Загадки и диковинки в мире чисел - Яков Перельман

Мы уже имели дело с такими числами – именно, когда знакомились со свойствами числа 999. Вспомнив сказанное там, мы сразу сообразим, что число 142857 есть, очевидно, результат умножения 143 на 999:

142857 = 143 × 999.

Но 143= 13 × 11. Припомнив замеченное раньше о числе 1001, равном 7 × 11 × 13, мы будем в состоянии предсказать, не выполняя действия, что должно получиться от умножения 142857 × 7:

142857 × 7 = 143 × 999 × 7 = 999 × 11 × 13 × 7 = 999 × 1001 = 999999

(все эти преобразования мы, конечно, можем проделать в уме).

Феноменальная семья

Только что рассмотренное нами число 142857 является одним из членов целой семьи чисел, обладающих теми же свойствами. Вот еще одно такое число 058823594117647

, причем 0 впереди также относится к этому числу. Если умножить это число, например, на 4, мы получим тот же ряд цифр, только первые 4 цифры будут переставлены в конец:

0588235294117647 × 4 = 2352941176470588.

Расположив цифры этого числа на ряде могущих вращаться колец, как в предыдущем случае, – мы при сложении чисел двух колец будем получать то же число, лишь смещенное в круговом порядке:

При кольцевом расположении все три ряда, конечно, тождественны.

От вычитания чисел двух колец опять-таки получается тот же круг цифр:

Наконец, это число, как и рассмотренное ранее шестизначное, состоит из двух половин: цифры второй половины являются дополнением цифр первой половины до 9. Нетрудно догадаться, каким образом приведенный числовой ряд оказался столь близким родственником числа 142857; если последнее число представляет собою период бесконечной дроби, равной 1/7, то наше число, вероятно, является периодом какой-нибудь другой дроби. Так оно и есть: наш длинный ряд цифр – не что иное, как период бесконечной дроби, получающейся от превращения в десятичную простой дроби 1/17:

1/17 = 0, (0588235294117647).

Вот почему при умножении этого числа на множители от 1 до 16 получается тот же ряд цифр, в котором лишь одна или несколько начальных цифр перенесены в конец числа. И наоборот – перенося одну или несколько цифр ряда из начала в конец, мы тем самым увеличиваем это число в несколько раз (от 1 до 16). Складывая два кольца, повернутых одно относительно другого, мы производим сложение двух умноженных чисел, например, утроенного и удесятеренного – и, конечно, должны получить то же кольцо цифр, потому что умножение на 13 вызывает лишь перестановку группы цифр, незаметную при круговом расположении.

При некотором положении колец получаются, однако, суммы, немного отличающиеся от первоначального ряда. Если, например, мы повернем кольца так, чтобы складывать пришлось шестикратное число с пятнадцатикратным, то в сумме должно получиться число, умноженное на 6 + 15 = 21. А такое произведение, как легко догадаться, составляется уже несколько иначе, чем произведение на множитель меньше 16. В самом деле: так как наше число есть период дроби, равной 1/17, то будучи умножено на 17, оно должно дать 16 девяток (т. е. столько, сколько их в подразумеваемом знаменателе периодической дроби), или 1 с 17 нулями минус 1. Поэтому при умножении на 21, т. е. на 4 + 17, мы должны получить четырехкратное число, впереди которого стоит 1, а от разряда единиц отнято 1. Четырехкратное же число начнется с цифр, получающихся при превращении в десятичную дробь простой дроби 4/17.

Порядок остальных цифр нам известен: 5294… Значит, 21-кратное наше число будет

2352941176470588,

столько именно и получается от сложения кругов цифр при соответственном их расположении. При вычитании числовых колец такого случая, разумеется, быть не может.

Чисел, подобных тем двум, с которыми мы познакомились, существует множество. Все они составляют словно одно семейство, так как объединены общим происхождением – от превращения простых дробей в бесконечные десятичные. Но не всякий период десятичной дроби обладает рассмотренным выше любопытным свойством давать при умножении круговую перестановку цифр. Это имеет место только для тех дробей, число цифр периода которых на единицу меньше знаменателя соответствующей простой дроби. Так, например:

Вы можете убедиться испытанием, что периоды дробей, получающихся от превращения 1/19 и 1/23 в десятичные, обладают теми же особенностями, как и рассмотренные нами периоды дробей 1/7 и 1/17. Если указанное сейчас условие (относительно числа цифр периода) не соблюдено, то соответствующий период дает число, не принадлежащее к занимающей нас семье интересных чисел. Например, 1/13 дает десятичную дробь с шестью (а не с 12) цифрами в периоде:

1/13 = 0,076923.

Помножив на 2, получаем совершенно иное число:

2/13 = 0,153846.

Почему? Потому что среди остатков от деления 1: 13 не было числа 2. Различных остатков было столько, сколько цифр в периоде, т. е. 6; различных же множителей для дроби 1/13 у нас 12, – следовательно, не все множители будут среди остатков, а только 6. Легко убедиться, что эти множители следующие: 1, 3, 4, 9,10, 12. Умножение на эти 6 чисел дает круговую перестановку (076923 × 3 = 230769), на остальные – нет. Вот почему от у получается число, лишь отчасти пригодное для «магического кольца». То же надо сказать и о целом ряде других периодов.

Как бы то ни было, нельзя не согласиться, что длиннейшие периоды бесконечных дробей представляют собою настоящую Калифорнию интереснейших арифметических достопримечательностей.

Глава VII Фокусы без обмана

Искусство индусского царя

Арифметические фокусы – честные, добросовестные фокусы. Здесь не стремятся обмануть, не стараются усыпить внимание зрителя. Чтобы выполнить арифметический фокус, не нужна ни чудодейственная ловкость рук, ни изумительное проворство движений, ни какие-либо другие артистические способности, требующие иногда многолетних упражнений. Весь секрет арифметического фокуса состоит в использовании любопытных свойств чисел, в близком знакомстве с их особенностями. Кто знает разгадку такого фокуса, тому все представляется простым и ясным; а для незнающего арифметики самое прозаическое действие, например умножение, кажется уже чем-то вроде фокуса.

Было время, когда выполнение даже обыкновенных арифметических действий над большими числами, знакомое теперь каждому школьнику, составляло искусство лишь немногих и казалось остальным людям какою-то сверхъестественною способностью.

В древнеиндусской повести «Наль и Дамаянти» [25] мы находим отголосок такого взгляда на арифметические действия. Наль, умевший превосходно править лошадьми, возил однажды своего хозяина, царя Ритуперна, мимо развесистого дерева – Вибитаки.

Вдруг он увидел вдали Вибитаку – ветвисто-густою

Сенью покрытое дерево. «Слушай, сказал он:

«Здесь на земле никто не имеет всезнанья; в искусстве

Править конями ты первый; зато мне далося искусство

Счета»…

И в доказательство своего искусства царь мгновенно сосчитал число листьев на ветвистой Вибитаке. Изумленный Наль просит Ритуперна открыть ему тайну его искусства, и царь соглашается.

…Лишь только

Вымолвил слово свое Ритуперн, как у Наля открылись

Очи, и он все ветки, плоды и листья Вибитаки

Разом мог перечесть…

Секрет искусства состоял, как можно догадаться, в том, что непосредственный счет листьев, требующий много времени и терпения, заменялся счетом листьев одной лишь ветки и умножением этого числа на число веток каждого сука и далее на число сучьев дерева (предполагая, что сучья одинаково обросли ветками, а ветки – листьями). Обыкновенное действие умножения казалось незнакомому с ним человеку чем-то загадочным, сверхъестественным.

Разгадка большинства арифметических фокусов столь же проста, как и секрет «фокуса» царя Ритуперна.

Стоит лишь узнать, в чем разгадка фокуса, и вы сразу овладеваете искусством его выполнять, как овладел легендарный Наль изумительным искусством быстрого счета. В основе каждого арифметического фокуса лежит какая-нибудь интересная особенность чисел, и потому знакомство с подобными фокусами не менее поучительно, чем занимательно.

Не вскрывая конвертов

Фокусник вынимает стопку из 300 денежных знаков, по 1 рублю каждый, и предлагает вам разложить деньги в 9 конвертах так, чтобы вы могли уплатить ими любую сумму до 300 рублей, не вскрывая ни одного конверта.

Задача представляется вам совершенно невыполнимой. Вы готовы уже думать, что фокусник просто желает поймать вас на недогадливости, что тут дело кроется в какой-нибудь коварной игре слов или неожиданном толковании их смысла. Но вот фокусник, видя вашу беспомощность, сам раскладывает деньги по конвертам, заклеивает их и предлагает вам назвать любую сумму в пределах трехсот рублей.

Вы называете наугад первое попавшееся число – 269.

Фокусник без малейшего промедления подает вам 4 заклеенных конверта. Вы вскрываете их и находите: