100 Великих Книг - Юрий Абрамов

«Кто же не попадет в ворота [из лука]?», то в этом отношении исследовать истину легко; однако, что, обладая некоторым целым, можно быть не в состоянии владеть частью, — это показывает трудность исследования истины.

Аристотелю же принадлежит и наиболее известное, точное и работоспособное определение истины как знания, соответствующего действительности. Он же — главный провозвестник целой науки, дающей любому человеку мыслительные инструменты для постижения истины и оперирования знанием, а также достоверные приемы аргументации и способы доказательства. Наука эта получила названия логики. Соответствующие трактаты на данную тему составляют отдельный блок в корпусе Аристотелева канона и получили в истории науки звучное название «Органона». Но и «Метафизика» насквозь пронизана той же проблематикой. Это относится и к формулировке логических законов — противоречия и исключенного третьего, и к анализу апорий — логических затруднений, возникающих при попытке решить некоторые теоретические проблемы.

Аристотелю подчас казалось, что он нашел единственно возможное и правильное решение вопросов, стоявших перед человечеством. На самом деле он больше поставил новых вопросов, чем дал однозначных ответов. Но, может быть, в этом и есть смысл и ценность настоящей науки, когда при решении какой-то одной проблемы возникает множество других, требующих все новых и новых усилий в продвижении к истине. И процесс этот не прервется никогда!

14. ЕВКЛИД

«НАЧАЛА»

Евклид, пожалуй, единственный великий ученый, который ни при жизни, ни после смерти не подвергался критике, травле или инсинуациям. Он одинаково чтился представителями любых, даже самых непримиримых между собой направлений — ив математике, и в естествознании, и в философии. Написанная им книга с весьма распространенным в античные времена названием — «Начала» — настолько проста, стройна и убедительна, что с ходу обезоруживает любого противника. Сказанное вовсе не означает, что знакомство с великим творением александрийского математика напоминает чтение апулеевского «Золотого осла». Известен даже анекдот: когда царь Птолемей поинтересовался у своего ученого, нельзя ли ему как царю освоить премудрости математики побыстрее и без лишних усилий, Евклид ответил, что в геометрии «царского пути» не существует.

Общепризнанно, что в истории мирового научного книгопечатания — особенно на первых его порах — «Начала» Евклида занимают первое место. Известно более тысячи изданий знаменитого трактата, переведенного на разные языки, а до изобретения книгопечатания он распространялся в бесчисленных списках и долгое время служил самым распространенным и популярным учебником математики. Современные школьные учебники геометрии почти буквально повторяют первые шесть книг (а всего их — пятнадцать) Евклидовых «Начал». Изложение в них строится по безупречной логической схеме: из минимального набора определений, постулатов и аксиом по строго определенным правилам последовательно выводится ряд теорем. Знаменитые аксиомы Евклида, как они сформулированы в 1-й книге «Начал», даны в такой последовательности:

1. Равные тому же суть и взаимно равны.

2. Если к равным приложены равные, то и остатки равны.

3. Если от равных отнять равные, то и остатки равны.

4. Если к неравным приложены равные, то и целые неравны.

5. Если от неравных отнять равные, то и остатки неравны.

6. Двукратные того же суть взаимно равны.

7. Половины того же суть взаимно равны.

8. Совмещающиеся взаимно суть взаимно равны.

9. Целое больше своей части.

10. Все прямые углы взаимно равны.

11. Если на две прямые падает третья прямая и делает углы внутренние и по ту же сторону меньше двух прямых, то оные две прямые линии, продолженные беспредельно, взаимно встретятся по ту сторону, по которую углы меньше двух прямых.

12. Две прямые не заключают пространства.

(Перевод Ф. Петрушевского)

Большинство исходных дефиниций современной математики также заимствовано из книги Евклида. Так, прямая линия определяется как «та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней», а плоская поверхность как «та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней». В свою очередь, соответствующее отношение плоскостей (или линий) образует трехмерный евклидовский объем.

В далеком прошлом, на заре математики практические потребности пастушества и земледелия вывели на первое место измерение длин и расстояний (а не, скажем, объемов и емкостей). Развитие строительной и землемерной практики обусловило переход к измерению углов и поверхностей. Абстрактная геометрическая наука, отражая логику развития практики и производства, двигалась от изучения линии через поверхность — к объему. Одно измерение прибавлялось к другому, в результате в классической евклидовой геометрии объем оказался трехмерным (и соответственно плоскость — двухмерной, а линия — одномерной).

Однако в повседневной практике долго еще оставались измерения с помощью реальных объемных тел. Так, у древних индийцев одной из наиболее употребительных мелких единиц измерения (причем одновременно — веса и длины) выступала величина ячменного зерна (привлекались и еще более мелкие, по существу мельчайшие из видимых частицы — например, пылинка в солнечном луче). Длины измерялись в следующих единицах: восемь ячменных зернышек приравнивались к толщина пальца, четыре пальца — к объему кулака, а двадцать четыре составляли «локоть», четыре локтя — величину индийского лука и т. д. — вплоть до мили, содержавшей четыре тысячи локтей. Современные каменщики, как еще строители в Древнем Египте, измеряют толщину кладки в кирпичах (так, толщина стен оценивается в полкирпича, в кирпич, полтора, два и т. д.). И кирпич, и ячменное зерно используются в обоих приведенных случаях как одномерные (т. е. недифференцированные по измерениям) объемы для измерения одномерной же длины, ширины, толщины. Понятно, что в тех же «одномерных единицах» можно измерить площадь или емкость (например, кувшина, мешка — с помощью ячменя, а вагона, кузова — с помощью кирпичей).

Принципиально допустимо, опираясь на понятие одномерного объема, построить сколько угодно-мерную воображаемую геометрию, где площади и длины будут определяться в порядке, обратном логике геометрии Евклида. Фундаментальным, основополагающим понятием геометрической науки могли стать не линии и плоскости, а объем как непосредственное отражение реальной пространственности.

Например, говорят, какая-то комната (зал, дом, резервуар и т. п.) больше, чем другая; или: новый прибор (машина) более компактен и занимает меньше места (меньшее пространство), чем прежняя модель. При всей приблизительности приведенных сравнений реальная пространственная объемность выражена здесь в одном измерении — в отношении «больше — меньше». Разве при измерении линейкой поверхности стола одномерная линия получается не при помощи операций с двумя объемами (поскольку объемны и линейка, и стол, поверхность которого как сторона реальной объемности подвергается измерению)? Полученная линия и измеренная длина, а так же их численные величины и являются результатом определенного сопоставления реальных объемных предметов.

Если бы в результате аналогичных сравнений были выработаны единицы измерений одномерных объемов, а само понятие одномерного объема было положено в основание геометрии, — то в этом случае понятие линии естественно могло бы быть представлено в виде научной абстракции, вытекающей из одномерного объема, а именно: как кубический корень из единицы одномерного объема. Гипотетическая геометрия, построенная на таком основании, была бы отнюдь не менее полной, чем традиционная евклидова, и также бы отражала объективные свойства пространства.

Однако представлять одномерность в этом случае в качестве сущности реальной пространственной объемности было бы так же недопустимо, как и отождествлять с пространственностью трехмерность и четырехмерность.

Пример того, как одни и те же математические понятия выражаются в различном числе измерений, можно найти, сравнивая традиционную геометрию с аналитической. В аналитической геометрии точка описывается в системе координат на плоскости — двумя числами (абсциссой и ординатой), а в пространстве — тремя числами (абсциссой, ординатой и аппликатой), — в результате чего точка может выступать и как двухмерная, и как трехмерная точка. Дополнив три координаты четвертой (временем), Герман Минковский сформулировал понятие Провой точки, выразив ее в четырех измерениях. При этом она не просто стала четырехмерной, но и обрела движение, превратившись в мировую линию. Открытие Минковского, сыгравшее значительную роль в развитии физики, вовсе не явилось открытием четырехмерной сущности материального мира, но выступило одним из возможных опытов построения четырехмерной геометрии и описания в понятиях такой геометрии пространственности реальных вещей.