ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА БЕЗ ФОРМУЛ - Александр Соловьев

Есть достаточно грубая, но, все равно, полезная в первом приближении классификация грамматик, принадлежащая Хомскому. Он их делит на три типа, если не считать нулевого. К нулевому он относит грамматики с грамматическими правилами произвольного вида. А раз нет никаких ограничений, то там может быть все, что угодно и, следовательно, анализировать их невозможно. Точнее, считайте, что проанализировали и сделали заключение: Там может быть все, что угодно и неугодно. Так что иметь с ними дело бессмысленно. Даже сумасшедшим.

Грамматики первого типа называют КОНТЕКСТНО-ЗАВИСИМЫМИ (или просто КЗ). В большинстве случаев разумно принять общее ограничение, что правило заменяет строго один нетерминальный символ. Отличительная особенность КЗ–правил в том, что замена нетерминального символа на строку допускается, когда этот символ находится в некотором окружении других символов (в контексте). Например, нетерминальный символ «оператор» может быть заменен на нетерминальный символ «пустой оператор», если в преобразуемой строке перед символом «оператор» был другой символ, за которым непосредственно следовал «оператор». А иначе такую замену делать нельзя.

Представьте например, правило официанта. Осуществлять замену грязной тарелки на выписанный счет можно при наличии опустошенного бокала. В другом контексте (при полном бокале [граненом стакане] рядом) вместо грязной тарелки клиенту предлагается новая закуска.

Для того, чтобы грамматика относилась к типу КЗ достаточно, чтобы хотя бы одно правило было именно первого типа. (Остальные могут быть других типов, кроме нулевого).

Грамматики второго типа называют КОНТЕКСТНО-СВОБОДНЫМИ (или просто КС). Каждое правило может применяться без оглядки на контекст. Вместо грязной тарелки – новая закуска (без всяких дополнительных условий)… Грамматики разных типов могут порождать один и тот же язык. Компиляторы диктуют требование приводить грамматику к типу КС. Обычно в рамках уже этого типа накладываются дополнительные ограничения, что позволяет существенно упростить грамматический разбор в компиляторе.

Грамматики последнего третьего типа называются АВТОМАТНЫМИ или РЕГУЛЯРНЫМИ. Это связано с тем, что они порождаются и распознаются автоматами (эту математическую модель ассоциируют не с Калашниковым, а с фамилиями математиков-логиков Мили Мура Трахтенбротта и т. п.) и регулярными выражениями (это, как и в регулярной армии – выражения строятся по простым правилам и просто распознаются – это тоже математическая модель).

Обычно автоматные грамматики используются на уровне лексики. Лексема, в обычном понимании – это словарная единица. Тем ни менее, с точки зрения компилятора это «символ», коль скоро «словом» будет вся программа. В данном случае, например, 345.08 может быть распознан как один символ – действительное число.

Лексический анализ в компиляторе предшествует синтаксическому анализу… Существуют знаменитые команды UNIXlex и yacc, который позволяют автоматизировать процесс написания лексического и синтаксического анализаторов компилятора.

Что– то мы очень уклонились в сторону программирования. Программирование -это тоже математика. Тоже дискретная. Но уже другая. И это другая история.

А из программирования уже, обычно, так просто не возвращаются…

Лекция 13. СЛОЖНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Мало того, что есть алгоритмически неразрешимые задачи и их бесконечно больше, чем задач алгоритмически разрешимых. С практической точки зрения нам не легче, если решение разрешимой задачи мы сможем получим через миллион лет. Раньше не закончить расчеты… Это трудно-решаемые задачи. Для нас (простых смертных) такие задачи не отличаются от задач алгоритмически неразрешимых.

А ситуация с такими задачами еще более туманная, чем с алгоритмической разрешимостью. Пока единственный, фактически, «железный» аргумент нашей беспомощности, что задача относится к трудно-решаемым, что никто пока не нашел для нее легкого решения! Даже американские политики.

Ненормальность такой ситуации усугубится, если учесть, что теоретики рассматривают только конечные дискретные задачи (задачи либо на поиск оптимума, либо распознавания [да-нет]), любая из которых (теоретически) может быть решена хотя бы (за неимением лучшего) простым перебором. Но от этого не легче, если вспомнить легенду об изобретателе шахмат, который попросил в награду за первую клеточку шахматной доски одно зернышко, за вторую два… за 64-ю клеточку – 2 в 64-ой степени зернышек. Что превышает зерновые ресурсы Земного шара.

Одна из книг по сложности вычислений начиналась с цитаты из украинского философа Георгия Сковороды:" Спасибо тебе Господи, что ты создал все нужное нетрудным, а все трудное – ненужным." Но кажется, что здесь более точной будет другая мысль из Сковороды, а именно, эпитафия на его могиле: «Мир ловил меня, но не поймал»… И еще одна мысль более конкретная мысль уже от современных математиков: «Сложность становится проблемой века».

Из-за огромного количества несущественных особенностей различных способов (методов, парадигм) вычисления признаки, которые следовало бы учитывать при определении сложности вычислений слишком многочисленны и противоречивы. Но в конечном счете большинство сходится к тому, что все можно свести к времени (числу элементарных шагов) вычисления и объему памяти. Более того, многие так и видят при этом в качестве наилучших моделей – машины Тьюринга.

Проблему быстро свели к двум словам и их сочетанию.

Эти слова Polinomial – полиномиальный и Nondeterministic – недетерминированный.

Возьмем большой мешок камней и решим задачу поиска самого большого камня. Будем вынимать поочередно камни, сравнивая с самым большим на данный момент. Исчерпав мешок мы оставим в руках самый большой камень. Если число камней мы увеличим в 2 раза, то сложность решения задачи тоже увеличится (примерно) в два раза. Если возьмем мешок с "n" то и трудность решения будет пропорциональна "n". Говорят, что такую задачу можно решить за полиномиальное время. Если вы решаете задачу нахождения самого большого ребра в полном нагруженном графе, то это тоже задача полиномиальной сложности, исходя из формулы для полного графа, увеличивающая сложность с ростом числа вершин по закону роста числа ребер, пропорциональному «n квадрат».

Однако, есть задачки (для тех же графов), для которых не найдено простых (полиномиальных) решений. Вторым из классических примеров таких задач (первый оставим для финала) служит задача о коммивояжере: Каков минимальный цикл в нагруженном графе, что при обходе его в каждую вершину заходим однажды. Для этой задачи есть только «трудные решения», сложность которых растет по экспоненте (как число зернышек на шахматной доске).

Но проверить решение такой задачи можно за полиномиальное время. Вся сложность в том, чтобы знать «траекторию решения». А вот снять проблему выбора правильной траектории позволяет недетерминированная машина Тьюринга, которую можно представить как сколь угодно большое число (обычных детерминированных) машин, каждая из которых делает попытку добраться до решения задачи по одной из возможных траекторий. У кого из читателей фантазия при этом отказывает, могут просто представить себе бога (говорят – «оракула»), который подсказывает правильный путь, чтобы не гонять кучу машин неведомыми тропами. Конечный эффект тот же.

Таким образом, множество труднорешаемых задач (NP задач) относится к задачам, решаемым недетерминированной машиной за полиномиальное время. А проблему сложности вычислений математики выразили в виде формулы, которую все-таки приведу из-за ее краткости и «нетрудности» печати:

P = NP?

Интересно, говорят этой формулой математики, совпадают ли множество задач, решаемых за полиномиальное время и множество NP задач? Может просто толку пока не хватает найти простые решения…

Как бы там ни было, а задачи, для которых простые (полиномиальные) решения пока не найдены, существуют. И чем дальше, тем больше математики упорствуют в этой (недоказанной) уверенности. Более того, они коллекционируют типовые труднорешаемые задачи, которых уже набралось не менее тысячи. Более того, утверждают, что одни труднорешаемые задачи сводятся к другим труднорешаемым задачам. Поэтому даже используется для таких задач термин "NP–полные" задачи. И делается радикальное заявление: если хоть для одной NP–полной задачи будет найдено простое (полиномиальное) решение, тогда простое решение будет найдено и для всех остальных NP–полных задач. Тогда будет доказано P=NP и проблема сложности вычислений в этом ее виде будет закрыта!