлежитъ арабскому ученому Алькальцади изъ Андалузіи (XV в.). Чтобы, напримѣръ, вычесть 287 изъ 573, надо сперва 7 простыхъ единицъ вычесть изъ 3-хъ. Конечно, 7 изъ 3-хъ не вычитается, но прежде чѣмъ занимать десятокъ, Алькальцади задается вопросомъ: много ли недостаетъ къ тремъ для того, чтобы изъ нихъ можно было вычесть семь? Оказывается, недостаетъ четырехъ. И вотъ мы занимаемъ теперь десятокъ изъ 7 десятковъ, раздробляемъ его въ единицы и вычитаемъ столько, сколько не хватало, т.-е. 4, въ остаткѣ будетъ 6. Такимъ же образомъ идетъ вычисленіе и съ десятками, и съ сотнями: 8 изъ 6, недостаетъ двухъ, вычитаемъ 2 изъ 10-ти, будетъ 8 десятковъ; на-конецъ, 2 сотни изъ 4 сотенъ дадутъ 2 сотни, веего 286.

Связь между способами первымъ, третьимъ и четвертымъ мы представимъ для ясности еще разъ на двузначныхъ числахъ. Возьмемъ 41–27. По первому способу необходимо 7 вычитать изъ 11-ти, по третьему 7 вычитается изъ десяти, и къ полученному прибавляется 1, а по четвертому изъ 10-ти вычитается недостатокъ единицы противъ 7-ми. Что касается второго способа, то въ немъ, какъ и въ первомъ, 7 вычитается изъ 11-ти, но за то потомъ, когда идетъ отниманіе десятковъ, не 2 десятка отнимается изъ 3-хъ, а 3 изъ 4-хъ.

Пятый и послѣдній способъ сходенъ по своей основной мысли со способомъ Адама Ризе. Въ немъ прибавляется къ разрядамъ уменьшаемаго дополненіе разрядовъ вычитаемаго, при чемъ дополненіе берется то до 10-ти, то до 9-ти: до десяти тогда, когда надъ цифрой уменьшаемаго не стоитъ точки, которая бы показывала, что здѣсь единица занята, а до 9-ти тогда, когда стоитъ точка. Примѣръ: 731–264. Чтобы произвести это вычитаніе по пятому способу, прибавляемъ къ одной простой единицѣ уменьшаемаго 6, т.-е. дополненіе 4-хъ единицъ вычитаемаго до 10-ти; получится 7. Далѣе беремъ десятки: 3 да 3 составитъ 6, при чемъ вторая тройка представляетъ собой дополненіе 6 десятковъ вычитаемаго до 9-ти, а до 9-ти потому, что надъ десятками уменьшаемаго стоитъ точка, какъ знакъ заниманія. Наконецъ, опредѣляемъ сотни: 7 да 7-мь 14, 4 беремъ, а 1 скидываемъ. Окончательный отвѣтъ будетъ 467. Теперь надо объяснить, почему мы такъ дѣлаемъ, и на чемъ основанъ этотъ способъ. Намъ требовалось отнять 264, а мы не только не стали отнимать, но даже начали прикладывать и приложили всего 7 сотенъ 3 десятка 6 единицъ. На сколько же мы ошиблись, благодаря тому, что вмѣсто отниманія 264-хъ прибавили 736? Очевидно, на 736+264, т. е. ровно на тысячу.

Эту свою ошибку мы и исправляемъ въ самомъ концѣ, отчеркивая у отвѣта тысячу. Если бы намъ данъ былъ примѣръ 34985322— 12467876, то вычисленіе получилось бы такое: 2+4=6, 2+2=4, 3+1=4, 5+2=7, 8+3=11, изъ этого лѣвая единица скидывается, 9+6=15, 4+8=12, 9+3=12, всѣ лѣвыя единины окидываются. Если нужно дѣйствіе производить поскорѣе, то лучше точки ставить не надъ уменьшаемымъ, а надъ вычитаемымъ. И вообще этотъ пятый способъ напоминаетъ собою второй епособъ тѣмъ, что занимаемую единицу можно считать приложенной къ вычитаемому, а не отнятой отъ уменьшаемаго.

Таблица умноженія

Твердое знаніе таблицы умноженія издавна требовалось отъ учениковъ и считалось совершенно необходимымъ. Составителемъ таблицы называютъ греческаго математика Пиѳагора или, вѣрнѣе, одного изъ его позднѣйшихъ учениковъ, новопиѳагорейца Никомаха (въ I ст. по Р. X.). Начиная съ Никомаха ни одинъ авторъ не забываетъ напоминать, что «преимущественно передъ всѣмъ слѣдуетъ хорошо знать таблицу». Авторы старинныхъ русскихъ математнческихъ сборниковъ также помѣщаютъ таблиду, или «границу умножалную» подъ титуломъ «граница изустная большему счету разумъ подаетъ хотящему въ нея зрѣти»; они тоже требуютъ заучиванія: «надобе сіи изустныя слова памятовати и въ памяти крѣпко держати, всегда во устѣхъ обносити, чтобы во умѣ незабыты были». Вотъ стихи изъ Магницкаго:

«Аще кто не твердитъ,Таблицы и гордитъНе можетъ познати,Числомъ что множати.И во всей науки,Не свободъ отъ муки.Колико ни учитъТуне ся удручитъ.И въ пользу не будетъ,Аще ю забудетъ».

Въ римскихъ школахъ таблицу заучивали хоромъ на распѣвъ. Въ нашихъ современныхъ учебникахъ по ариѳметикѣ таблица умноженія содержитъ въ себѣ обыкновенно произведенія всѣхъ однозначныхъ чиселъ, начиная съ 2×2 и кончая 9×9. Въ средніе вѣка смотрѣли на это дѣло иначе; тогда и въ ариѳметикѣ, и въ другихъ наукахъ давали большой просторъ памяти, а поэтому заучиваніе примѣняли широко; требованія въ этомъ отношеніи простирались такъ далеко, что ученики обязаны были запоминать произведенія всѣхъ первыхъ сорока чиселъ на однозначныхъ множителей, слѣдовательно 360 произведеній, кромѣ того, квадраты всѣхъ чиселъ, выраженныхъ полными десятками, кончая 90X90, и произведенія всѣхъ однозначныхъ чиселъ на полные десятки, кончая 9×90. Всего набирается болѣе 400 произведеній. И такую-то массу должна была поглотить память учащихся! Сколько же труда и сколько времени надо было истратить на это! Вѣдь учили прямо наизусть, безъ всякихъ разъясненій и въ громадномъ большинствѣ случаевъ безъ всякаго пониманія. Трудно и теперь ребятамъ, когда ихъ заставляютъ заучивать таблицу умноженія, не напрактиковавши ихъ, какъ она составляется; но неизмѣримо труднѣе приходилось ученивамъ средневѣковой школы, въ которой требовали гораздо больше, а давали гораздо меньше.[7]

Римляне, чтобы облегчить себѣ перемноженіе чиселъ, содержащихъ много разрядовъ, пользовались длиннѣйшими таблицами умноженія, въ которыхъ множителями служили всѣ числа до извѣстнаго предѣла. Съ такими таблицами—ихъ, конечно, не заучивали, а только держали всегда записанными подъ рукой—римляне довольно быстро вычисляли сложныя и трудныя произведенія.

Письменно таблица представляется въ различныхъ формахъ. Изъ нихъ самая общеизвѣстная—Пиѳагорова таблица; ея мы не помѣщамъ, она есть въ каждомъ учебникѣ. Но есть еще фигура треугольника.

Французскій математикъ Chuquet (1484 г.) представляетъ таблицу умноженія въ такой формѣ:

Про то, какъ составляется обыкновенная таблица умноженія, говорилось подробно въ большинствѣ учебниковъ и объяснялось нѣсколькими, иногда многими способами. Но пропускался самый главный и простой способъ, когда таблицу составляютъ послѣдовательнымъ сложеніемъ, или набираніемъ. Вмѣсто него приводились такіе запутанные и искуственные пріемы, что, дѣйствительно, гораздо легче было выучить таблицу наизусть, не понимая ея, чѣмъ запомнить эти пріемы и особенно понять ихъ; они представляли изъ себя не столько ариѳметическое содержаніе, сколько алгебраическія формулы и помѣщались, какъ видно, больше для того, чтобы придать курсу серьезную, научную окраску. Между прочимъ, встрѣчаемъ въ старыхъ ариѳметикахъ такое правило: «умножь перваго производителя на 10 и вычти отсюда произведеніе того же перваго производителя на дополненіе второго производителя до десяти»; это яснѣе видно на примѣрѣ: чтобы составить, напримѣръ, 4×7, надо 4 умножить на 10, будетъ 40, потомъ 4 на 3, потому что 3 служитъ дополненіемъ 7-ми до 10, будетъ 12, и, наконецъ, изъ 40 вычесть 12, тогда остатокъ 28 и составитъ произведеніе 4 на 7. Какія все это лишнія хлопоты и затрудненія! Они всегда неизбѣжны, если на дѣло смотрѣть не прямо и просто, а съ предвзятой точки зрѣнія, и въ данномъ случаѣ съ той ошибочной точки зрѣнія, что будто бы чѣмъ объясненіе или способъ труднѣе, тѣмъ научнѣе. Не можетъ же быть, чтобы авторы учебниковъ, люди довольно искусные въ изобрѣтеніи разныхъ пріемовъ, не замѣчали среди нихъ самыхъ простыхъ и естественныхъ; но они какъ бы стѣснялись высказать простое слово.

Педагогика римлянъ и грековъ въ этомъ отношеніи гораздо разумнѣе средневѣковой, она смотрѣла на науку практичнѣе и старалась сдѣлать ее ясной и доступной. Не даромъ римлянамъ принадлежитъ умѣнье составлять таблицу на пальцахъ, о чемъ сказано выше.

Развитіе нормальнаго пріема умноженія

Намъ, привыкшимъ къ опредѣленному порядку умноженія, представляется чѣмъ-то страннымъ, что могутъ существовать еще другіе способы; настолько мы сжились съ своимъ. А между тѣмъ ихъ очень много, и ни въ какомъ другомъ дѣйствіи не встрѣчается такого большого разнообразія, какъ въ умноженіи. Въ старину всякій авторъ выбивался изъ силъ, чтобы дать отъ себя какое-нибудь измѣненіе или улучшеніе. Мы приведемъ всего 27 способовъ, не ручаясь, конечно, за то, что здѣсь они всѣ безъ остатка; весьма возможно, что есть и еще, скрытые въ тайникахъ книгохранилищъ, разбросанные въ многочисленныхъ, главнымъ образомъ, рукописныхъ сборникахъ. Мы начнемъ съ современнаго нормальнаго способа и постепеино перейдемъ къ тѣмъ, которые болѣе всего отъ него уклоняются.