Занимательная математика - Георгий Гамов

— Не думаю, чтобы такое решение можно было найти. Мне кажется, что траектории ракет имеют форму весьма замысловатых геометрических фигур.

— Вся хитрость в том и состоит, что знать траектории ракет тебе совсем не нужно. Все, что необходимо иметь в виду для решения, — простой и очевидный факт: во время полета четыре ракеты располагаются в вершинах квадрата, который сжимается и поворачивается по часовой стрелке. Забудем о вращении и сосредоточим внимание только на сжатии квадрата. Так как ракеты нацелены друг на друга, скорость каждой ракеты всегда направлена вдоль одной из сторон сжимающегося квадрата на ракету, расположенную в соседней вершине. Следовательно, скорость, с которой сжимаются стороны квадрата, равна скорости ракет, т. е. составляет 1 милю в секунду. А так как первоначально каждая ракета находилась на расстоянии 20 миль от цели, от запуска до столкновения ракет проходит 20 секунд.

— Очень, очень интересно, — произнес Джек. — Надо будет как-нибудь на маневрах проверить решение на четырех истребителях. Вот потеха поличится!

— А вот еще одна задача, которая, возможно, заинтересует вас, друзья, — вмешался в разговор другой летчик. — Предположим, что вы получили задание доставить бомбу в некоторую удаленную точку земного шара, расстояние до которой но много раз превосходит дальность полета без дозаправки имеющегося в вашем распоряжении самолета. Вам не остается ничего другого, как воспользоваться методом дозаправки в воздухе. Предположим, что одновременно с одного и того же аэродрома взлетают несколько одинаковых самолетов, которые дозаправляют друг друга в воздухе и постепенно, один за другим, прекращают полет.

Сколько самолетов понадобится вам для выполнения задания? Для простоты мы будем предполагать, что расход топлива измеряется в милях на галлон[15] и не зависит от нагрузки самолета.

— Знаешь, мы все слишком устали, чтобы решать такие сложные задачи, поэтому ты просто сообщи нам решение, — предложил один из летчиков.

— Будь по-вашему. Предположим, что первоначально в вашем распоряжении имеется n одинаковых самолетов, включая тот, на борту которого находится бомба, и что топливные баки всех самолетов перед вылетом полностью заправлены. В полете наступает такой момент, когда в баках любого из п самолетов топлива остается ровно столько, сколько необходимо для полной заправки топливных баков всех (n — 1) остальных самолетов. Например, если с аэродрома в полет отправились 10 самолетов и каждый нес в топливных баках 10 000 галлонов топлива, то они летят до тех пор, пока у каждого не останется по 9000 галлонов топлива. В этот момент все топливо, находящееся на борту одного из 10 самолетов, используется для дозаправки 9 остальных самолетов, самолет с опустошенными баками прекращает полет, а остальные самолеты продолжат полет с полностью заправленными топливными баками. Следующая дозаправка производится, когда запас топлива в баках каждого самолета уменьшится на 1/9.

Самолет-заправщик, отдав все имевшееся у него топливо, совершает посадку, а остальные 8 самолетов с полностью заправленными топливными баками продолжают полет. Следующие дозаправки производятся, когда запас топлива в баках калсдого самолета уменьшится на 1/8, 1/7 и т. д., пока не останется один-единственный самолет, на борту которого находится бомба. Израсходовав все топливо до последней капли, он достигает цели и сбрасывает бомбу.

Обозначив дальность полета без дозаправки через R, количество самолетов — через п, мы получаем формулу для расстояния до цели, которое может преодолеть самолет — носитель бомбы:

Например, при n = 10 сумма в квадратных скобках равна 2.929. Это означает, что при такой схеме дозаправки, о которой я только что рассказал, можно долететь до цели, находящейся почти втрое дальше, чем позволяет дальность полета отдельно взятого самолета.[16]

Эпилог. Мораль

Книга была написана. Мы втроем, Гамов, Стерн и еще один любитель задач-головоломок Теодор фон Карман,[17] сидели в ресторанчике в Вудз Хоул за бутылкой сливовицы. Возник вопрос, поровну ли поделен крепкий напиток.

— Предположим, что все трое из нас — законченные эгоцентристы. Можем ли мы разделить сливовицу так, чтобы каждый из нас был удовлетворен, если ему достанется не меньше сливовицы, чем любому другому? — спросил Гамов. — Мы хорошо знаем, как решается эта задача в случае, когда спорят двое завистливых детей. Один из спорщиков делит предмет спора на две части, которые он считает равноценными, а другой получает право выбрать любую из двух частей по своему усмотрению. Как следовало бы обобщить эту задачу о справедливом разделе на случай трех участников спора?

Фон Карман, улыбнувшись, обратился к Стерну:

— Позвольте мне слегка переформулировать задачу, после чего вы, я в этом просто уверен, не сможете не решить ее. Рассмотрим задачу, которая ставится так: каждый из нас должен быть удовлетворен, если ему достанется по крайней мере причитающаяся ему доля сливовицы (т. е. по крайней мере 1/3 содержимого бутылки). Теперь для вас не составит труда решить задачу.

— Действительно, кажется, я понял, как решить задачу, — сказал Стерн. Фон Карман делит сливовицу на три порции, которые он считает равными, и поэтому будет удовлетворен, получив любую из них.

Если Гамов считает, что в рюмке А сливовицы больше, чем в В или С, а я считаю, что больше всего сливовицы налито в рюмку В, то никаких осложнений не возникает. Гамов берет себе рюмку А, я — рюмку В, а фон Карман получает рюмку С. Затруднение может возникнуть только в том случае, если и Гамов, и я сочтем, что больше всего сливовицы оказалось налитой в рюмку А. Но и в этом случае, если мы оба согласимся, что в рюмке В сливовицы больше, чем в рюмке С, то задача существенно упрощается. Гамову и мне необходимо разделить содержимое рюмок В и С так, как это делают двое детей в задаче о честном разделе, а фон Карману достанется рюмка С.

Единственная трудность возникает в том случае, когда и Гамов и я сочтем, что больше всего сливовицы в рюмке А, но при этом Гамову будет казаться, что в рюмке В сливовицы больше, чем в рюмке С, а мне — что в рюмке С сливовицы больше, чем в рюмке В. В этом случае я предоставлю Гамову разделить содержимое рюмок А и В так, как ему кажется будет поровну. При этом он перельет часть сливовицы из рюмки А в рюмку В.

Если после переливания я буду по-прежнему думать, что в рюмке А сливовицы больше, чем в любой из двух остальных рюмок, и возьму ее себе, то Гамову не останется ничего другого, как выбрать рюмку В, поскольку до переливания он считал, что меньше всего сливовицы в рюмке С, а это означает, что в С заведомо меньше 1/3 всей сливовицы.

Разумеется, фон Карман предпочел бы выбрать рюмку В, так как после того, как он разлил поровну (как ему казалось) сливовицу по трем рюмкам, Гамов добавил в В сливовицы из рюмки А. Но поскольку задача сформулирована так, что каждый из нас должен быть удовлетворен, если получит по крайней мере причитающуюся ему долю спиртного, т. е. 1/3 всей сливовицы, фон Карман не сможет протестовать, даже если Гамов выберет рюмку В.

Если же после того, как Гамов отольет сливовицу из рюмки А в рюмку В, то в силу тех же соображений я бы выбрал рюмку В. Гамов довольствовался бы рюмкой А, а фон Карману досталась бы рюмка С.

Если бы после переливания я решил выбрать рюмку С, то фон Карман мог бы взять рюмку В, а Гамов должен был бы взять рюмку А.

Выслушав решение, фон Карман улыбнулся:

— Теперь вы понимаете, почему я слегка изменил условия задачи?

Вместо того чтобы каждый из нас считал себя удовлетворенным, если ему досталось по крайней мере столько же сливовицы, сколько любому из остальных, я предложил, чтобы каждый из нас довольствовался, получив не менее причитающейся ему честной доли 1/3 сливовицы.

Один из этапов вашего решения показывает, что задача в первоначальной формулировке неразрешима.

Эту головоломку, мне кажется, можно по праву отнести к проблемам с моралью из области человеческих отношений.

Примечания

1

Принятые в Квазиабабии торговые единицы веса воспроизводят систему единиц, имевших хождение в Англии, США и Странах Содружества до введения метрической системы. В 1 торговом фунте 16 унций (453,59 г). В 1 унции 28,35 г. (Унция делилась на 16 драхм {по 1,77 г), драхма — на 3 скрупулы (по 0,59 г) и скрупула — на 10 гран (но 0,059 г)). — Прим. перев.