Загадки и диковинки в мире чисел - Яков Перельман

1ф.,3ф.,9ф.,27ф.

Любое целое число фунтов, в пределах одного пуда, вы можете отвесить такими гирями, кладя их то на одну, то на обе чашки весов. Не приводим примеров, потому что каждый легко может убедиться сам в полной пригодности такого набора гирь для нашей цели. Остановимся лучше на том, почему именно указанный ряд обладает этим свойством. Вероятно, читатели уже заметили, что числа эти – ряд степеней числа 3 [27] .

30, 31, 32, 33.

Другими словами, мы обращаемся здесь к услугам троичной системы счисления. Но как воспользоваться ею в тех случаях, когда требуемый вес получается в виде разности двух гирь? И как избегнуть необходимости обращаться к удвоению гирь (в троичной системе ведь, кроме нуля, употребляются две цифры: 1 и 2)? То и другое достигается введением «отрицательных» цифр; дело сводится попросту к тому, что вместо цифры 2 употребляют 3–1, т. е. цифру единицы высшего разряда, от которого отнимается одна единица низшего. Например, число 2 в нашей видоизмененной троичной системе обозначится не 2, а 11, где знак минус над цифрой единиц означает, что эта единица не прибавляется, а отнимается. Точно так же число 5 изобразится не 12, а 

(т. е. 9–3 – 1 = 5). Первые десять чисел изобразятся в этой упрощенной троичной системе следующим образом:

Теперь ясно, что если любое число можно изобразить в троичной системе с помощью нуля (т. е. знака отсутствия числа) и одной только цифры, именно прибавляемой или отнимаемой единицы, – то из чисел 1,

3, 9, 27 можно, складывая или вычитая их, составить все числа от 1 до 40. Случай сложения отвечает при взвешивании тому случаю, когда все гири помещаются на одну чашку, а случай вычитания – когда гиря кладется на чашку с товаром и, следовательно, вес ее отнимается от веса остальных гирь. Нуль соответствует отсутствию гири.

Применяется ли эта система на практике? Как известно, нет. Всюду в мире, где введена метрическая система мер, применяется набор в 1, 2, 2, 5 единиц, а не 1, 3, 9, 27, – хотя первым можно отвешивать грузы только до 10 единиц, а вторым – до 40. Не применяется набор 1, 3, 9, 27 и там, где еще метрическая система не введена [28] . Причина отказа на практике от этого совершеннейшего разновеса кроется в том, что он удобен только на бумаге, на деле же пользоваться им весьма хлопотливо. Если бы приходилось только отвешивать заданное число весовых единиц – например, отвесить 400 г масла или 2500 г сахара, – то системой гирь в 100, 300, 900, 2700 можно было бы еще на практике пользоваться (хотя и тут приходилось бы каждый раз долго подыскивать соответствующую комбинацию). Но когда приходится определять, сколько весит данный товар, то подобный разновес оказывается страшно неудобным: здесь нередко, ради прибавления к поставленным гирям одной единицы, придется произвести полную замену прежней комбинации другой, новой. Отвешивание становится при таких условиях крайне медленным и притом утомительным делом – в чем легко убедиться, если, написав обозначения гирь на бумажках, проделать с ними ряд примерных взвешиваний.

Фокусы, основанные на пользовании двоичной и троичной системами счисления, могут быть еще видоизменяемы [29] – но я предоставляю их изобретательности читателя и перехожу к арифметическим фокусам иного рода.

Предсказать сумму ненаписанных чисел

Нас поражает уменье некоторых людей с необыкновенной быстротой складывать столбцы многозначных чисел. Но что сказать о человеке, который может написать сумму еще раньше, чем ему названы все слагаемые? Этот фокус обыкновенно выполняется в таком виде. Отгадчик предлагает вам написать какое-нибудь многозначное число, по вашему выбору. Бросив взгляд на это первое слагаемое, отгадчик пишет на бумажке сумму всей будущей колонны слагаемых и передает вам на хранение. После этого он просит вас (или кого-нибудь из присутствующих) написать еще одно слагаемое – опять-таки какое угодно. А затем быстро пишет сам третье слагаемое. Вы складываете все три написанных числа – и получаете как раз тот результат, который заранее был написан отгадчиком на спрятанной у вас бумажке. Если, например, вы написали в первый раз 83267, то отгадчик пишет будущую сумму 183266. Затем вы пишете, допустим, 27935, а отгадчик приписывает третье слагаемое – 72064:

Получается в точности предсказанная сумма, хотя отгадчик не мог знать, каково будет второе слагаемое. Отгадчик может предсказать также сумму 5 или 7 слагаемых, – но тогда он сам пишет два или три из них. Никакой подмены бумажки с результатом здесь заподозрить вы не можете, так как она до последнего момента хранится в вашем собственном кармане. Очевидно, отгадчик пользуется здесь каким-то неизвестным вам свойством чисел.

Так оно и есть. Отгадчик пользуется тем, что от прибавления, скажем, к 5-значному числу числа из пяти девяток (99999) первое число увеличивается на 1000000 – 1, т. е. впереди него появляется единица, а последняя цифра уменьшается на единицу. Например:

Это число – т. е. сумму написанного вами числа и 99999 – отгадчик и пишет на бумажке как будущий результат сложения. А чтобы результат оправдался, он, увидев ваше второе слагаемое, выбирает свое, третье слагаемое так, чтобы вместе со вторым оно составило 99999, т. е. вычитает каждую цифру второго слагаемого из 9. Эти операции вы легко можете теперь проследить на предыдущем примере, – а также и на следующих примерах

Легко усмотреть, что вы сильно затрудните отгадчика, если ваше второе слагаемое будет заключать больше цифр, чем первое: отгадчик не сможет написать слагаемого, которое уменьшит ваше второе число для оправдания предсказанного им слишком малого результата. Поэтому опытный отгадчик предупредительно ограничивает свободу вашего выбора этим условием.

Фокус выходит внушительнее, когда в придумывании слагаемых участвует несколько лиц. После первого же слагаемого – например, 437692, отгадчик уже предсказывает сумму всех пяти чисел, а именно записывает 2437690 (здесь будет добавлено дважды 999999, т. е. 2000000 – 2). Дальнейшее ясно из схемы:

Предугадать результат ряда действий

Большое впечатление производят те арифметические фокусы, в которых отгадчик угадывает результат действий над совершенно неизвестными ему числами. Подобных фокусов существует много, и все они основаны на возможности придумать такой ряд арифметических действий, результат которых не зависит от чисел, над которыми они производятся.

Вот один из фокусов этого рода.

Признак делимости на 9 всем известен: число кратно 9, если сумма его цифр кратна 9. Припомнив, как выводится это правило, мы запасаемся еще и другим интересным положением: если от числа отнять сумму его цифр, то получается остаток, кратный 9 (положение это доказывается попутно при выводе признака делимости на 9). Точно так же мы получим число, кратное 9, если отнимем от данного числа другое, которое составлено из тех же цифр, но размещенных в другом порядке. Например: 457 – (4 + 5 + 7) = 441, т. е. числу, кратному 9; или: 7843–4738 = 3105, числу, кратному 9 [30] .

Уже и сказанным можно непосредственно воспользоваться для выполнения несложного фокуса. Предложите товарищу задумать любое число; затем, переставив его цифры в ином, каком угодно порядке, вычесть меньшее число из большего. В полученном результате ваш товарищ зачеркивает одну цифру – безразлично какую – и читает вслух оставшиеся цифры; а вы сразу же называете скрытую от вас, зачеркнутую сумму. Как вы отгадываете ее? Очень просто: вы знаете, что результат должен быть кратен 9, т. е. сумма его цифр должна без остатка делиться на 9. Быстро сложив в уме прочитанные вам цифры, вы легко можете сообразить, какой цифры не хватает, чтобы сумма была кратна 9. Например: задумано число 57924: после перестановки получено 92457.

 Вычитание дает результат 3?533, в котором знак вопроса стоит на месте зачеркнутой цифры. Сложив цифры 3 + 5 + 3 + 3, получаем 14. Нетрудно сообразить, что зачеркнута была цифра 4, потому что ближайшее большее число, кратное 9, есть 18, а 18-4 = 14.

Но тот же фокус можно обставить гораздо более эффектно, именно так, чтобы отгадать число, ничего не спрашивая у загадчика. Для этого проще всего предложить задумать трехзначное число с неодинаковыми крайними числами; затем, переставив цифры в обратном порядке, вычесть меньшее число из большего; в полученном результате переставить цифры и сложить оба числа. Окончательный результат всего этого ряда перестановок, вычитания и сложения вы называете изумленному загадчику без малейшего промедления или даже вручаете ему заранее в заклеенном конверте.

Секрет фокуса прост: какое бы число ни было задумано, в результате перечисленных действий всегда получается одно и то же: 1089. Вот несколько примеров:

(Последний пример показывает, как должен поступать загадчик, когда разность получается двузначная.)

Всматриваясь внимательно в ход выкладок, вы, без сомнения, поймете причину такого однообразия результатов. При вычитании неизбежно должна получаться в разряде десятков цифра 9, а по сторонам ее – цифры, сумма которых = 9. При последующем сложении должна поэтому получиться на первом справа месте цифра 9, далее, от 9 + 9, цифра 8 и единица в уме, которая при сложении с девятью сотнями дает 10. Отсюда – 1089.