Психодинамика - Дмитрий Сочивко

А ∈ В ∧ В ∈ А, (1)

Выражение (1) означает, что каждый элемент множества В является элементом множества А и наоборот, каждый элемент множества А является элементом множества В. Легко видеть, что в этом и только в этом случае множества А и В состоят из одних и. тех же элементов. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называют равными или находящимися в отношении равенства, что записывают

А = В.

Таким образом, знак равенства означает, что А есть в точности то же самое множество, что и. В, но может быть по-другому заданное.

Способов же задания множества существует бесконечно много. Однако все их можно разделить на две группы: I) множество может быть задано перечислением своих элементов. В этом случае применяют запись

A = {а1, а2,…};

2) множество может быть задано условием, позволяющим отличать его элементы среди всех других. В этом случае каждый элемент множества удовлетворяет заданному условию и ни один элемент, не принадлежащий данному множеству, не удовлетворяет указанному условию. Тогда применяется следующая запись:

А = {а /условие}

Итак, мы определили понятия множества и подмножества. Полезно также ввести понятия надмножества как множества, содержащего данное множество:

A′ ⊃ A,

и понятие пустого множества, как множества, не содержащего ни одного элемента (обозначается Ø). Пустое множество по определению является подмножеством любого множества.

Введем теперь понятие объединения множеств. Множество С является объединением множеств А и В, если каждый элемент С является либо элементом А, либо элементом В. В принятой символике это можно записать так:

С = А ∪ В⇒ (∀ с ∈ С ⇒ с ∈ А v с ∈ В), (2)

Аналогично можно определить понятие пересечения двух множеств. Множество С является пересечением множеств А и В, если каждый элемент С является одновременно и элементом А и элементом В, т. е. С есть множество общих элементов А и В. Если, однако, у А и В о нет общих элементов, то С есть пустое множество. Это можно записать так:

С = А ∩ В ⇒ (с ∈ С ⇒ с ∈ А ∧ с ∈ В), (3)

Если В является подмножеством А, то можно определить понятие разность множеств А и В как множество тех элементов А, которые не являются одновременно элементами множества В.

В = АВ, (4)

Разность А и В называется также дополнением В в А.

Введем теперь понятие пары объектов. Этими объектами могут быть как элементы множеств, так и сами множества. В понятии пары кроме количества выбираемых объектов фиксируется также порядок их следования. Так, например, если A ≠ В, то две пары множеств (А, В) и (В, А) не являются равными: (А, В) ≠ (В, A). Рассмотрим теперь множество всех пар элементов множества А, оно называется декартовым квадратом множества и обозначается А2, Смысл такого названия в том, что если множество А содержит k элементов, то количество упорядоченных пар будет равно k2.

Итак, декартов квадрат множества А сам является некоторым множеством. Любое его подмножество будем называть бинарным отношением, заданным на множестве А. (Отметим, что все другие виды отношений, которые можно определить на множестве А, также являются подмножествами, но уже не декартова квадрата А, а любой другой декартовой степени А, т. е. являются множествами троек, четверок и т. д. элементов из А.)

Так как понятие отношения является одним из важнейших понятий современной психологии, остановимся подробнее на уяснении смысла его точного определения, приведенного выше. Первое, что бросается в глаза это то, что отношение является некоторым множеством. Это на первый взгляд противоречит тому смыслу, который вкладывается в понятие отношение в гуманитарных науках. На наш взгляд, это противоречие является только кажущимся. Действительно, когда говорят об отношениях личности, отношениях между людьми, отношениях человека к тем или иным объектам внешнего мира, то создается впечатление, что выражение отношения не предполагает наличия какого-то множества, над которым это отношение можно было бы задать.

Определим теперь некоторые важные свойства отношений. Возьмем для примера отношение родства между людьми. Обозначим его буквой Р (людей будем обозначать маленькими буквами латинского алфавита). Первое, что можно сказать об этом отношении, это то, что человек не является родственником самому себе, т. е. аРа. неверно. Такое отношение называется антирефлексивным. Если же отношение аРа – выполнено, т. е. пара (а, а) принадлежит Р, то такое отношение называется рефлексивным, т. е. обладает свойством рефлексивности. Например, отношение равенства является рефлексивным. Любой объект равен сам себе. Далее, если человек является родственником другого человека, то и тот является родственником данного. Далее, «если человек является родственником другого человека, а этот другой является родственником третьего, то этот третий также является родственником первого». Это можно записать так: если aPb ∧ bРс ⇒ аРс. Отношение, для любых трех элементов которого выполнено данное условие, называется транзитивным. Если это условие не выполнено хотя бы для одной тройки элементов, то отношение не является транзитивным. Если отношение аРb влечет bРа, то также отношение называется симметричным.

Рассмотрим теперь бинарное отношение R, обладающее следующими тремя свойствами:

1) aRa. (рефлексивность);

2) aRb ⇒ bRa (симметричность);

3) aRb ∧ bRc ⇒ aRc (транзитивность).

Отношение, обладающее указанными тремя свойствами, называется отношением эквивалентности. Примером такого отношения может быть отношение равенства. Действительно, любой объект всегда равен сам себе, если a = b, b = c, то a = c, и, конечно, если a = b, то b = a.

Отношение эквивалентности является чрезвычайно важным понятием для социальной психологии. Это обусловлено одной его особенностью. Если на множестве задано отношение эквивалентности, то данное множество оказывается разбито на подмножества (или классы), не имеющие общих элементов. Действительно, объединим в один класс все элементы, эквивалентные данному элементу a ⊂ А. Тогда в силу транзитивности отношения всех элементов внутри класса эквивалентности будут попарно эквивалентны, так как из aRb и aRс следует bRc. Таким образом, любой из элементов класса эквивалентности может быть выбран в качестве его представителя. А это значит, что если мы начнем построение класса с любого другого элемента b, то получим тот же самый класс, т. е. Ka = Kb. Если же элемент b не находится в отношении эквивалентности с элементом a-, то классы Kb и Кa не будут иметь ни одного общего элемента, в противном случае существовал бы один общий элемент, такой, что aRс влечет bRc, из чего в силу транзитивности следовало бы aRb, т. е. a и b принадлежат к одному и тому же классу. Мы получили противоречие, следовательно, классы эквивалентности не пересекаются, т. е. не имеют общих элементов.

Важным следствием является то, что объединение всех классов эквивалентности данного множества полностью покрывает исходное множество. Наглядно это можно себе представить так: если разрезать кусок ткани на несколько частей различной формы, а потом снова сшить их вместе (швы не принимая во внимание), то получим тот же самый кусок. С этой точки зрения отношение эквивалентности для психологов представлялось идеальной моделью типологии отдельных психических явлений и человеческих индивидов в целом, например, задающим разбиение множества на три класса: люди, не обладающие полом (гермафродиты), люди мужского пола, люди женского пола. Таким же является отношения «иметь одинаковый цвет волос, глаз, рост» и т. д. Однако не только антропометрические, но и некоторые социологические признаки позволяют представлять множества людей классами эквивалентности. В качестве примера можно привести отношение «иметь одинаковый стаж работы на данном предприятии». Если же мы обратимся далее к простейшим психологическим свойствам человека, таким, как свойства его темперамента, характера, личности, особенности восприятия или поведения в целом, то по этим свойствам мы уже не сможем подразделять людей на непересекающиеся множества, т. е. на классы эквивалентности. При этом, однако, следует отметить, что если процедура классификации индивидов разработана в соответствии с моделью эквивалентности, то применение этой процедуры, конечно, даст разбиение людей именно на классы эквивалентности. Вся беда в том, что, повторив эту процедуру несколько раз, мы получим совсем другое разбиение. Из этого следует, что модель множества людей с заданным отношением эквивалентности по данному признаку (например, по особенностям темперамента) неадекватно отражает действительность или, как считают авторы, использующие такую модель, не удается пока еще разработать подходящую процедуру классификации. Рассмотрим, однако, еще одно важное для психологии отношение, обладающее свойствами рефлексивности и симметричности, но не обладающее свойством транзитивности, такое отношение называется отношением толерантности. В качестве примеров можно привести отношения сходства или знакомства между людьми. Так, если один объект похож на другой, то и этот другой похож на первый (симметричность), при этом естественно, что каждый объект похож сам на себя (рефлексивность). Однако из того, что второй объект похож на некоторый третий, уже не следует, что и первый похож на третий сходство может утрачиваться. Так, если два человека знакомы и один из них знаком с третьим, то из этого не следует, что и первый знаком с третьим. Отношение толерантности также разбивает исходное множество на некоторые классы. Однако классы толерантности уже не являются непересекающимися. Попробуем рассмотреть Гиппократовские типы темпераментов не как классы эквивалентности, а как классы толерантности. Проанализируем с этой точки зрения тест Айзенка. Автор теста разработал опросник, который позволяет оценить личность человека по двум основным свойствам – экстравертированность (открытость человека внешнему миру, его общительность, заинтересованность и т. п.) и нейротизация (нервозность человека, его тревожность, боязнь общения и т. п.). Каждое из свойств измеряется по 24-балльной шкале, следовательно, каждому человеку может быть поставлена в соответствие пара чисел. Меланхолик характеризуется высоким нейротизмом и низкой экстраверсией, холерик – высоким нейротизмом и высокой экстраверсией, флегматик низкой экстраверсией и низким нейротизмом, сангвиник – высокой экстраверсией и низким нейротизмом. Легко видеть, что для некоторых пар типов характерно наличие одного общего свойства, а для других, напротив, характерно отсутствие общих свойств. Так, холерик и меланхолик одинаково характеризуются высоким нейротизмом, а флегматик и меланхолик имеют одинаково низкую экстравертированность. Напротив, холерик и флегматик не имеют между собой ничего общего. Отношение «иметь хотя бы одно общее свойство» является отношением толерантности. Действительно, каждый тип имеет сам с собой даже два общих свойства, и если он имеет общее свойство с «соседним» типом, то и тот имеет это же общее свойство с ним. Например, холерик и сангвиник находятся в отношении толерантности так же, как холерик и меланхолик, в то время как меланхолик и сангвиник – нет, также как и холерик и флегматик. Действительно, как на основе интуитивных представлений, так и из многочисленной литературы ясно, что сангвиника с меланхоликом, также как и флегматика с холериком спутать очень трудно. В то время как в зависимости от ситуации флегматик может вести себя как меланхолик или как сангвиник, холерик также может впадать в меланхолию или, напротив, быть спокойным как сангвиник. Таким образом, мы видим, что отношение толерантности, заданное на том же самом множестве, позволяет несколько с иной точки зрения взглянуть на проблемы психологических типов. Мы видим, что даже такие простейшие модели как множества с заданным отношением уже в существенной мере определяют направление исследовательского поиска. Легко понять, каким мощным орудием располагает исследователь, если он ясно представляет себе, с какой моделью работает.