4. Кинетика. Теплота. Звук - Ричард Фейнман

Но откуда же эти флуктуации берутся? А все из-за сопро­тивления, точнее говоря, в результате пляски электронов в сопротивлении. Ведь они находятся в тепловом равновесии с остальным материалом сопротивления, а это приводит к флуктуациям плотности электронов. Таким образом они по­рождают крошечные электрические поля, управляющие резо­нансной цепью.

Инженеры-электрики объясняют все это иначе. Физичес­ки источником шумов служит сопротивление. Однако можно заменить реальную цепь с честным сопротивлением, вызываю­щим шумы, фиктивной цепью, содержащей маленький генератор, который якобы порождает шумы, а сопротивление теперь будет идеальным — оно уже не шумит. Все шумы теперь исходят от фиктивного генератора. Итак, если нам известны харак­теристики шума, порождаемого сопротивлением, и у нас для этого имеется подходящая формула, то можно рассчитать, как цепь реагирует на этот шум. Следовательно, нам нужна формула для шумовых флуктуации. Сопротивление одинаково хорошо порождает шумы всех частот, поскольку оно само от­нюдь не резонатор. Резонансная цепь, конечно, «слышит» лишь часть этого шума вблизи определенной частоты, а в соп­ротивлении заключено много и других частот. Силу генера­тора можно описать таким образом: выделяемая на сопро­тивлении средняя мощность, если оно непосредственно сое­динено с генератором шума, равна <E2>/R, где Е — снимаемое с генератора напряжение. Но теперь мы хотим знать подроб­нее о распределении мощности по частотам. Каждой определен­ной частоте соответствует очень малая мощность. Пусть P(w)dw — мощность, которую генератор посылает сопротивле­нию в интервале частот dw. Тогда можно доказать (мы дока­жем это для другого случая, но математика и там и тут оди­накова), что выделяемая мощность равна

P(w)dw=2/pkTdw(41.3) я, таким образом, не зависит от сопротивления.

§ 2. Тепловое равновесие излучения

Мы приступаем к обсуждению более сложной и интересной теоремы, суть которой состоит в следующем. Предположим, что унас имеется заряженный осциллятор, вроде того, о котором мы говорили, когда речь шла о свете. Пусть это будет электрон, колеблющийся в атоме вверх и вниз. А раз он колеблется, то излучает свет. Предположим теперь, что этот осциллятор попал в сильно разреженный газ, состоящий из других атомов, и время от времени эти атомы с ним сталкиваются. Когда в конце концов наступит равновесие, осциллятор приобретает такую энергию, что кинетическая энергия колебаний будет равна l/2kT, а поскольку это гармонический осциллятор, то полная энергия движения станет равной kT.

Это, конечно, неверно, потому что осциллятор несет электри­ческий заряд, а поскольку он обладает энергией kТ, то, качаясь вверх и вниз, он излучает свет. Поэтому невозможно получить равновесие только самого вещества без того, чтобы заряды не излучали свет, а когда свет излучается, утекает энергия, ос­циллятор со временем растрачивает энергию kT, а окружающий газ, сталкивающийся с осциллятором, постепенно остывает. Именно таким образом остывает за ночь натопленная с вечера печка, выпуская все тепло на воздух. Прыгающие в ее кирпи­чах атомы заряжены и непрерывно излучают, а в результате этого излучения танец атомов постепенно замедляется.

Но если заключить все атомы и осцилляторы в ящик, так чтобы свет не смог уйти в бесконечность, тепловое равновесие может наступить. Мы можем поместить газ в ящик, в стен­ках которого есть и другие излучатели, испускающие свет внутрь ящика, а еще лучше соорудить ящик с зеркальными стен­ками. Этот пример поможет лучше понять, что произойдет. Итак, мы предполагаем, что все излучение от осциллятора ос­тается внутри ящика. Осциллятор и в этом случае начинает излучать, но довольно скоро он все же соберет свое значение kT кинетической энергии. Происходит это потому, что сам ос­циллятор будет освещаться, так сказать, собственным светом, отраженным от стенок ящика. Вскоре в ящике будет много света и, хотя осциллятор продолжает излучать, часть света будет возвращаться и возмещать осциллятору потерянную им энергию.

А теперь подсчитаем, насколько должен быть освещен ящик при температуре Т, чтобы рассеяние света на осцилляторе обес­печивало его как раз такой энергией, какая нужна для под­держания излучения. Пусть атомов в ящике совсем немного и находятся они далеко друг от друга, так что наш осциллятор идеальный, не имеющий иного трения, кроме радиационного. Теперь заметим, что при тепловом равновесии осциллятор делает сразу два дела. Во-первых, он излучает, и мы можем подсчитать энергию излучения. Во-вторых, он в возмещение получает точно такое же количество энергии в результате рассеяния на нем света. Поскольку энергия ниоткуда больше притечь не может, то эффективное излучение — это как раз та часть «общего света», которая рассеялась на осцилляторе.

Таким образом, прежде всего мы вычисляем энергию, из­лучаемую в 1 сек осциллятором с заданной энергией. (Мы по­заимствуем для этого в гл. 32, посвященной радиационному трению, несколько равенств и не будем здесь приводить их выводы.) Отношение энергии, излученной за радиан, к энер­гии осциллятора называется 1/Q [см. уравнение (32.8)] : 1/Q= (dW/dt)/( w0W. Используя величину у (постоянную затуха­ния), можно записать это в виде 1/Q=g/w0, где w0— собствен­ная частота осциллятора, если g очень мала, a Q очень велико. Излученная за 1 сек энергия равна

Излученная за 1 сек энергия просто равна произведению g на энергию осциллятора. Средняя энергия нашего осциллятора равна kT, поэтому произведение g на kT — это среднее значе­ние излученной за 1 сек энергии:

<dW/dt>=gkT. (41.5)

Теперь нам нужно только узнать, что такое g. Эту величину легко найти из уравнения (32.12):

где r0= e2/mc2— классический радиус электрона, и мы положи­ли Я = 2pс/w0.

Окончательный результат для средней скорости излучения света вблизи частоты w0 таков:

Теперь надо выяснить, сильно ли должен быть освещен ос­циллятор. Освещение должно быть таким, чтобы поглощен­ная осциллятором энергия (и впоследствии рассеянная) была в точности равна предыдущей величине. Иначе говоря, излучен­ный свет — это свет, рассеянный при освещении осциллятором в полости. Итак, нам остается рассчитать, сколько света рас­сеивается осциллятором, если на него падает какая-то — неиз­вестная — доза излучения. Пусть I(w)dw— энергия света час­тоты w в интервале частот dw(ведь у нас нет света точно задан­ной частоты; излучение распределено по спектру). Таким образом, I(w) — это спектральное распределение, которое нам надо найти. Это тот цвет огня, который мы увидим внутри печи при температуре Т, если откроем дверцу и заглянем внутрь.

Сколько же все-таки света поглотится? Мы уже определяли количество излучения, поглощаемого из заданного падающего пучка света, и выразили его через эффективное сечение. Это соответствует тому, как если бы мы предполагали, что весь свет, падающий на площадку определенной площади, погло­щается. Таким образом, полная переизлученная (рассеянная) интенсивность равна произведению интенсивности падающего света I(w)dw на эффективное сечение а.

Мы вывели формулу для эффективного сечения [см. уравне­ние (31.19)1, не включающую затухания. Нетрудно повторить этот вывод снова и учесть трение, которым мы тогда пренебре­гли. Если это сделать, то, вычисляя эффективное сечение по прежнему образцу, мы получим

Пойдем дальше; ssкак функция частоты имеет более или менее заметную величину только для w около собственной час­тоты w0. (Вспомним, что для излучающего осциллятора Q — порядка 108.) Когда со равна w0, осциллятор рассеивает очень сильно, а при других значениях w он почти не рассеивает сов­сем. Поэтому можно заменить w на w0, а w2-w20 на 2w0(w-w0); тогда

Теперь почти вся кривая загнана в область около w=w0. (Фактически мы не должны делать никаких приближений, но легче иметь дело с интегралом, в котором подынтегральное вы­ражение несколько проще.) Если умножить интенсивность в данном интервале частот на эффективное сечение рассеяния, то получится энергия, рассеянная в интервале dw. Полная рассеянная энергия — это интеграл по всем w. Таким образом,