4. Кинетика. Теплота. Звук - Ричард Фейнман

Пусть N0 — число осцилляторов в основном состоянии (состоянии с наименьшей энергией), N1— число осцилляторов в состоянии Е1, n2— число осцилляторов в состоянии E2и т. д. Согласно гипотезе (которую мы не доказали), классические выражения для вероятности ехр(-п. э./kT) или ехр(-к. э./kT) заменяются в квантовой механике на ехр(-DE/kT), где DE — разность энергий, Можно утверждать, что число осцилляторов в первом состоянии N1равно произведению числа молекул в основном состоянии N0на ехр(-hw/kT). Аналогично, n2(число молекул во втором состоянии) равно N2=N0exp(-2hw/kT). Чтобы упростить алгебру, введем х=ехр(-hw/kT). Тогда все выглядит очень просто:

N1=N0x, N2=N0x2 ..., Nn=N0xn.

Сначала найдем полную энергию всех осцилляторов. Если осциллятор находится в основном состоянии, его энергия нуль. Если он находится в первом состоянии, то его энергия равна hw0, а таких осцилляторов N1. Значит, в этом состоянии запасена энергия N1hw, или hwN0x. Энергия осцил­лятора во втором состоянии 2hw0, а осцилляторов N2, поэтому мы получаем такую энергию: N22hw=2hw0N0x2 и т. д. Сложив все это, найдем полную энергию Eполн=N0hw (0+х+2х2+Зx3+...). А сколько всего осцилляторов? В основном состоянии, ко­нечно, N0, в первом состоянии Nlи т. д.; снова все сложим и получим Nвcе=N0(1+x+x2+x3+...). Поэтому средняя энергия равна

Читателям представляется возможность позабавиться этими суммами и получить от этого удовольствие. Когда вы покон­чите с суммированием и подставите в окончательный результат значение х, то получите, если не ошиблись

Эта формула была не только самой первой формулой, но и самой первой мыслью квантовой механики, и она явилась великолепным ответом на все недоумения предшествующих десятилетий. Максвелл уже понимал, что что-то неверно, но вопрос был в том, что же правильно? Здесь содержится коли­чественный ответ — что же надо взять вместо kT. Выражение для энергии, конечно, стремится к kT при w®0 или при Т®Ґ. Попробуйте это доказать — здесь надо поступить так, как этому учит математика.

Выражение для средней энергии содержит знаменитый обрезающий множитель, который предвидел Джине, и если использовать его вместо kT в (41.13), то мы получим распре­деление света в черном ящике:

Итак, мы видим, что при больших w кривая резко идет вниз; хотя в числителе стоит w3, знаменатель содержит е в чрезвы­чайно высокой степени; на кривой нет никакого намека на подъем, и там, где мы того не ждем, не появляется ни ультра­фиолетовых, ни рентгеновских лучей!

Может возникнуть недовольство в связи с тем, что при вы­воде (41.16) мы пользовались квантовой теорией для уровней энергии гармонического осциллятора, а при определении эф­фективного сечения ssмы оставались верны классической тео­рии. Но квантовая теория взаимодействия света с гармониче­ским осциллятором приводит точно к тем же результатам, что и классическая. Это обстоятельство оправдывает то время, которое мы затратили на изучение показателя преломления и рассеяние света, основанное на представлении об атоме как о маленьком осцилляторе, — квантовые формулы получаются точно такими же.

Теперь вернемся к шумам Джонсона в сопротивлении. Мы уже отмечали, что теория мощности шума, по существу, — та же самая, классическая теория излучения черного тела. На самом деле, как мы уже говорили, сопротивление в цепи — это не настоящее сопротивление, а похоже скорее на антенну (антенна ведь тоже похожа на сопротивление, она излучает энергию). Это радиационное сопротивление, и легко под­считать излучаемую им мощность. Эта мощность равна той мощности, которую антенна получает от окружающего ее света, и мы должны прийти к тому же самому распределению с точ­ностью до одного, двух множителей. Мы можем предположить, что сопротивление — это генератор с неизвестным спектром мощности Р(w). Найти распределение поможет то обстоятель­ство, что этот генератор, включенный в резонансную цепь произвольной частоты (как на фиг. 41.2, б), порождает на ин­дуктивности падение напряжения, определяемое равенством

(41.2). Это приведет нас к тому же интегралу, что и (41.10), а продолжая работать тем же методом, мы получим уравнение

(41.3). Для низких температур kT в (41.3), конечно, надо за­менить выражением (41.15). Две теории (излучения черного тела и шумов Джонсона) физически тесно связаны, так как мы можем связать резонансную цепь с антенной, тогда сопро­тивление R будет радиационным сопротивлением в чистом виде. Поскольку (41.2) не зависит от физических свойств сопротив­ления, генератор G для настоящего сопротивления и для ра­диационного сопротивления будет одинаковым. А что же будет источником генерируемой мощности Р(w), если сопротивление R — теперь просто-напросто идеальная антенна, находящаяся в равновесии с ее окружением при температуре Т? Это излу­чение в пространстве при температуре Т, которое обрушивается на антенну в качестве «принятого сигнала» и служит эффективным генератором. Следовательно, двигаясь от (41.13) к (41.3), можно найти прямое соответствие между P'(w) и I(w).

Объяснение явлений, о которых мы сейчас говорим (так называемый шум Джонсона, распределение Планка и теория броуновского движения, о которой мы собираемся говорить),— это достижения первого десятилетия нашего века. Узнав об этом и заглянув в историю, вернемся к броуновскому дви­жению.

§ 4. Случайные блуждания

Попробуем понять, насколько меняется положение танцу­ющей частицы за время, во много раз большее, чем промежуток между двумя ударами. Посмотрим на маленькую частицу, которая вовлеклась в броуновское движение и пляшет под непрерывно и беспорядочно сыплющимися на нее ударами молекул воды. Вопрос: Далеко ли отойдет частица от первона­чального положения, когда истечет заданное время? Эту задачу решили Эйнштейн и Смолуховский. Представим себе, что мы разделили выделенное нам время на малые промежутки, ска­жем, по одной сотой доле секунды, так что после первой сотой доли секунды частица оказалась в одном месте, в течение второй сотой секунды она продвинулась еще, в конце следующей сотой секунды — еще и т. д. При той скорости бомбардировки, которой подвергается частица, одна сотая секунды — огромное время.

Читатель легко может проверить, что число столкновений, которые испытывает одна плавающая в воде молекула, порядка 1014 в секунду, так что на одну сотую долю секунды приходится примерно 1012 столкновений, а это очень много! Естественно, что по прошествии одной сотой доли секунды частица не «по­мнит», что с ней было до этого. Иначе говоря, все столкновения случайны, так что каждый последующий «шаг» частицы совер­шенно не зависит от предыдущего. Это напоминает знаменитую задачу о пьяном моряке, который выходит из бара и делает несколько шагов, но плохо держится на ногах, и каждый шаг делает куда-то в сторону, случайно (фиг. 41.6).

Фиг. 41.6. Зигзагооб­разный путь из 36 слу­чайных шагов длиной L.

Как далеко расположена точка S36 от В? В среднем на 6L.

Так где же окажется наш матрос спустя некоторое время? Конечно, мы этого не знаем! И предсказать это невозможно. Все, что можно сказать, — это то, что он где-то наверняка находится, но это совершенно неопределенно. Ну хорошо, а далеко ли он все-таки уйдет? Каково будет то среднее расстояние от бара, на котором окажется матрос? На этот вопрос мы уже ответили, потому что мы однажды уже обсуждали суперпозицию света от огромного числа различных источников с различными фазами, а это значит, что мы складывали огром­ное число стрелок, направленных по произвольным направ­лениям (см. гл. 32) Тогда мы обнаружили, что средний квадрат расстояния от одного конца цепи беспорядочных шагов до другого (т. е. интенсивность света) равен сумме интенсивностей отдельных источников. Совершенно аналогично, используя ту же математику, можно немедленно показать, что если RN— векторное расстояние от начала через N шагов, то средний квадрат расстояния от начала пропорционален числу шагов N.